談談曲面積分的計算方法

張曉春

(江西工程學院，江西 新余 338029)

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談談曲面積分的計算方法

張曉春

(江西工程學院，江西 新余 338029)

這里介紹將第二型曲面積分化為二重積分來計算的方法,第二型曲面積分屬于向量函數的積分，在流體力學和電磁學等領域有極為廣泛的運用。所以，正確選擇計算第二型曲面積分的方法對解決問題有著很大的幫助。

曲面積分；二重積分；計算；轉換

1 第二型曲面積分定義

2 將第二型曲面積分化為二重積分來計算的方法

①第二型曲面積分?∑P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy可化為三個第二型曲面積分來計算：I1=?∑P(x,y,z)dydz,I2=?∑Q(x,y,z)dzdx,I3=?∑R(x,y,z)dxdy。

這就必須把曲面分別投影到yOz、zOx、xOy面上，再分別按照前側為正后側為負、右側為正左側為負、上側為正下側為負的規則再次分解。這樣一來就需要六個式子來計算一個第二型曲面積分，運算量相當大且容易出錯。

例：計算下列閉曲面上的曲面積分(積分沿區域 Ω之邊界曲面 的外側)：

Ω={(x,y,z)|x2+y2≤1,x≥0,y≥0,0≤z≤1}；

解：在曲面?Ω上x=0,y=0,z=0及z=1部分的S上?Sxzdydz=0，所以

在曲面?Ω上x=0,z=0及z=1部分的S上?S(x3+z3)dzdx=0，所以

在曲面?Ω上x=0,y=0及x2+y2=1部分的S上?S(x3-y3)dxdy=0，所以

②先將第二型曲面積分轉化為第一型曲面積分：

再將第一型曲面積分轉化為二重積分：

若在xOy面：

yOz，xOz面上以此類推。

最后利用二重積分計算得出結果。

較第一種方法，此方法更加靈活多變，在計算中可以省很多力氣。

例：計算曲面積分：?Sz(x2+y2)(dydz+dxdz)，其中 S 為球面 x2+y2+z2=R2

在第一、四卦限(x≥0，z≥0)的部分，積分沿S的上側；

解：S的單位正法向為

3 總結

利用向量形式計算第二型曲面積分直接將第二型曲面積分轉化為一個二重積分計算,避免了傳統計算方法對曲面側的判定，其顯著優點是物理意義明確,計算過程簡單,適用于所有的第二型曲面積分的計算。但是，計算時要不斷地總結，學會根據題型的變化來選擇方法，尋求更加簡便的方法，不能一味的追求某一種。

而且，高等數學這門科學是博大精深的，要不斷的學習研究才能領悟得更多。就自身而言，要抱著謙虛謹慎的態度，努力鉆研高數，希望能夠參透高等數學的一角。

[1] 數學分析講義.高等教育出版社上冊，第五版，2008年

[2] 微積分輔導及習題精解.延邊大學出版社，2010年(2012年重印).

O172.2

A

1671-1602(2016)22-0189-01