將軍飲馬問題教學實例

一、教學目標

1.知識與技能：讓學生掌握軸對稱性質，能夠利用軸對稱性質解決線段和最小值問題。

2.方法與技能：在解決問題的過程中，體會化曲為直的思想，理解“兩點之間，線段最短”公理。

3.情感態度與價值觀：學會從實際問題中抽象數學模型的能力，提高解決問題的能力。

二、教學重難點

重點：通過對稱做出線段和最小時的動點位置

難點：理解線段和最小的原因

三、教學過程

1.故事導入

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫.有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A 地出發，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B 地.到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？

2.抽象為數學問題

我們首先將這個實際問題抽象為數學模型，將A，B 兩地抽象為兩個點，將河l 抽象為一條直線.則問題就是在一條直線同側有兩個定點，需要在直線L上找一個點C，使得AC 與CB 的和最小。

3.問題解決

要解決這個問題，先來看直線L異側的情況，如圖，在直線 l 兩側，有A，B 兩點，在直線 l 上找一點C，使得AC+CB最短，請確定點C的位置，并說明理由. 這個問題比較容易想到，連接AB，與直線L的交點即為所求的點，原因是兩點之間，線段最短.

受到剛才問題的啟發，我們思考能不能把異側問題轉化為同側問題來解決呢？想到利用軸對稱的性質，選擇A，B兩點中的任意一個點，做出它關于直線L的對稱點，這里，我選擇點B，作點B 關于直線l 的對稱點B′；連接AB′，與直線l 相交于點C.則點C 即為所求.（圖3）

如何證明此時的AC+CB最短呢？由軸對稱的性質可知，線段CB =CB′，所以AC +CB就轉化為AC+CB′，也就等于線段A B′的長. 接下來證明線段A B′最短，如果在直線l 上任取一點C′（與點C 不重合），連接C′A，C′B，C′B′，同樣由軸對稱的性質知C′B=C′B′，此時，線段AC′ + C′B = AC′ + C′B′，而在△AB′C′中，AB′

清楚了原因后，再遇到此類問題，我們就可以直接用剛才的方法找出線段和最小時動點的位置，并求出最小值. 我們再來回顧一下將軍飲馬這個問題，在直線L上有一個動點，直線L的同側有兩個定點，確定到兩定點距離和最小的動點位置. 我們的方法是做其中一個定點關于動點所在直線的對稱點，連接對稱點與另外一個定點的線段的長即為和的最小值，與直線的交點為此時動點的位置。

4.問題應用

利用這個結論可以解決一系列的最值問題，如，在在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE=2，AE=3BE，也就是6，那么正方形周長為8，P是AC上一 動點，求PB+PE的最小值是。

這個問題中動點P在AC上運動，要求的是P到AC同側兩定點B，E的距離和的最小值，正是將軍飲馬問題，那么我們選擇B，E中其中一點作關于AC的對稱點，由正方形的對稱性，選擇作B關于AC的對稱點，也就是點D，然后連接DE，則DE即為和的最小值，此時DE與AC是交點即為和最小時點P的位置，在直角三角形AED中，由勾股定理求出DE=10.

作者簡介

白璇，（1989-），女，漢族，畢業于陜西師范大學，現為西安市曲江第一中學數學教師。

（作者單位：西安市曲江第一中學）