最小公倍數法求最小正周期適用定理探索

陳潔，韓光松

(1.湖北工業大學理學院，湖北 武漢 430068;2.華中科技大學,湖北 武漢 430074)

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最小公倍數法求最小正周期適用定理探索

陳潔1，韓光松2

(1.湖北工業大學理學院，湖北 武漢 430068;2.華中科技大學,湖北 武漢 430074)

本文主要針對最小公倍數法求和函數周期時存在的不足，基于周期函數的傅里葉級數展開式，分析了最小公倍數法求最小正周期時的不足，給出了最小公倍數法的適用定理；然后，從頻譜數的角度給出了兩個推論，并討論了三種正余弦函數的周期。

最小公倍數法；最小正周期；傅里葉級數

1 引言

對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f(x+T)=f(x)，那么函數f(x)叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期。對于一個周期函數f(x)，如果在它所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小的正數就叫做f(x)的最小正周期。常見的求解函數最小正周期的方法有定義法、公式法、圖像法、檢驗法、求導法[1]、積分法[2]等。

當函數為多個函數和的形式時，最小公倍數法已經被大家廣泛地采用，然而，文獻[3-5]通過反例指出了最小公倍數法求出的周期不一定是最小正周期。到目前為止，還沒有資料清楚地闡述最小公倍數法的適用條件。本文通過周期函數的傅里葉級數展開式詳細地討論了最小公倍數法的適用條件，給出了兩個判據。

2 三個引理

引理1[6]設f(x)和g(x)為定義在實數域上的任意兩個連續且非常值的周期函數，T1和T2分別為它們的最小正周期，則f(x)+g(x)為周期函數的充要條件是T1/T2為有理數。

3 最小公倍數法適用定理

三角函數y=Asin(ωx+φ)+k的周期僅與角頻率ω有關，下面的討論不考慮振幅A、初相φ和參數k。另外，假設討論的正余弦函數的角頻率為有理數，根據引理1，和函數的周期存在。

定理1 設周期函數f1(x)、f2(x)的傅里葉級數展開式中各正余弦函數的周期集合分別為A、B，f1(x)與f2(x)傅里葉級數展開式的和式中各正余弦函數周期的集合為C，記G{·}表示集合的最小公倍數，則 G{A∪B}≥G{C}

當且僅當等號成立時最小公倍數法適用于求和函數的周期。

證明：設周期函數f1(x)和f2(x)滿足收斂定理，其周期分別為T1=2l1和T2=2l2，其傅里葉級數展開式為

根據引理2

求周期函數f1(x)與f2(x)的和時，分下面兩種情況：

(1)傅里葉級數沒有出現“角頻率消失”現象，根據引理2，f1(x)+f2(x)的周期為

故G{A∪B}=G{C}，因此，可以使用最小公倍數法。

(2)傅里葉級數出現“角頻率消失”現象，不妨設存在pi和qi(i=1,2,…,r)，使得

api+cqi=0，bpi+dqi=0，qil1=pil2

G{C}=G{A∪B-D}≤G{A∪B}=G{T1,T2}

因此，使用最小公倍數法求得的周期可能大于實際的最小正周期，當且僅當等號成立時最小公倍數法適用于求和函數的周期。

適用定理需要求周期函數的傅里葉級數，應用不是很方便，為此，根據周期函數傅里葉級數展開式中角頻率數量的不同，將周期函數分為無限頻周期函數和有限頻周期函數，基于上面的適用定理，給出下面兩個推論。

推論1 設f1(x)和f2(x)均為無限頻或有限頻周期函數，f1(x)+f2(x)可能出現“角頻率消失”，導致G{C}

推論2 設f1(x)為無限頻周期函數，f2(x)為有限頻周期函數，即使f1(x)+f2(x)時出現“角頻率消失”，由于該現象僅發生在有限的角頻率點，仍有G(A∪B)=G(C)，可以使用最小公倍數法。

為方便大家使用最小公倍數法適用定理，給出常見的無限頻周期函數和有限頻周期函數。

無限頻周期函數

有限頻周期函數

4 正余弦函數的周期

基于最小公倍數法適用定理，下面討論三種常用正余弦函數的周期。

(1)復合函數的周期

結論：當f(x)為連續偶函數時，函數f(sinωx)+f(cosωx)中存在“角頻率消失”。

(2)求f(x)=sinω1xsinω2x、sinω1xcosω2x或cosω1xcosω2x的周期，其中ω1>0和ω2>0。

由積化和差公式有

由最小公倍數法有下面的結論：

這種情況較為復雜，為簡單起見，這里通過一個例題進行說明。

例1 求f(x)=sin43xcos5x的最小正周期。

解 存在常數ci(i=0,1,2)，使得sin43x=c0+c1cos6x+c2cos12x，于是

f(x)=c0cos5x+c1cos6xcos5x+c2cos12xcos5x

[1] 李世杰.周期函數和周期數列[M].浙江大學出版社，2008，7.

[2] 李和遜.用定積分給出函數周期的一種方法[J].重慶職業技術學院學報，2002，1.

[3] 孫亦器.關于兩周期函數之和的最小正周期問題[J].中學數學月刊，2005，2.

[4] 韋存軍，封云.用最小公倍數法求周期函數的周期[J].中學數學雜志，2006，1.

[5] 朱威軍.從兩道錯題談周期函數[J].科技資訊，2011，17.

[6] 張嚴選.論任二周期函數和差積商的周期性[J].江蘇廣播電視大學學報，1997，2.

陳潔(1976-)，女，湖北工業大學理學院，博士，講師。 韓光松(1984-)，男，華中科技大學，博士。

G623.5

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1671-1602(2016)22-0229-02