基于反演識別法的有限元模型校正

陳永亮 劉德帥 劉玉坤 彭 濤

天津大學，天津，300072

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基于反演識別法的有限元模型校正

陳永亮 劉德帥 劉玉坤 彭 濤

天津大學，天津，300072

提出了一種在動態分析中對機構的結合面進行參數識別的方法。建立機械結構的有限元模型并將其關鍵結合面以彈簧-阻尼單元代替，將模態計算的結果與實驗結果相結合建立目標函數；通過BP神經網絡擬合、遺傳算法參數尋優，得出最優結合面參數。以立式圓臺磨床為例，運用該方法，對其結合面參數進行了識別。結果表明，通過該方法進行有限元模型中結合面參數的識別是可行的。

立式磨床；模態試驗；有限元計算；神經網絡；遺傳算法

0 引言

在有限元計算中，機械結構的單件靜動態分析結果較為精確，但在計算組合件時，會因為不能正確建立構件之間結合面的有限元模型而產生較大誤差。如何建立結合面處的有限元模型成為動態分析及優化的關鍵[1-2]。在結合面理論建模的方法上，國內外學者都做過深入研究。文獻[3]在

結合面的建模上，對不同形式的結合面如直線導軌、螺栓連接、軸承支撐、絲杠等以不同形式的彈簧阻尼單元等效。文獻[4]以“虛擬接觸材料”模型來考慮機械結合部的影響。當前，結合面參數的識別主要有理論計算、實驗、理論與實驗結合三種方法。文獻[5]、文獻[6]以彈簧阻尼模型代替螺栓連接的結合面，通過經驗公式和大量實驗數據得到了各種結合面之間的剛度。文獻[7]將可動結合面等效為一個多節點的獨立單元，通過模態試驗和理論推導，得到結合面處的剛度矩陣。文獻[8]利用st.Venant的理論，通過實驗方法得到了結合面的剛度矩陣并驗證了它的準確性。文獻[9]以分形接觸理論為基礎，建立了結合面法向動態參數的理論分型模型，得到接觸剛度和阻尼受材料性能參數及法向接觸載荷的影響，并且接觸剛度和阻尼與分形參數之間表現出較強的非線性關系。文獻[10]分別用Baruch方法、Berman方法和Sensitivity方法對鉆床進行了有限元模型的修正，比較了各種方法的優劣，并強調了有限元模型修正的必要性。文獻[11]將理論公式得到的螺栓剛度作為結合面剛度參數進行有限元計算，并將結果與實驗結果相比較來說明該方法可行。這些方法所得的結合面參數都建立在各種假設或理想條件下，對一些結構簡單、形狀規則的構件，可以得到相對準確的參數值，但對于像機床這種結構復雜、螺栓布置不具有普遍性的機構，得到的參數值誤差較大。

反演識別法是一種實驗與計算相結合的方法，通過修改參數，得到不同參數下的計算結果，以目標函數值為判斷標準，當目標函數值符合要求時，就可得到相對精確的參數值，可以在沒有相應理論公式計算的情況下，作為識別參數、校正模型的一種方法。文獻[12]在材料力學中應用反演識別法，識別出材料界面的力學性質。反演識別過程中，僅通過理論試算很難得到最優參數值，這就需要進行公式擬合和優化設計。目前，擬合和優化方法有很多。文獻[13]將模態試驗結果和優化算法、諧波響應分析相結合，完成了螺栓連接結合面的參數識別。文獻[14]利用神經網絡和遺傳算法對凸輪軸數控磨削工藝參數進行了優化。對于未知的非線性函數，可以利用神經網絡和遺傳算法相結合的方法進行求解，利用神經網絡的非線性擬合能力和遺傳算法的非線性尋優能力尋找函數極值[15]。

本文介紹了基于反演識別法對有限元模型校正的方法。該方法利用BP神經網絡擬合公式，利用遺傳算法進行最優參數值的求解，并以天津市第二機床廠生產的單立柱式的立式圓臺磨床為例，通過該方法得到了結合面的參數值。

1 基于反演識別法的有限元模型校正方法

1.1 螺栓連接結合面理論建模

有限元計算的動力學建模過程中，如何準確識別結合面參數，從而建立結合面模型是精確建模的關鍵。處理結合面的方法很多，常用的方法是把結合面處理成3個互相垂直的彈簧阻尼單元，但這種方法誤差大，沒有考慮螺栓排列方式的影響，因此本文在每個螺栓連接處建立3個相互垂直的彈簧-阻尼單元。圖1為在結合面之間建立彈簧-阻尼單元的示意圖。工程上，大多數的振動系統都屬于小阻尼(阻尼比小于0.2)系統。對于小阻尼系統，阻尼對其固有頻率的影響可以忽略[16]，所以阻尼對本文所提到的機床系統的影響可以忽略。這樣求解結合面的參數就轉變成了求解3個方向的彈簧剛度的問題。

圖1 彈簧阻尼單元結合面模型

1.2 BP神經網絡擬合過程

求解3個方向的彈簧剛度這種非線性問題，難以用準確的數學公式表達。在這種情況下，可以通過神經網絡來表達這類非線性系統。該方法把未知系統看成是一個黑箱，首先用系統輸入輸出數據訓練神經網絡，使網絡能夠表達該未知函數，然后用訓練好的神經網絡預測系統輸出。神經網絡的基本單元稱為神經元，它是對生物神經元的簡化與模擬。一個典型的神經元模型由輸入、網絡權值和閾值、激發函數、求和單元、輸出組成。BP神經網絡是一種多層前饋神經網絡，主要特點是信號前向傳遞，誤差反向傳播。在前向傳遞過程中，輸入信號從輸入層經隱含層逐層處理，直至輸出層[17]。BP神經網絡中，每一層的神經元狀態只影響下一層的神經元狀態。對于本文所研究的問題，BP神經網絡的算法流程如圖2所示。

圖2 BP神經網絡算法流程圖

BP神經網絡預測前首先要訓練網絡，然后才能預測輸出。具體的訓練步驟如下：

(1)網絡初始化，確定系統輸入輸出。系統輸入為有限元分析中設定的三方向的彈簧剛度kx、ky、kz。輸出為有限元計算所得的前三階固有頻率f1、f2、f3。

(2)隱含層的輸出為

其中，Hj為隱含層j節點輸出；xi為輸入層i節點輸入，在這里x1、x2、x3分別為kx、ky、kz；l為隱含層節點數；wij為輸入層i節點與隱含層j節點間的連接權值；aj為隱含層j節點閾值；f(*)為隱含層激勵函數，該函數有多種表達形式，本文中所用函數為

(3)輸出層的輸出為

式中，wjk為隱含層j節點與輸出層節點k間的連接權值；bk為輸出層k節點的閾值；Ok為輸出層k節點的輸出。

(4)輸出節點k處的誤差為

ek=fk-Okk=1,2,3

(5)權值更新公式分別為

式中，η為學習效率。

(6)閾值更新公式分別為

(7)判斷算法迭代是否結束，若未結束，返回步驟2。

1.3 遺傳算法尋優過程

遺傳算法是一種模擬自然界遺傳機制和生物進化論而形成的一種并行隨機搜索最優化的方法。把自然界“優勝劣汰，適者生存”的生物進化原理引入優化參數形成的編碼串聯群體中，將選擇的適應度函數作為優劣判斷標準，通過遺傳中的選擇、交叉和變異對個體進行篩選，使適應度好的個體保留，適應度差的個體淘汰。新群體既繼承了上一代的信息，又優于上一代，這樣反復循環，直至滿足條件[15]。用遺傳算法對神經網絡尋優，就是要把訓練后的神經網絡預測結果作為個體適應度值，通過選擇、交叉、變異尋找函數最優值及對應輸入值，具體的算法流程如圖3所示?；静襟E如下：

(1)種群初始化，對個體進行編碼，設定種群規模，進化次數，交叉、變異概率等。

(2)建立目標函數

式中，aj(j=1，2，3)為第j階固有頻率的加權系數，a1=0.5，a2=0.35，a3=0.15；fjcal、fjtest分別為第j階固有頻率的軟件計算值和實驗所得值。

設計變量為

約束條件為

kxmin

kzmin

(3)將目標函數值作為適應度，計算適應度值。因為目標函數值越小，理論計算值與實驗值越接近，所以，適應度越小，所求彈簧剛度越符合實際。

(4)選擇、交叉、變異操作。

(5)判斷進化是否結束，若否，則返回步驟3。

圖3 遺傳算法極值尋優流程圖

1.4 反演識別法校正有限元模型的流程

反演識別技術對于建立準確的有限元模型、計算準確的動態特性十分有效。本文基于豐富的試驗(模態試驗)測試信息、反演識別技術和現代的計算手段(ANSYS軟件計算)，提出一種基于模態試驗的反演識別一體化方法，來快速建立并修正有限元模型。圖4為基于模態試驗的反演識別方法修正有限元模型的流程圖。具體步驟如下:

(1)進行模態試驗，通過模態試驗測出低階固有頻率和振型。

(2)結合面彈簧-阻尼單元個數及位置分布的確立。根據螺栓連接的個數及分布狀況，確立彈簧-阻尼單元的個數及位置分布，給定初始彈簧剛度。

(3)在ANSYS中建立有限元模型，設定結合面參數，進行有限元分析，計算出固有頻率和振型。改變參數后，多次試算，得出一系列不同參數下的固有頻率。

(4)用前三階固有頻率與結合面參數進行擬合，得到輸入(結合面參數)與輸出(感興趣的頻率范圍內的模態頻率)之間的關系。

(5)構建目標函數，根據各階固有頻率的權重，建立相應目標函數。

(6)根據輸入輸出之間的函數關系和目標函數值，進行最優結合面參數的求解。

(7)將最優結合面參數代入有限元模型進行模態計算，并將計算所得的模型的前三階固有頻率代入目標函數公式。若目標函數值在理想誤差范圍內，則求解所得的結合面參數可作為動力學分析建模的結合面參數。

圖4 基于模態試驗的反演識別方法修正有限元模型流程

下面以有限元分析計算中的立式圓臺磨床的動力學建模為例，詳細介紹如何利用反演識別法對立式圓臺磨床的動力學有限元模型進行校正。

2 模態試驗

2.1 試驗對象與測試平臺

試驗樣機是由天津市第二機床廠生產的單立柱式的立式圓臺磨床。模態試驗是在虛擬儀器平臺上實現的。該平臺的硬件包括PC機、數據采集卡、加密卡、力錘、加速度傳感器、電荷放大器、電纜等，使用的軟件為LMS Test. Lab。

2.2 測試方案及試驗建模

立式圓臺磨床結構復雜，模態分布較密集，從結構動力學特性分析原則考慮，應該用單輸入/多輸出的激振方式，即在一點進行錘擊、在不同方向拾取機床各個測點的信號。試驗的技術路線如圖5所示。

圖5 模態試驗技術路線

試驗所得的前三階的固有頻率和相應振型如表1、圖6所示。

(a)一階 (b)二階 (c)三階

3 有限元軟件試算

如果建立的有限元模型能為少數低階模態提供精確的計算結果，那么以它來模擬實際結構進行模態分析和動態設計就更為準確。由試驗結果可以看出，前三階模態主要受立柱與床身之間的結合面參數影響，故對此結合面進行精確建?？梢暂^為精確地模擬實際情況。所以，根據前面的結合面建模方法，在結合面每個螺栓所在位置處以x、y、z方向的3個彈簧代替，通過改變彈簧剛度，得到多組試驗數據，進而發現變化規律。

3.1 有限元模型的建立

在有限元模型中，床身與立柱之間不設接觸，以彈簧單元連接。該機床立柱和床身之間共有12個螺栓，所以建立36個彈簧單元。其余結合面由于對前三階固有頻率影響較小，所以全部設為綁定。該模型的邊界條件為床身底面螺栓處作固定約束。

3.2 第一次有限元軟件試算

第一次有限元軟件試算的目的主要是確定各彈簧的剛度變化范圍和剛度對各階頻率的影響。試算過程中，3個剛度中的2個剛度不變，另外1個剛度以遞增方式變化，這樣可以看出該彈簧剛度對固有頻率的影響。

(a)x方向的彈簧剛度對前三階頻率影響

(b)y方向的彈簧剛度對前三階頻率影響

(c)z方向的彈簧剛度對前三階頻率影響

試算結果如圖7所示。由圖7可知，第一階固有頻率主要與z方向的彈簧剛度相關，第二階固有頻率主要與x、z方向的彈簧剛度相關，第三階固有頻率主要與x、y方向的彈簧剛度相關。由試驗結果和有限元試算結果可知，當有限元計算得到的三階固有頻率在試驗所得三階固有頻率附近時，可以確定x、y、z方向的彈簧剛度的變化范圍：

3.3 第二次有限元軟件試算

第二次軟件試算的目的是為下一步的神經網絡擬合提供數據。根據第一次試算的結果，分別在相應變化范圍內取4個彈簧剛度數據，即kx=10 MN/m，15 MN/m，20 MN/m，25 MN/m；ky，kz=100 MN/m，200 MN/m，300 MN/m，400 MN/m。對kx、ky、kz做全面試算，共得到64組數據，如表2所示。表2中，自左向右用分號分隔的數據依次為1～3階的固有頻率。

4 神經網絡遺傳算法函數極值尋優

4.1 算法模型的建立

神經網絡遺傳算法函數極值尋優主要分為BP神經網絡訓練擬合和遺傳算法極值尋優兩步。遺傳算法極值尋優把訓練后的BP神經網絡預測結果代入目標函數公式中作為個體適應度值，通過選擇、交叉和變異操作尋找函數的全局最優值及對應輸入值。在此算法中，輸入變量為x、y、z方向的彈簧剛度，變量的變化范圍是第一次軟件試算中所得到的剛度變化范圍。目標函數公式中的加權值a1=0.5，a2=0.35，a3=0.15。

表2 不同彈簧剛度下1～3階的固有頻率 Hz

該非線性函數有3個輸入參數、1個輸出參數，BP神經網絡結構為3-5-1結構，即輸入層有3個節點，隱含層有5個節點，輸出層有1個節點。取64組數據中的任意56組數據訓練網絡，使用其余8組數據測試網絡性能。遺傳算法中，種群規模為50，進化次數為200，交叉概率為0.4，變異概率為0.2。

根據遺傳算法和BP神經網絡理論，在MATLAB中編程實現神經網絡遺傳算法非線性函數尋優。

4.2 結果分析

4.2.1 BP神經網絡結果分析

BP網絡預測輸出值與實際計算值如圖8所示，神經網絡預測誤差如圖9所示。由圖9可知，訓練所得的網絡得出的預測值誤差很小，不超過0.3 Hz,所以由該網絡得到的預測值可信度較強，可以作為輸入輸出的擬合網絡。

圖8 網絡預測輸出與計算值對比圖

圖9 網絡預測偏差

4.2.2 遺傳算法尋優結果分析

遺傳算法迭代過程中的收斂曲線如圖10所示，適應度值即目標函數值為0.0376，接近于0。此時，x方向的彈簧剛度為10.1 MN/m，y方向的彈簧剛度為394 MN/m，z方向的彈簧剛度為285 MN/m。

圖10 遺傳算法迭代曲線

4.3 結果驗證

將遺傳算法尋優所得的彈簧剛度設為Workbench中所建立彈簧的剛度，經有限元軟件計算得到機床的前三階固有頻率，如表3所示，相對應的前三階振型如圖11所示。將計算所得前三階固有頻率代入目標函數值計算公式，得到的結果為0.039。這與遺傳算法所得的適應度值0.0376相差很小，說明神經網絡遺傳算法函數極值尋優所得結果具有較高可信度。

表3 有限元計算與試驗分析頻率

(a)第一階

(b)第二階

(c)第三階

5 結論

(1)根據模態試驗的結果，利用反演識別的方法對立式圓臺磨床的有限元模型進行校正，可以得到較高精度的有限元模型。

(2)利用神經網絡訓練擬合所得的網絡能夠很好地反映輸入與輸出之間的函數關系，可以利用該網絡進行極值求解。

(3)在沒有具體函數表達式的情況下，利用遺傳算法的非線性極值尋優能力，可以找到比較準確的優化結果。

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(編輯 張 洋)

Finite Element Model Updating Based on Inversion Method of Identification

Chen Yongliang Liu Deshuai Liu Yukun Peng Tao

Tianjin University,Tianjin,300072

In dynamic analysis, a method to identify parameters of contact surfaces was put forward. The finite element model of mechanical structure was set up, and its key contact surface was replaced by spring-damper elements. Then the modality calculation was carried out. The objective function was built by combining the calculation results with the experimental results. Finally, the optimal parameters were obtained by the fitting of BP neural network and parameter optimization of genetic algorithm. The method was applied to the vertical grinder to obtain the parameters of contact surface. The results show that the method of identifying the parameters of contact surfaces is feasible.

vertical grinding machine; modal test; finite element calculation; neural network; genetic algorithm

2015-12-23

國家自然科學基金資助項目(51275347)；天津市重大科技專項(12ZCDZGX45000)；天津市自然科學基金重點資助項目(13JCZDJC35000)

TH113.1

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.21.019

陳永亮，男，1972年生。天津大學機械工程學院副教授、博士后研究人員。主要研究方向為CAD/CAE/CAM、模塊化設計。發表論文30余篇。劉德帥，男，1991年生。天津大學機械工程學院碩士研究生。劉玉坤，男，1990年生。天津大學機械工程學院碩士研究生。彭 濤，男，1992年生。天津大學機械工程學院碩士研究生。