用GeoGebra促進學生數學思維的發展

龍正武

“數學是人類思維的體操”，利用數學可以培養人的思維能力，這些都已經是大家的共識。另外，數學思維是一個整體的結構，數學教學應從思維的整體性出發，數學教學要提高教學的理解力，促進學生思維整體結構的發展[1]。在信息技術飛速發展的今天，如何借助有關軟件來進行數學教學，幫助學生發展數學思維能力，已經成為廣大數學教育工作者十分關注的問題。

GeoGebra是一款結合了幾何、代數、微積分和統計功能的動態數學軟件，其提供了多種語言支持，已在歐洲和美國榮獲多項教育類軟件獎項。這一軟件近年來也越來越受到了一線教師的關注，得到了廣泛的應用和探討[2][3][4][5]。在試用和探索的過程中，筆者發現，比起過去大家課堂上使用的主流軟件，GeoGebra更能促進學生數學思維的發展，更有利于減輕一線中學數學教師制作課件和教學等的負擔，下面選取幾個案例加以說明。

關于分段函數的教學

函數是中學數學內容中一個非常重要的討論對象。而分段函數性質的考查，既涉及整體性的考量，又要處理函數局部的特征，因此這一內容一直是教學重點和難點之一。在實際教學過程中，借助分段函數的圖像來突破上述重難點是非常有效的教學手段。然而，手工或者利用有關教學軟件作出分段函數的圖像，一直是比較煩瑣和困難的。

例如，如果在課堂上要作出函數的圖像，有些教師作出的圖像如圖1所示，其中用加粗的曲線表示出了分段函數的圖像。

不難看出，用這樣的圖像進行教學會有不理想的地方，因為多余曲線的存在會干擾學生的思維，阻礙學生對分段函數整體性質的理解。

也有些教師是借助符號函數等將函數表達式化為一個，然后借助有關軟件實現的。例如，上述分段函數可以改寫為：

對于這種方式而言，即使不過分追究其中0的問題，單就分段函數改寫的表達式來理解，對學生來說也并不容易。

但如果使用GeoGebra，只需使用“if”命令就可以實現分段函數的顯示和作圖。例如，對于上述分段函數，只需在命令輸入窗口中輸入“f（x）=if[x<=0，x2+2x，x2-2x]”，即可得到圖2所示圖像。

圖2中代數區顯示的函數表達式，與學生課堂中所見形式是類似的，這無疑也能減輕學生理解上的負擔。

動態過程的實現

在一些內容的教學過程中，使用動態效果來讓學生加強對有關結論的直觀認識，已經是現在數學課堂上不可缺少的一種教學方式。這當然也是培養學生數學思維能力的一種有效手段。比如，為了讓學生深刻地理解函數中參數A對函數圖像的影響，教師一般都會制作有關動畫來動態演示變化過程。

在GeoGebra中，選中“滑動條”之后在繪圖區合適的位置單擊，即可新建參數，在出現的對話框中可以指定參數的類型（“數字”“角度”“整數”），設置區間的最小值、最大值和增量等。參數建立以后，就可以立即在函數表達式中使用。更加方便的是，右鍵單擊參數后，在快捷菜單中選擇“啟動動畫”，就可以讓參數在指定的范圍內自動變化，從而產生動畫效果。例如，上述三角函數的實現如圖3所示。

選擇“文件”“導出”“動畫GIF”命令后，可以將動畫效果導出為GIF圖像，以供制作PPT等使用。這對于教師來說，無疑是個非常適用的功能。

空間想象能力的培養

空間想象能力的培養是中學數學教學中一個非常重要的目標。給定空間幾何體，要學生畫出對應的平面直觀圖；給定二維的平面直觀圖，讓學生想象出有關空間幾何體及其中對象的位置關系等，都是教學中經常要做的事情。在這一過程中，涉及三維與二維相互轉化的問題，因此，這也是教學中的一個難點。

例如，空間幾何體直觀圖的斜二測畫法中，要求看不見的線應該畫成虛線或者不畫。在實際的操作過程中，無論是對教師來說還是對學生來說，這都是很容易出錯的。但在GeoGebra中，利用其中的“3D繪圖區”，只要指定了空間幾何體的各個面，那么看不見的線就能自動變為虛線，而且當改變空間幾何體的視角時，各線段也能自動在實線和虛線間切換，如圖4所示。

另外，在圖4所示的立體圖形中，顯示了球面與棱錐相交之后的截面形狀，這些內容的突出顯示能提高學生對立體圖形中有關幾何對象的認識，從而提高自己的空間想象能力。

統計計算和分析

因為統計的有關內容與日常生活的聯系非常緊密，而且在社會的各個方面都有應用，因而已經成為現代公民必須具備的知識之一。但是，在中學數學的教學中，因為統計知識所涉及的“隨機性”思想與傳統數學內容“確定性”的思想區別較大，所以教學和考查都是學生容易出錯的地方[6][7]。

統計的內容學生掌握起來比較困難的一個原因在于，其中涉及的計算比較煩瑣而且容易出錯。學生在學習的過程中，常常過分地關注了其中的計算而輕視了統計思想的理解。

例如，學生對平均值與方差，都知道怎么去算（雖然不一定算得對），但是大多數都不能將其直觀意義說出來。再比如，關于線性回歸分析的內容，學生往往只是驚嘆回歸系數公式的復雜和計算的繁雜，而不會仔細去體會回歸系數的理論和實際意義。

從這個角度來說，要促進學生統計思維的發展，在教學過程中，不僅要加強有關原理性知識的說明，而且要淡化其中的計算。但計算在統計教學中是不可避免的，離開了計算，學生根本沒有機會去直觀理解統計的原理，因此借助有關軟件來完成統計計算和分析，是發展學生統計思維的必由之路。

利用GeoGebra的表格區，可以方便、快捷地進行有關統計計算和分析，能實現的功能包括“單變量分析”“雙變量回歸分析”“多變量分析”等。

例如，2、4、5、6、8的單變量分析結果如圖5所示，可以看出，分析的結果中將平均數、標準差、最小值、中位數等都一并顯示出來了，而且還顯示了這組數的直方圖。這樣就可以讓學生的注意力放在原理的理解和掌握上，而不是計算實現的難易程度上。

輸入兩組數以后，也可以進行雙變量回歸分析，而且回歸模型可以指定為“線性”“對數”“多項式”“冪”“指數”“成長曲線”“正弦”“邏輯回歸”等的任何一種，如圖6所示。

指定回歸模型后，可以直接輸入自變量的值，從而得到預測值。

總的來說，GeoGebra的功能非常多，比如可以進行集合運算、排列組合數計算等。例如，利用命令“C=Intersection[A，B]”“D=Union[A，B]”可求得兩個集合A、B的交集C和并集D，利用“x=nPr[n，k]”“y=Binomial[n，k]”可求得排列數和組合數，甚至可以利用GeoGebraScript等進行交互式編程，實現數據輸入、創建復選框、創建按鈕等功能。其能夠滿足一線中學數學教學中關于代數、幾何、函數、概率統計等多方面的要求。但是，教學中任何信息技術的使用，都必須圍繞提高教學效率來進行，對中學數學教學來說，尤其是要注意幫助學生發展數學思維。如果在教學過程中，我們能創造性地利用好GeoGebra提供的各種功能，一定能提高一線數學教學的效率。

參考文獻

林崇德.智力發展與數學學習[M].北京：中國輕工業出版社，2011.

寇恒清.GeoGebra在高中數學教學中的應用初探[J].數學通報，2015.

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盤俊春.數形結合的利器：GeoGebra[J].中國信息技術教育，2013（3）.

薛麗芳.一對一數字化學習助力學生成長[J].中小學信息技術教育，2013（6）.

趙小平.高中概率統計教學中的幾組概念辨析[J].數學教學，2011（3）.

陳昂，任子朝.課改后統計與概率內容考查研究[J].數學通報，2013.

（作者單位：人民教育出版社課程教材研究所）