二項式定理的基本應用

程玉瑩

高考中二項式定理是必考內容，主要考察展開式的運用及二項式系數的性質。為更好的學習和掌握這部分知識，現將其常見題型歸納如下：

一、求特定項或特定項的系數

這是二項式定理的典型題型，解法是確定通項公式中r的值或取值范圍，但應注意二項式系數與項的系數的區別和聯系。

例1：在（1-x2）20的展開式中，如果第4r項和第r+2項的二項式系數相等，求r的值.

解析：

由題，得4r-1=r+1或4r-1+r+1=20，解得r=4.

例2：若展開式中前三項系數成等差數列，求展開式中含x的七次冪的項及其系數.

解析：

由得n=8，由，令解得r=7.所以x七次冪的項為，含x的七次冪項的系數為.

二、求多項式和或積中特定項的系數

解此類題要注意觀察多項式的結構特征，可先求和再求含特定項的系數或用賦值法（賦值要恰當）。

例3：的展開式中，的系數等于 ? ? ? ? .

解析：

因（x+1）+（x+1）2+（x+1）3+…+（x+1）6=（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）6，所以展開式中的系數為===.

例4：若，則的值為 ? ? ? ? .

解析：所求變形為，而與分別是已知式在時的值.所以=.

三、求系數的最值

解此類問題應注意所求項的系數與二項式系數的區別和聯系，并注意符號的變化規律。

例5：（x-1）9按x降冪排列的展開式中，系數最大的項是第 ? ? ? 項？

解析：

因n=9，展開式中共10項，故中間兩項，即第5項和第6項的二項式系數最大.但第6項的系數是負值，所以第5項的系數最大.

四、三項式轉化成二項式

本題運用轉化思想：轉化時式子的變形要靈活;善于變換項的位置利于計算;注意展開式中r，k的關系和取值范圍。

例6：求展開式中的常數項.

解析：

因可看作二項式，其通項為，其中k=0，1，2，3，10，若求原式常數項只需求展開式的常數項.因 ，其中r=0，1，…，k，所以由題意令k-3r=0，則k=3r，即k是3的倍數，k=0，3，6，9.當k=0時，r=0，;當k=3時，r=1，;當k=6時，r=2，;當k=9時，r=3，.故原式的展開式中的常數項是.

五、求參數

關鍵求展開式中某項的系數，再結合條件求參數。

例7：已知的展開式中x3的系數為，求實數a的值.

解析：

因，由題意知，解得r=8.所以含x3的項為第9項，其系數為，解得a=4.

六、整除和求余數

關鍵是把所求問題轉化為二項式問題，但要注意結合二項式展開式和整除的有關性質。

例8：①求證：能被31整除;

②求除以9的余數.

解析：

①證明：因，展開等于，顯然括號內為整數，所以原式能被31整除.

②解：，由展開等于，進一步整理，可得，顯然括號內的數是正整數，故S被9除的余數是7.

七、求近似值

對估算求值問題，常借助二項式定理求解。

例9：計算1.056.（精確到0.01）

解析：

1.056=（1+0.05）6=1+C26·（0.05）2+C 36·（0.05）3+…=1+0.3+0.0375+…≈1.34.

所以1.056≈1.34.

八、證明不等式

用二項式定理證不等式時，根據n的最小值，確定展開式的項數的最小值，然后視具體情況取定其中的幾項即可。

例10：求證：.

解析：

證明：因為，所以的展開式中至少有四項.又因為，所以.

九、求和

二項式定理從右往左看，是把一個多項式合并，或者是一個求和公式，利用它可解決求和問題。

例11：在（1+x）n的展開式中，奇數項之和為p，偶數項之和為q，則（1-x2）n等于（ ? ? ? ）

A.0 ? ? ? ?B.pq

C.p2-q2 ? ?D.p2+q2

解析：因（1+x）n的展開式中奇數項之和為p，偶數項之和為q，所以（1+x）n的和為p-q.又由（1-x2）n=（1-x）n（1+x）n（p+q）（p-q）=p2-q2，故選C.