高等數學知識的學習是提高中學數學教師本體性知識的重要途徑

（重慶文理學院數學與財經學院，重慶402160）

[摘 要] 以高等代數課程為例，說明了高等數學知識的學習是提高中學數學教師的本體性知識的重要途徑。進一步梳理了高等代數課程涉及的中學數學知識，為高等代數課程教學內容改革指出方向。

[關 鍵 詞] 數學教師；本體性知識；高等代數；高等數學

[中圖分類號] G715 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）12-0028-03

數學素質是公民所必須具備的一種基本素質。因此數學教育在當前中學教育中占有特殊的地位，它使學生掌握數學的基礎知識、基本技能、基本思想，使學生表達清晰、思考有條理，使學生學會用數學的思考方式解決問題、認識世界。近年來，教育改革，尤其是高考改革，對中學數學教育提出了新的要求。伴隨教材的更新，中學數學知識內容也進行了更新。而大學教育對此變化反應較慢，教材更新不及時。另一方面，大學教師對中學數學的教學內容變化不太了解。因此造成了將來希望擔任中學數學教師的大學生對高等數學知識（指微積分、代數學、幾何學等數學專業課程）的學習不感興趣，甚至認為只要把中學內容搞熟悉了，就可以勝任中學教學，高等數學知識的用處不大。本文以高等代數教學內容為例說明高等代數的知識是提升中學數學教師本體性知識的重要途徑。。

一、培養有數學素養的公民給中學數學教師提出了本體性知識要求

1.什么是數學素養目前沒有形成共識，在美國數學教師聯合會頒布的《學校數學大綱及評價標準》中給出了公民具有數學素養的五個標準：第一，懂得數學的價值；第二，對自己的數學能力有信心；第三，具有解決現實數學問題的能力；第四，學會數學交流；第五，學會數學的思想方法。

2.在信息化社會中，數學教育的核心目標是培養有數學素養的公民，在我國數學課程標準總體目標中也提出了以上五個方面的要求。

以上兩個方面的培養目標為中學數學教師應該具備的本體性知識提出了要求。

二、中學數學教師本體性知識亟待提高

1.什么是數學教師的本體性知識？數學教師的本體性知識是指數學教師所具有的特定的學科知識，主要包括以下四個方面：第一，數學教師應對數學的基礎知識有廣泛且準確的理解，能熟練掌握相關的技能、技巧；第二，數學教師要了解與數學相關的基本知識以及他們之間的內在邏輯關系；第三，數學教師需要了解數學的發展歷史和趨勢、數學對于人類社會發展的價值及其在人類生活實踐中的多種表現形態；第四，數學教師需要掌握數學提供的獨特的認識世界的思維的工具與方法，及其創造發現過程中展現的科學精神和人格力量。

2.數學教師對數學知識的定義。基于以上提出的數學教師的本體性知識及要完成以上培養有數學素養的公民，這就對中學數學教師的數學知識提出了較高的要求。什么是數學教師的數學知識，童莉教授在其博士論文中給出了定義，是指他知道的作為科學內容的數學知識、他理解的課程內容和教材內容的數學知識及他在教學過程中使用的數學知識這三個層面的數學知識。作為科學內容的數學知識即是數學教師應該具備的本體性知識。

3.汪會玲在文獻中對普通中學數學教師知識結構進行了三維度（本體性知識、條件性知識、實踐性知識）調查。調查結果顯示：教師的本體性知識（調查包含數學信念、自我評價、數學基礎知識三個方面）總體得分較差，其中教師的數學基礎知識得分最低（調查主要涉及代數、數系、向量的運算法則、中學幾何、統計等方面），說明教師的數學基礎欠缺。從調查結果反映出中學數學教師的本體性知識的掌握存在較大問題，在目前數學的基礎教育改革環境下，尤其有必要提升數學教師的本體性知識。

三、高等數學知識體系內容的學習是獲得本體性知識的重要途徑

高等數學知識體系指微積分、代數學、幾何學等數學專業課程。這些知識為中學數學教師培養公民的數學素養提供了基礎理論和應用的知識源泉。只有通過高等數學知識體系的學習，中學數學教師才能夠提升自己的本體性知識。例如，高等代數知識不僅是中學數學相關內容的繼續和提高，還可以進一步解釋許多高中數學未能說清楚的問題。例如，多項式的根及因式分解理論、線性方程組理論、向量的相關知識等。另外，高等代數中的很多思想方法如公理化方法、結構化方法、等價分類方法等都在中學數學中有很好的體現。下面聯系高等代數的知識說明：高等代數知識的學習是提升中學數學教師的本體性知識的重要途徑。

（一）中學數學教師的本體性知識中與高等代數相關的數學概念、法則、命題等基本知識的聯系，具體情況見表1與表2

從上表1我們可以較系統地梳理九年義務教育三個學段中涉及的與高等代數相關的數學基礎知識。

1.在“數與代數”中“實數”內容涉及高等代數中與多項式理論類似的整除理論，因式分解理論等，進一步涉及到近世代數、初等數論等課程；“整式和分式”內容涉及高等代數中多項式理論中的整除、因式分解、代數學基本定理、二次型等理論，進一步涉及數學分析、近世代數等課程；“方程和方程組”和“不等式和不等式組”內容涉及高等代數中多項式中的代數學基本定理以及線性方程組的理論，這些內容還與數學分析等課程相關內容有關。

2.在“空間與圖形”中圖形的認識（點、線、面、相交線與平行線、視圖與投影等）內容涉及高等代數中向量空間和歐式空間；圖形與變換、坐標內容涉及高等代數中向量空間、線性變換和歐式空間等相關知識。這部分內容正是體現了幾何問題代數化。

從上表2我們可以較系統地看出高中數學教育中涉及的與高等代數相關的數學基礎知識。

3.在必修課程中高中數學知識涉及的高等代數知識包含多項式、線性方程組、向量空間和歐式空間等內容，有些內容更多的是出現在幾何學（解析幾何和高等幾何）等高等數學課程。這正是體現了代數和幾何的交叉，即幾何問題代數化。

4.在選修課程中有些高中數學知識，如“數系擴充與復數”“矩陣與變換”等，直接涉及高等代數知識，包含多項式、向量空間、矩陣、線性變換和歐式空間等內容；有些內容如“空間中的向量與立體幾何”更多的是出現在幾何學（解析幾何和高等幾何），但是在高等代數的向量空間和歐式空間也涉及，如柯西-布涅柯夫斯基不等式在代數、幾何、分析中都是較為重要的內容。

（二）高等代數的學習是弄清表1與表2中的中學數學教師的本體性知識相互聯系的需要

1.表1與表2中涉及高等代數知識不成體系的分布在中學各個年級，高等代數的知識是這些知識的系統化和深化。只有通過系統學習才能弄清以上知識間的聯系，更好地指導中學教學。

2.高等數學知識體系的各科是相互聯系的，高等代數課程與幾何學、數學分析等課程相互交織，聯系緊密。通過系統學習才能弄透表1與表2中各知識的來龍去脈，才能更好地組織中學教學。

3.高等代數的學習也是高中選修課程中的重要內容。要搞好選修課程的系列課程教學，如系列1的數系擴充與復數、系列2的空間中的向量與立體幾何、系列3的初等數論的有關知識、對稱與群、系列4的矩陣與變換、初等數論的有關知識、不等式選講等知識，必須系統學習高等代數。

（三）高等代數中蘊含豐富的數學思想方法。

作為中學數學教師必須擁有基本的數學思想方法，認識清楚這些知識產生的背景及應用，這也是作為中學數學教師必備的本體性知識。

1.中學數學教師應該深刻認識表1與表2這些知識產生的背景，進而告訴學生如何應用這些知識，這也是中學數學課程標準對數學教師提出的要求。

2.高等代數思想方法的核心是分類的觀點、標準型的觀點、不變量的觀點。在文獻[8]中具體提出了高等代數所蘊含的抽象、分類、坐標、變換等10種最基本的數學思想方法，這些都是提高學生思維能力的重要思想方法。當然高等數學的其他課程也起到相應的作用。

3.高等代數知識在數學其他課程中有廣泛應用，在現代科技如經濟學、信息安全、化學等很多方面都有深刻的應用，這對發展學生的數學應用意識也有起著重要作用。

四、總結

從以上分析可以看到，高等代數課程學習是中學數學教師的本體性知識獲得的重要途徑。對高校數學專業課程教師了解中學數學教學是必須的，只有這樣才能在教學中做到有的放矢，提高學生學習數學體系課程的興趣。

參考文獻：

[1]康世剛.數學素養的生成與教學[M].北京：教育科學出版社，2013.

[2]汪會玲.普通中學數學教師知識結構的調查分析[D].首都師范大學，2007.

[3]童莉.初中數學教師數學教學知識的發展研究：基于數學知識向數學教學知識的轉化[D].西南大學，2008.

[4]高樹玲，趙苗嬋.談高中數學數學課程改革對高等代數課程學習的影響[J].周口師范學院學報，2013，30（2）：33-34.

[5]楊榮友，蔣煒.高等代數理論在多項式分解中的應用[J].唐山師范學院學報，2006，28（5）：33-34.

[6]梧靜.中學數學競賽中二次多項式與二次函數問題的研究[D].廣州大學，2011.

[7]劉云，杜福昌.高等代數的思想方法[J].遼寧師范大學學報，1995，18（2）：174-176.

[8]王文省，喬立山，宋穎.高等代數中的思想方法[J].棗莊學院學報，2006，23（2）：5-9.