談?wù)勄娣e分的計算方法

張曉春

(江西工程學院，江西 新余 338029)

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談?wù)勄娣e分的計算方法

張曉春

(江西工程學院，江西 新余 338029)

這里介紹將第二型曲面積分化為二重積分來計算的方法,第二型曲面積分屬于向量函數(shù)的積分，在流體力學和電磁學等領(lǐng)域有極為廣泛的運用。所以，正確選擇計算第二型曲面積分的方法對解決問題有著很大的幫助。

曲面積分；二重積分；計算；轉(zhuǎn)換

1 第二型曲面積分定義

2 將第二型曲面積分化為二重積分來計算的方法

①第二型曲面積分?∑P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy可化為三個第二型曲面積分來計算：I1=?∑P(x,y,z)dydz,I2=?∑Q(x,y,z)dzdx,I3=?∑R(x,y,z)dxdy。

這就必須把曲面分別投影到y(tǒng)Oz、zOx、xOy面上，再分別按照前側(cè)為正后側(cè)為負、右側(cè)為正左側(cè)為負、上側(cè)為正下側(cè)為負的規(guī)則再次分解。這樣一來就需要六個式子來計算一個第二型曲面積分，運算量相當大且容易出錯。

例：計算下列閉曲面上的曲面積分(積分沿區(qū)域 Ω之邊界曲面 的外側(cè))：

Ω={(x,y,z)|x2+y2≤1,x≥0,y≥0,0≤z≤1}；

解：在曲面?Ω上x=0,y=0,z=0及z=1部分的S上?Sxzdydz=0，所以

在曲面?Ω上x=0,z=0及z=1部分的S上?S(x3+z3)dzdx=0，所以

在曲面?Ω上x=0,y=0及x2+y2=1部分的S上?S(x3-y3)dxdy=0，所以

②先將第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為第一型曲面積分：

再將第一型曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分：

若在xOy面：

yOz，xOz面上以此類推。

最后利用二重積分計算得出結(jié)果。

較第一種方法，此方法更加靈活多變，在計算中可以省很多力氣。

例：計算曲面積分：?Sz(x2+y2)(dydz+dxdz)，其中 S 為球面 x2+y2+z2=R2

在第一、四卦限(x≥0，z≥0)的部分，積分沿S的上側(cè)；

解：S的單位正法向為

3 總結(jié)

利用向量形式計算第二型曲面積分直接將第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為一個二重積分計算,避免了傳統(tǒng)計算方法對曲面?zhèn)鹊呐卸ǎ滹@著優(yōu)點是物理意義明確,計算過程簡單,適用于所有的第二型曲面積分的計算。但是，計算時要不斷地總結(jié)，學會根據(jù)題型的變化來選擇方法，尋求更加簡便的方法，不能一味的追求某一種。

而且，高等數(shù)學這門科學是博大精深的，要不斷的學習研究才能領(lǐng)悟得更多。就自身而言，要抱著謙虛謹慎的態(tài)度，努力鉆研高數(shù)，希望能夠參透高等數(shù)學的一角。

[1] 數(shù)學分析講義.高等教育出版社上冊，第五版，2008年

[2] 微積分輔導及習題精解.延邊大學出版社，2010年(2012年重印).

O172.2

A

1671-1602(2016)22-0189-01