一類具有生存/危險(xiǎn)特征的生鮮品價(jià)格策略研究

王憲杰，黃佳偉，王淑云

(1．煙臺(tái)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264005；2.煙臺(tái)大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264005)

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一類具有生存/危險(xiǎn)特征的生鮮品價(jià)格策略研究

王憲杰1，黃佳偉1，王淑云2

(1．煙臺(tái)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264005；2.煙臺(tái)大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264005)

研究了一個(gè)周期內(nèi)零售商對一種易變質(zhì)生鮮品的訂購和價(jià)格決策問題。引入價(jià)格轉(zhuǎn)折點(diǎn)概念，變質(zhì)率具有三參數(shù)生存/危險(xiǎn)特征的Weibull分布，需求率依賴于變質(zhì)率和價(jià)格，建立利潤最大化的目標(biāo)函數(shù)，將求解最優(yōu)價(jià)格的問題轉(zhuǎn)化為帶有控制的Bolza問題，得到最優(yōu)價(jià)格表達(dá)式。通過算例，研究了價(jià)格敏感度和價(jià)格轉(zhuǎn)折點(diǎn)變化對利潤的影響，進(jìn)一步給出了靈敏度分析和價(jià)格彈性分析；對于生鮮品，隨著時(shí)間的推移，銷售價(jià)格越來越低；對銷售價(jià)格敏感的顧客，銷售量隨著價(jià)格轉(zhuǎn)折點(diǎn)的滯后而降低，但在整個(gè)銷售階段的1/2到3/5附近進(jìn)行價(jià)格調(diào)整有助于增加利潤。

易變質(zhì)生鮮品；價(jià)格轉(zhuǎn)折點(diǎn)；生存/危險(xiǎn)特征

1 引言

近年來，隨著生活節(jié)奏的加快和商品時(shí)效性的加強(qiáng)，冷鏈品的庫存研究日益受到重視。早在1963年，Ghare和Schrsder[1]研究了關(guān)于易過時(shí)品在固定需求下的庫存模型，并給出了生鮮品庫存模型：dI(t)/dt=-θI(t)-D(t)，為今后的生鮮品庫存策略研究奠定了基礎(chǔ)。但實(shí)際中，需求率往往是變化的，尤其是對生鮮食品而言。Dave和Patel[2]，Sachan[3]假設(shè)需求率是隨時(shí)間和變質(zhì)率變化的線性函數(shù)，研究了在有限補(bǔ)貨期內(nèi)如何得到最優(yōu)補(bǔ)貨量的問題，并在瞬時(shí)補(bǔ)貨的前提下找到了最優(yōu)補(bǔ)貨量。劉玲和陳淮莉[4]為生鮮品廠商通過雙渠道銷售生鮮產(chǎn)品提供了理論支撐，并針對具體的實(shí)例給出了最優(yōu)的銷售價(jià)格和最優(yōu)的產(chǎn)量。上述研究中假設(shè)條件相對嚴(yán)格，缺乏動(dòng)態(tài)性。如今隨著生活節(jié)奏的加快，無論線上還是線下的銷售都受價(jià)格變化的影響很大。因此，考慮價(jià)格對供應(yīng)鏈整體的影響時(shí)，價(jià)格波動(dòng)就尤為重要。

Shah[5]針對變質(zhì)率問題，提出了兩參數(shù)Weibull分布函數(shù)并將其應(yīng)用于生鮮品的庫存模型，使生鮮品變質(zhì)率研究更加精確，但由于假設(shè)商品入庫后即刻變質(zhì)，而忽視了生鮮品變質(zhì)發(fā)生的滯后性。王道平等[6]在變質(zhì)率服從兩參數(shù)Weibull分布情形下，研究了生鮮品的庫存優(yōu)化問題。Yang Huiling[7]建立了變質(zhì)率服從三參數(shù)Weibull分布的兩倉庫易腐產(chǎn)品庫存模型，模型中允許部分延遲交貨且考慮通貨膨脹對庫存的影響，證明了最佳庫存策略的存在性和唯一性。螃蟹等鮮活產(chǎn)品在進(jìn)入零售后的一段時(shí)間內(nèi)不會(huì)發(fā)生顯著變質(zhì)，且保質(zhì)期具有不確定性。因此，引入一種具有變質(zhì)始點(diǎn)的三參數(shù)生存/危險(xiǎn)Weibull分布函數(shù)來擬合生鮮品的變質(zhì)率。Weibull分布作為刻畫生存/危險(xiǎn)特征的一種有效分布函數(shù)，廣泛應(yīng)用于易腐品的變質(zhì)及銷售壽命等數(shù)學(xué)模型中[5-8]。

馮穎等[9]研究了隨機(jī)需求下易變質(zhì)產(chǎn)品的訂購和定價(jià)策略，給出易變質(zhì)產(chǎn)品最優(yōu)訂購與定價(jià)策略的求解方法，但在處理需求率的隨機(jī)變化時(shí)，缺少變質(zhì)程度對需求率的影響。陳曉旭等[10]針對第三方物流參與的三級冷鏈系統(tǒng)庫存問題進(jìn)行研究，對比了分散決策與集中決策下系統(tǒng)利潤，發(fā)現(xiàn)僅僅依賴集中決策的方式無法真正實(shí)現(xiàn)供應(yīng)鏈系統(tǒng)的協(xié)調(diào)。熊峰等[12]針對生鮮農(nóng)產(chǎn)品供應(yīng)鏈中產(chǎn)品價(jià)格、盟員關(guān)系不穩(wěn)定的現(xiàn)象進(jìn)行了研究，并對傳統(tǒng)的關(guān)系契約進(jìn)行了改進(jìn)，保障了供應(yīng)鏈系統(tǒng)的利潤，但沒有考慮價(jià)格變化對需求的影響。Roy和Chaudhuri[12]把需求函數(shù)進(jìn)一步擴(kuò)展到依賴于價(jià)格和庫存量的多元函數(shù)，對于生鮮品而言，變質(zhì)程度對需求率的影響比庫存量的影響更大。慕銀平和劉利明[13]分析了在供應(yīng)鏈系統(tǒng)中，當(dāng)市場價(jià)格大幅波動(dòng)時(shí)，企業(yè)通過價(jià)格柔性策略來保障供應(yīng)鏈系統(tǒng)各主體的利潤。李琳和范體軍[14]研究了農(nóng)產(chǎn)品實(shí)時(shí)價(jià)值損耗信息下零售商的定價(jià)與訂購策略，其結(jié)果顯示靈活的定價(jià)策略有助于零售商獲取更大的市場需求量及更大的收益。王憲杰[15]在不允許缺貨的庫存模型中，將總費(fèi)用對采購量與采購周期的局部彈性應(yīng)用到庫存管理彈性控制[16]。

生鮮海產(chǎn)品是一類特殊的易變質(zhì)產(chǎn)品，與牛奶、罐頭等具有固定生命周期的易變質(zhì)品不同，更具有隨機(jī)的生命周期，并且會(huì)受到銷售情況的影響。所以，實(shí)際銷售中，往往會(huì)根據(jù)產(chǎn)品的新鮮度，做出價(jià)格調(diào)整，何時(shí)進(jìn)行價(jià)格調(diào)整以獲得最優(yōu)利潤就顯得非常重要。吳忠和等[17]研究了針對生鮮品供應(yīng)鏈對突發(fā)事件的系統(tǒng)協(xié)調(diào)問題，研究表明在零售商期望成本的范圍內(nèi)，價(jià)格和生產(chǎn)計(jì)劃具有一定的魯棒性，適當(dāng)?shù)臄_動(dòng)是可以接受的。段永瑞[18]研究了需求依賴于價(jià)格的兩類顧客定價(jià)和訂購聯(lián)合決策問題，討論了區(qū)別定價(jià)對利潤的影響。上述論文中，模型中雖然考慮了變質(zhì)率，通常將其假設(shè)為常數(shù)且分別考慮需求和變質(zhì)對庫存管理的影響，缺少它們之間的相互作用與影響。

在考慮變質(zhì)庫存模型同時(shí)，本文進(jìn)一步把對生鮮品需求的擾動(dòng)具體到變質(zhì)率和價(jià)格，通過價(jià)格轉(zhuǎn)折點(diǎn)的變化，以動(dòng)態(tài)定價(jià)實(shí)現(xiàn)利潤最大化。以生鮮海產(chǎn)品為例，建立價(jià)格受變質(zhì)率影響且需求受價(jià)格影響的庫存模型，變質(zhì)率具有生存/危險(xiǎn)特征及動(dòng)態(tài)性，引入價(jià)格轉(zhuǎn)折點(diǎn)的概念并通過價(jià)格調(diào)整協(xié)調(diào)系統(tǒng)利潤。在算例分析中運(yùn)用了價(jià)格彈性的相關(guān)理論，使所得結(jié)論更具實(shí)用性。

2 模型建立

2.1 問題描述

隨著時(shí)間的推移，生鮮品變質(zhì)的程度會(huì)逐漸加重，這將對生鮮品的品相和質(zhì)量產(chǎn)生顯著影響，進(jìn)而會(huì)導(dǎo)致需求率的變化。因此我們將變質(zhì)率用具有生存/危險(xiǎn)特征的三參數(shù)Weibull函數(shù)來表示，需求率依賴于變質(zhì)率和價(jià)格。在不影響食用的情況下，零售商會(huì)擇機(jī)采取降價(jià)策略以提高銷售量來保證足夠的利潤。鑒于此，本文以一個(gè)周期T為例，采用周期盤點(diǎn)的(T，Q)庫存策略，以利潤最大化為目標(biāo)，建立庫存模型，進(jìn)一步利用帶有控制輸入的Bolza問題求解方法，求解出最優(yōu)價(jià)格策略。

2.2 模型假設(shè)

1)零售商處的顧客需求率是連續(xù)的、依賴于價(jià)格的函數(shù)；

2)系統(tǒng)不允許缺貨，不考慮提前期；

3)生鮮品入庫后經(jīng)過一段時(shí)間才發(fā)生變質(zhì)(不同的生鮮品發(fā)生變質(zhì)的始點(diǎn)不同)；

4)變質(zhì)率為時(shí)間的函數(shù)，本文中引入Weibull生存/危險(xiǎn)函數(shù)體現(xiàn)時(shí)變變質(zhì)率；

5)在固定的周期內(nèi)，只考慮一種生鮮品；

6)持有成本是針對完好生鮮品(即未發(fā)生變質(zhì)的生鮮品)的庫存成本；

7)當(dāng)變質(zhì)程度達(dá)到θ1水平時(shí)，零售商采取降價(jià)措施，此時(shí)生鮮品仍具有使用價(jià)值；當(dāng)變質(zhì)程度達(dá)到θ2水平時(shí)，產(chǎn)品完全失去使用價(jià)值。

2.3 參數(shù)表示

d(p,t) 依賴于價(jià)格的需求函數(shù)d(p,t)=(a-bp(t))；

a,b a表示最大的需求率，b表示顧客對價(jià)格的敏感程度；

p(t) 生鮮品的單位價(jià)格，本文分了兩個(gè)階段，分別用p1、p2表示；

θ 指變質(zhì)的程度，本文中的兩個(gè)臨界值分別用θ1、θ2表示；

t 生鮮品在庫存中存在的時(shí)間，t>0；

f(t) 生鮮品的三參數(shù)密度函數(shù)，f(t)=αβ(t-γ)β-1e-α(t-γ)β，其中α尺度參數(shù)(α>0)，β形狀參數(shù)(1<β<2),γ位置參數(shù)(γ>0)；

F(t) f(t)的分布函數(shù)，F(xiàn)(t)=1-e-α(t-γ)β；

R(t) 生鮮品的生存函數(shù)， R(t)=P(T>t)=1-F(t)；

I(t) t時(shí)刻的庫存水平，t>0；

T 整個(gè)的補(bǔ)貨間隔期；

Q 期初補(bǔ)貨量；

S 訂購成本；

h 零售商的單位庫存持有成本；

c1零售商的單位訂購成本；

c2零售商的單位變質(zhì)成本。

2.4 數(shù)學(xué)模型

將一個(gè)補(bǔ)貨周期作為研究周期，稱為第一個(gè)周期，同時(shí)模型適應(yīng)于任意周期，在第一個(gè)周期上建立庫存時(shí)間坐標(biāo)系。在初始時(shí)刻假定系統(tǒng)的庫存水平為Q(即整個(gè)系統(tǒng)的補(bǔ)貨量為Q)，在需求率和變質(zhì)率的雙重作用下庫存水平逐漸下降。在t1時(shí)刻，由于變質(zhì)率對生鮮品的品相影響，所以采取降價(jià)措施，稱時(shí)刻t1為價(jià)格轉(zhuǎn)折點(diǎn)。在t2時(shí)刻，變質(zhì)率已經(jīng)影響了生鮮品的質(zhì)量，剩余庫存為變質(zhì)損失，庫存水平變化如圖1所示。假設(shè)不存在缺貨且在周期末T時(shí)刻，庫存水平降到零。至此，一個(gè)周期結(jié)束。

圖1 庫存水平隨時(shí)間變化趨勢

我們以價(jià)格轉(zhuǎn)折點(diǎn)為分界點(diǎn)，將一個(gè)補(bǔ)貨周期分為[0,t1]和[t1,T]兩個(gè)階段，則庫存水平分別滿足：

(1)

(2)

求解微分方程式(1)、(2)得：

(3)

(4)

由于價(jià)格轉(zhuǎn)折點(diǎn)處I1(t)=I2(t)，利用泰勒展開得：

(5)

根據(jù)系統(tǒng)收益、庫存成本、采購成本和變質(zhì)成本的定義及計(jì)算方法，結(jié)合式(3)、式(4)和式(5)得：

在[0,T]時(shí)間內(nèi)，總收益為：

(6)

總庫存成本為：

(7)

總采購成本為：

OD=Qc1,

(8)

總變質(zhì)成本為：

(9)

所以，總利潤為：

(10)

鑒于價(jià)格函數(shù)p(t)的連續(xù)性，由式(1)、式(2)、式(6)及令CO=OD+SC+S，得到利潤最大化的最優(yōu)控制問題：

(11)

(12)

在整個(gè)補(bǔ)貨周期T中，隨著時(shí)間的推移，生鮮品的變質(zhì)程度會(huì)逐漸增大，因此，不僅失去使用價(jià)值，還要支付額外處理費(fèi)用。當(dāng)變質(zhì)程度達(dá)到θ2水平時(shí)，產(chǎn)品完全失去使用價(jià)值，這個(gè)時(shí)間點(diǎn) t2是固定的。因此銷售周期在T≤t2前提下，T越短愈好。

假設(shè)2：銷售價(jià)格p(t)不低于生鮮品的進(jìn)價(jià)c1，因此將p(t)≡c1代入價(jià)格轉(zhuǎn)折點(diǎn)式(5)得：

(13)

對于式(11)、式(12)描述的具有約束條件的變分問題，為了避免討論δI(t)通過狀態(tài)方程受δp(t)的限制問題，引入待定乘子函數(shù)λ(t)，構(gòu)造如下的哈密爾頓函數(shù)：

(P1)的哈密爾頓函數(shù)為：

H(t,I,p,λ)=p(t)d(p(t))-hI(t)+λ(t)[-θ(t)I(t)-d(p(t))]

(14)

則取得極值的必要條件為狀態(tài)方程和協(xié)態(tài)方程滿足：

(15)

(16)

令p*(t)為最優(yōu)銷售價(jià)格，則p*(t)滿足：

(17)

3 模型求解

令：t1=xT,則：

(18)

NP(p1,p2)關(guān)于p1和p2的一階偏導(dǎo)數(shù)分別為：

(19)

(20)

NP(p1,p2)關(guān)于p1和p2的Hessian矩陣為：

(21)

(22)

(23)

(24)

不同的生鮮品利潤目標(biāo)NP(p1,p2,x)不同，再此無需給出抽象目標(biāo)函數(shù)的價(jià)格轉(zhuǎn)折點(diǎn)。當(dāng)利潤目標(biāo)確定后，容易給出價(jià)格轉(zhuǎn)折點(diǎn)的x解析表達(dá)式，下面通過算例分析x,p1,p2變化對利潤函數(shù)NP(p1,p2,x)的影響。

4 算例分析

為了更好地說明數(shù)學(xué)模型的理論指導(dǎo)性，本文通過具體算例進(jìn)行分析和計(jì)算，所涉及的參數(shù)值如下[12]：周期T=30，a=400，采購成本c1=100，生鮮品的單位庫存持有成本h=20，生鮮品的單位變質(zhì)成本c2=40，訂購成本S=10，尺度參數(shù)α=0.01，形狀參數(shù)β=1.5，位置參數(shù)γ=2，變質(zhì)率的臨界值θ2=0.08。

引入x(x∈[0,1])，令xT=t1，通過x的變化來體現(xiàn)價(jià)格轉(zhuǎn)折點(diǎn)變化，如果x=0則表示立即打折銷售，即按照價(jià)格p2銷售，使用式(2)的微分方程。如果x=1則表示不進(jìn)行打折銷售，即按照價(jià)格p1銷售，使用式(1)的微分方程。同時(shí)，考慮如下兩種顧客，一種是需求受價(jià)格影響比較大的顧客，稱為敏感性顧客；另一種需求受價(jià)格影響不大的顧客，稱為不敏感顧客。算例中討論x∈(0,1)，b∈[0,15]的情況。

根據(jù)上述算例，利用Matlab進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，當(dāng)x與b變化時(shí)，最優(yōu)價(jià)格p1,p2的變化、補(bǔ)貨量以及利潤的變化趨勢，如圖2、圖3和圖4。

圖2 價(jià)格p1和p2隨敏感系數(shù)b和折扣點(diǎn)x的變化趨勢

由圖2知，此時(shí)p2

圖3 補(bǔ)貨量Q隨敏感系數(shù)b和折扣點(diǎn)x變化趨勢

由圖3知，對于價(jià)格不敏感的顧客，補(bǔ)貨量的多少與何時(shí)調(diào)整價(jià)格關(guān)系不大；相反對于價(jià)格敏感的顧客，價(jià)格的轉(zhuǎn)折點(diǎn)越滯后，那么補(bǔ)貨量是逐漸降低的。因此，在實(shí)際生產(chǎn)中，對價(jià)格敏感顧客，及時(shí)的進(jìn)行價(jià)格調(diào)整可以保證足夠的銷售量。

圖4 利潤NP隨敏感系數(shù)和折扣點(diǎn)x的變化趨勢

由圖4知，利潤NP是關(guān)于敏感系數(shù)b的增函數(shù)，當(dāng)需求量受價(jià)格影響明顯時(shí)，零售商的利潤相對越高。針對本節(jié)算例中提出的相關(guān)參數(shù)，當(dāng)x在0.6附近時(shí)，進(jìn)行價(jià)格調(diào)整，會(huì)獲得較高的利潤。因此，如果需求受價(jià)格影響明顯，就需要適時(shí)進(jìn)行價(jià)格調(diào)整以增大收益。

5 結(jié)語

本文以利潤最大化為目標(biāo)，研究了需求率依賴于變質(zhì)率和價(jià)格，變質(zhì)率為具有三參數(shù)生存/危險(xiǎn)特征的Weibull分布的一類生鮮品庫存策略，并通過協(xié)調(diào)價(jià)格轉(zhuǎn)折點(diǎn)提高系統(tǒng)利潤。論文對構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了求解，并通過算例給出了合適的價(jià)格轉(zhuǎn)折點(diǎn)時(shí)間。算例分析說明，對于生鮮品，隨著時(shí)間的推移，銷售的價(jià)格越來越低，對銷售價(jià)格敏感的顧客，銷售量隨著價(jià)格轉(zhuǎn)折點(diǎn)的滯后而降低，但在整個(gè)銷售階段的1/2到3/5附近調(diào)整價(jià)格有助于增加利潤，對零售商的銷售策略有較好的指導(dǎo)意義。

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Pricing Policy for a Class of Fresh Goods with Survival and Hazard Characteristics

WANG Xian-jie1，HUANG Jia-wei1，WANG Shu-yun2

(1.School of Mathematics and Information Sciences, Yantai University, Yantai 264005, China;2.School of Economics and Management, Yantai University,Yantai 264005, China)

In recent years, the supply chain of cold chain has become increasingly frequent and the fresh product occupies an important proportion. Fresh product is a special kind of perishable commodity, which has a random life cycle and can be influenced by sales. So, retailers tend to make price adjustments based on the freshness of the product. The time of changing price is particularly important. In the case of no effect on normal consumption, the retail will take the price strategy to ensure sufficient profit.The ordering and pricing decision problem with a class of perishable fresh goods for the retailer is studied in one cycle, and the concept of price change point is introduced. The deterioration rate is represented by the three-parameter Weibull distribution, and the demand rate is the function of deterioration rate and the price together. The function of profit maximization is established. Solving the price function can be converted to a controllable Bolza problem which will get the optimal price representation. Through the example, the effect of price sensitivity and price turning point on the profit is studied. Further the sensitivity analysis and the price elasticity are analyzed. It shows that with the time elapsed, the sale price of fresh goods is more and more low; the more sensitive of the customers on price, the backer of the price turning point meanwhilethe price adjustment in the entire sales phase of the 1/2 to the 3/5 near to help increase profits.

fresh perishable goods; price turning point; survival/hazard characteristics

2015-05-20；

2015-12-19

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71672166,71372122)；山東省研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目(SDYY13060)

簡介：王淑云(1965-)，女(漢族)，山東棲霞人，煙臺(tái)大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院教授，河北工業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院博士生導(dǎo)師，研究方向：物流與供應(yīng)鏈管理，E-mail：jgwsy@ytu.edu.cn.

F274

A

1003-207(2016)09-0133-07

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.09.016