線性規劃問題一線牽

劉運明

縱觀近幾年的高考試題，線性規劃問題已逐步成為高考的一個新熱點。它以其實用性、工具性和交互性，備受人們的青睞，命題形式呈循“型”漸進式發展，從單一的、靜態的線性規劃發展到較全面的、動態的線性規劃，體現從知識立意到能力立意的變化，從重計算到重思考的變化，涌現出一些綜合性、探索性、開放性等新型試題，分散在諸多相關知識考查中，且呈現出整合的趨勢。本文從以下幾方面例析近幾年高考中線性規劃的命題趨勢。

一、一線牽引出線性目標函數的最值

1.靜態可行域下形如z=ax+by+c截距型線性目標函數的最值

例1（2015年湖南卷）若變量x，y滿足約束條件則z=3x-y 的最小值為（ ?）

解析：作出可行域（圖略），作直線l：3x-y=0，平移直線l利用數形結合法求最值。答案：選A

命題點睛 ?要求考生理解目標函數的意義：把z=3x-y看作一條“動直線”l，觀察其位置，從而確定目標函數取得最值時所經過的點。動中有靜，動直線l牽引出最優解（定點），從而得到z的最小值。

2.動態可行域下形如z=ax+by+c 截距型線性目標函數最值的逆向問題

例2 （2015年福建卷）變量x，y滿足約束條件若z=2x-y的最大值為2，則實數m 等于（ ? ? ）

A、-2 B、-1

C、1 D、2

圖1

解析 ?將目標函數看作動直線l：2x-z=0，當z取最大值時，動直線l縱截距最小。故當m≤0時，不滿足題意;當m>0時，由可行域如圖1所示，其中 是最優解，代入目標函數得：，得m=1。故選C。

命題點睛 ?以動制靜，動直線l的位置與參數m的符號相互制約，由兩條動直線l：y=2x-z與l1：y=mx牽引出定點B最優解。解含參數的線性規劃問題，要善于從已知的可行域（動態區域）中找出不變的（靜態）區域。困難在于對參數m的符號討論，以確定可行域，往往還要將動直線l的斜率和可行域邊界的斜率比較，否則找出最優解很容易出錯。思維從靜態到動態模式跳躍式開放性發展，更能考查學生的創新應用能力。

二、一線牽引出非線性目標函數的最值

1.斜率型

例3 ?（2015年全國卷） ?若x，y 滿足約束條件 則的最大值為 ? ? ? ? ?。

解析 ?作出可行域（圖略），由斜率的意義知是可行域內的動點P（x，y）與原點連線的斜率。答案：3

命題點睛 ?形如型的目標函數，其表示可行域內的動點P（x，y）與定點M（a，b）連線的斜率。將直線PM繞點M旋轉，且確保動點P在可行域內，這樣由動點與定點的連線牽引出斜率的取值范圍。

2.距離型：點點距、點線距

例4 ?（2016年山東卷） ?若變量x，y滿足 則x2+y2的最大值是（ ? ? ?）

A、4 B、9

C、10 D、12

解析x2+y2表示可行域內的動點（x，y）到原點O（0，0）距離的平方，可得x2+y2的最大值為10。故選C。

命題點睛 ?點點距離型實質就是動點與定點連線的長度。

變式探究1（點線距）：（2016年浙江卷文·4改編）

若平面區域

（1） 的最大值是 ? ? ? ? ? 。

（2）的最大值是 ? ? ? ? ? ? 。

答案：（1）（2）

3.向量數量積型（夾角型、投影型）

例5 ?（2016年浙江卷） ?在平面上，過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影。由區域中的點在直線x+y-2=0上的投影構成的線段記為AB，則|AB|（ ? ? ?）。

A、 B、4

C、 D、6

答案：C

變式拓展2：（夾角型、投影型） ? 已知點A（3，1），O為坐標原點，點P（x，y）滿足則

（1） 的最小值是 ? ? ? ? ? ? ? 。

（2） 的最大值是 ? ? ? ? ? ? 。

（3） 的取值范圍是 ? ? ? ? ? ? ?。

解析 ?如圖2所示，（1）

當且僅當與 反向時，取等號;

（2）的最大值即在方向上的投影，為

（3）的最小值即在方向上的投影，為

其最大值即與共線時在方向上的投影，為，所以其取值范圍是

命題點睛 ?（1）中抓住定向量與動向量的夾角;（2）中抓住動線段OP在一條定直線OA上的投影;（3）與（2）正好反之。

圖2

4.直線與圓錐曲線相關位置型

圖3

例6 ?（2016年山東卷文·4改編） ?設x，y滿足約束條件若Z=x2+4y2，則Z的取值范圍是 ? ? ? ? 。

解析Z=x2+4y2表示中心在坐標

原點，焦點在x 軸上的橢圓，當此橢圓與直線x+y=1相切時，Z=x2+4y2最小，

由 得5y2-2y+1=0 ，由Δ=0

得 為最小值;當此橢圓過點 時，為最大值，故所求范圍是

圖4

命題點睛 ?圓錐曲線（動曲線）與一條定直線（或定點）的位置關系牽引出z的取值范圍，此題型新穎別致，賞心悅目，耐人尋味。

變式拓展3 ?設變量x，y滿足約束條件

其中k∈R，k>0.

若的最大值為1，則實數k的取值范圍是 ? ? ? ? ? 。

提示：設，則，要使m最大，則只要使拋物線的通徑最小。當的最大值為1時，此時拋物線方程為y=x2。因為直線y-1=k（x-1）過定點C（1，1），當直線y-1=k（x-1）與拋物線y=x2相切于點 C（1，1）時k最大，由y?=2x，即k=2×1=2，故得0<k≤2。

常言道：有緣千里來相會，千里良緣一線牽。線性規劃問題依靠的就是一條“線”（動直線或動曲線）牽引出諸多數學知識之間的“良緣”，它們友好嫁接，精心編織成各模塊知識之間的網絡，最終喜結“良緣”。筆者認為，線性規劃由常規題型向非常規題型轉變，其觸角延伸到數列、三角、向量、及解幾中，甚至波及到概率與統計等其它方面，這也許是今后高考命題的趨勢所在，我們拭目以待。