固定-導向柔順桿件6R偽剛體模型

劉 凱 曹 毅, 2, 3 葛姝翌

1.江南大學，無錫，2141222.上海交通大學系統控制與信息處理教育部重點實驗室，上海，2002403.哈爾濱工業大學機器人技術與系統國家重點實驗室，哈爾濱，150080

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固定-導向柔順桿件6R偽剛體模型

劉 凱1曹 毅1, 2, 3葛姝翌1

1.江南大學，無錫，2141222.上海交通大學系統控制與信息處理教育部重點實驗室，上海，2002403.哈爾濱工業大學機器人技術與系統國家重點實驗室，哈爾濱，150080

為提高固定-導向型偽剛體模型的計算精度，基于偽剛體模型的原理提出了一種固定-導向6R偽剛體模型。建立了該模型的運動學方程，并根據逆運動學分析方法及優化算法求解了模型的4個最優特征半徑系數和3個扭簧剛度系數。通過數值算例模擬固定-導向6R偽剛體模型的末端動作路徑，并將其與固定-導向2R偽剛體模型及柔順桿件的末端路徑進行對比。結果表明，固定-導向6R偽剛體模型能夠更加精確地模擬相應柔順桿件的末端動作過程，且其相對誤差幾乎為0。最后，通過ANSYS有限元分析實例驗證了該模型在實際計算中的精確性。

偽剛體模型；固定-導向柔順桿件；優化算法；有限元分析

0 引言

柔順機構是一種利用機構桿件自身柔性變形來實現運動和力傳遞或轉換的新型機構[1]。對柔順機構的研究主要包括柔順機構的設計、優化及其高效分析模型的建立。Yoo[2]等、張憲民[3]結合拓撲學對柔順機構進行了設計、分析。陳貴敏等[4]基于偽剛體建模方法，給出了一種有效的平面柔順機構自由度計算方法。秦振等[5]基于有限元法對以柔性框架為主體的步行機進行了仿真分析。Friedrich等[6]建立了柔順機構圓形柔性鉸鏈的非線性模型。王偉華等[7]、Ahuett-Garza等[8]分別對大變形情況下的柔順桿件與柔性鉸鏈進行了研究。

由于柔順機構常常出現幾何非線性大變形，因此分析過程紛繁復雜。為了簡化柔順桿件的計算過程，Howwell等[9-10]率先提出了懸臂梁模式和固定-導向模式下的最簡偽剛體模型，并利用數理統計的方法求得相關特征參數。基于此模型，Dado[11]建立了力載荷作用下大變形梁的變參數偽剛體模型。另外，馮忠磊等[12]、Su[13-14]分別提出了懸臂梁模式下2R和3R偽剛體模型，提高了模型的分析精度。余躍慶等[15-16]在偽剛體模型中引入了移動副，建立了懸臂梁模式下PR偽剛體模型，充分考慮了桿件的軸向變形。Wang等[17]針對分析過程更為復雜的波紋懸臂梁建立了偽剛體模型并用仿真驗證了其正確性。綜上所述，國內外學者對柔順機構的研究已經取得了大量成果，但對于力載荷作用下的固定-導向柔順桿件的變形分析，僅有Howwell提出的固定-導向2R偽剛體模型能簡化其計算過程，但是此模型仍存在以下問題：①模型的計算精度有限；②無法模擬固定-導向柔順桿件的中點處轉角。

針對上述問題，本文基于偽剛體模型的原理提出了一種固定-導向6R偽剛體模型，并通過優化算法確定了該模型的4個半徑特征參數和3個扭簧剛度系數。之后通過數值算例模擬該模型的末端運動軌跡，并將其與固定-導向柔順桿件和固定-導向2R偽剛體模型的末端軌跡相比較，證明了該模型的優越性。最后用ANSYS實例驗證了該模型在實際計算中的精確性。

1 固定-導向6R偽剛體模型

末端受力載荷作用的固定-導向柔順桿件如圖1所示，該桿的一端被固定，另一端被“導向”，即使該桿件的末端僅可實現平移而不能轉動。由于末端要保持一個固定角度，因此末端必有相應的力矩(圖1中的M0)，故所得的桿件變形關于中心線反對稱。

圖1 固定-導向柔順桿件

如圖1所示，θ0為桿件中點處的轉角；φ為力F與x軸的夾角；(a,b)為桿件末端的坐標；末端載荷在垂直方向上的分力為Fy，軸向分力Fx=nFy=-Fycotφ，其中，n>0代表對未變形桿件產生壓力，總力F為

(1)

固定-導向柔順桿件末端的量綱一坐標分量為

(2)

(3)

λ=sinθ0-ncosθ0

式中，α為量綱一載荷參數；L為桿件長度。

偽剛體模型用具有等效力-變形關系的剛體構件來模擬柔順部件的變形，以實現剛體靜力學理論對柔順機構的分析。綜合考慮圖2所示的固定-導向2R偽剛體模型的計算精度及結構，本文提出了固定-導向6R偽剛體模型，如圖3所示。固定-導向6R偽剛體模型由7個剛性桿件、6個轉動副和6個扭簧(代表柔順桿件的抗彎能力)組成。γi(i=0, 1, 2, 3)為模型段的特征半徑系數，滿足2γ0+2γ1+2γ2+γ3=1；Kc(c=1, 2, 3)為扭簧常數，對應扭簧剛度系數Kθc；θc為偽剛體角；柔順桿件的中點處轉角θ0=θ1+θ2+θ3；Qw為模型末端位置；l為桿件的總長，其與特征半徑系數的乘積即為各段剛性桿件的長度。下文將對4個半徑特征系數和3個扭簧剛度系數進行求解。

圖2 固定-導向2R偽剛體模型

圖3 固定-導向6R偽剛體模型

2 模型系數求解

2.1 運動學分析

首先對固定-導向6R偽剛體模型進行運動分析和受力分析，建立其運動學方程。由圖3可得模型末端的量綱一坐標：

Qw=(Qwx,Qwy)=(a/l,b/l)=

(2γ0+2γ1c1+2γ2c12+γ3c123，2γ1s1+2γ2s12+γ3s123)

(4)

c1=cosθ1，s1=sinθ1，c12=cos(θ1+θ2)，

s12=sin(θ1+θ2)，c123=cos(θ1+θ2+θ3)，

s123=sin(θ1+θ2+θ3)

在已知模型末端點位置Qw和中點處轉角θ0的情況下，根據逆運動學分析可求出固定-導向6R偽剛體模型的偽剛體角θ1、θ2和θ3：

(5)

(6)

θ3=θ0-θ1-θ2

(7)

為了簡化計算，引入一個從P1到P3的矢量：

2.2 剛度系數和特征半徑系數

固定-導向柔順桿件的抗彎能力可以用量綱一的扭簧剛度系數Kθc來描述。對于給定的固定-導向6R偽剛體模型末端力載荷，模型中轉動副處的扭矩為

(8)

式中，Fx=Fcosφ為水平作用力；Fy=Fsinφ為垂直作用力。

扭矩Tc為扭簧常數Kc與偽剛體角θc之間的乘積，即Tc=Kcθc。因此

diag(θ1，θ2，θ3)[K1K2K3]T=J[FxlFyl]T

(9)

扭簧常數Kc與扭簧剛度系數Kθc、幾何關系I/l、材料特性E有關：

Kc=KθcEI/l

故式(9)亦可以表示為

(10)

由式(10)可得

(11)

將量綱一的力載荷系數α2=Fl2/(EI)代入式(11)，可得

(12)

模型特征半徑系數γi的初始值可通過變形最大允許誤差得到。然后，進一步確定既能產生最大參數化極值角θ0max，同時又滿足誤差限制的γ，其中，誤差限制條件為

(13)

(14)

(15)

式中，e為絕對變形誤差；e/δe為相對變形誤差。

當滿足上述條件的γi較多時，取不同的n，選擇使各組扭簧系數的差平方之和最小的γi作為固定-導向6R偽剛體模型的特征半徑系數，以確保所求解扭簧剛度系數的穩定性，具體的判斷條件為

(16)

根據參數約束條件及運動學方程，固定-導向6R偽剛體模型的特征半徑系數可用圖4所示的流程求得，其中，Δθ0為搜索步長，|(e/δe)max|為最大允許誤差。

圖4 半徑特征系數的計算步驟程序框圖

為驗證上述算法的正確性，設定相對變形的最大允許誤差|(e/δe)max|為0.1%，Δθ0為0.01，n分別取0、±0.5、±1、±1.5、±2、±3、±4、±5，最終求得固定-導向6R偽剛體模型的最優特征半徑系數：γ0=0.030, γ1=0.050, γ2=0.245, γ3=0.350。

根據已知的特征半徑系數γi，利用式(12)求得在不同力作用角度下的扭簧剛度系數Kθc。進一步研究發現扭簧剛度系數Kθc幾乎不隨力載荷系數α2的增加而變化，基本維持在一個定值附近，現將這個定值記錄并匯總于表1。

根據表1所示數據可知，n不同時，固定-導向6R偽剛體模型的3個扭簧剛度系數都較為穩定，可以用給定范圍內的平均值表示；值得指出的是,多數力載荷都在63°<φ<135°，即-0.5

Kθ1=19.409 64，Kθ2=9.148 42， Kθ3=6.977 52

表1 不同力作用角度下的扭簧剛度系數值

3 模型計算精度分析

3.1 模型末端運動軌跡精度分析

為驗證固定-導向6R模型末端運動軌跡的精確性，將固定-導向6R偽剛體模型(γ0=0.030,γ1=0.050,γ2=0.245,γ3=0.350,Kθ1=19.409 64,Kθ2=9.148 42,Kθ3=6.977 52)、固定-導向2R偽剛體模型(γ=0.85,Kθ=2.65)及固定-導向柔順桿件的末端運動軌跡繪制于圖5。同時，為了更直觀地表達兩種模型的末端運動軌跡誤差，根據已知的偽剛體模型及固定-導向柔順桿件的末端位置Qw、Q，聯立式(13)～式(15)可求得相對誤差e/δe，利用相對誤差值繪制得到圖6所示的模型末端軌跡誤差曲線。

圖5 末端運動軌跡對比

圖6 兩種模型的末端運動軌跡誤差

由圖5、圖6可知，兩種模型的末端運動軌跡和基于橢圓積分求解的固定-導向柔順桿件的末端運動軌跡基本吻合，但固定-導向6R偽剛體模型的軌跡誤差幾乎始終為0；對于固定-導向2R偽剛體模型，當轉角增加到一定值后誤差就會快速上升至10%以上。因此，固定-導向6R偽剛體模型的末端軌跡模擬精度更高。

3.2 模型中點處轉角精度分析

圖7描述了固定-導向柔順桿件、固定-導向6R偽剛體模型及固定-導向2R偽剛體模型在不同位置的中點處轉角。如圖7所示，固定-導向6R偽剛體模型和固定-導向柔順桿件各位置對應的中點處轉角幾乎完全吻合，而固定-導向2R偽剛體模型的中點處轉角與柔順桿件相比有較大差異。

圖7 中點處轉角對比

上述研究分析證明了固定-導向6R偽剛體模型的優越性，其完全能夠精確模擬固定-導向柔順桿件的末端運動軌跡及中點處轉角。

4 ANSYS仿真驗證

為了驗證固定-導向6R偽剛體模型在實際計算中的正確性，本文設計了固定-導向柔順桿件變形分析實例，基于ANSYS建立了該桿件的有限元模型，并將有限元分析結果與該模型的計算結果進行對比。

所設計實例的結構參數如下：桿件長L=50 mm，寬B=5 mm，高h=4 mm。本例中選擇強度與彈性模量之比較高的ABS工程塑料(彈性模量E=2.2 GPa，泊松比ν=0.34)作為柔順桿件的材料。在桿件的一端添加固定約束，另一端添加“導向”約束，同時在“導向”端施加不同作用角度的力載荷。由圖8可知，φ=90°，F=100 N時，ANSYS計算的桿件變形量δ1=15.949 mm；聯立偽剛體模型的式(4)、式(8)求得桿件的變形量δ2=15.951 mm。選擇不同大小的力可以得到表2所示的計算分析結果。

圖8 桿件變形圖

從表2中可以發現，固定-導向6R偽剛體模型的計算值和有限元分析結果的吻合度較高，最大誤差不超過2.5545%；當力作用角度φ分別為63.4°，116.6°，135°時，桿件變形量的兩種計算結果

表2 桿件變形有限元仿真值與理論計算值(力作用角為90°)

果如圖9～圖11所示，仍保持了較高的相似度。φ=63.4°時，最大誤差不超過2.4007%；φ=116.6°時，最大誤差不超過3.0728%；φ=135°時，最大誤差不超過2.8426%。由上述分析可知，固定-導向6R偽剛體模型在實際計算中有較高的精確性，完全可以用于柔順機構的變形分析。

圖9 力作用角為63.4°時桿件變形量隨力的變化

圖10 力作用角為116.6°時桿件變形量隨力的變化

圖11 力作用角為135°時桿件變形量隨力的變化

5 結論

(1)基于偽剛體模型的原理，本文提出了一種固定-導向6R偽剛體模型，該模型能夠精確模擬固定-導向柔順桿件的末端運動軌跡及中點處轉角。

(2) 提出了固定-導向6R為剛體模型各參數的優化算法，并利用該算法求解了γi和Kθc。

(3) 用數值算例證明了固定-導向6R偽剛體模型的優越性。

(4) 通過ANSYS有限元分析實例驗證了固定-導向6R偽剛體模型在實例計算中的精確性。

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(編輯 張 洋)

6R PRBM of Fixed-guided Compliant Links

Liu Kai1Cao Yi1, 2, 3Ge Shuyi1

1.Jiangnan University, Wuxi, Jiangsu，214122 2.Key Laboratory of System Control and Information Processing, the Ministry of Education,Shanghai Jiao Tong University, Shanghai, 200240 3.State Key Laboratory of Robotics and System, Harbin Institute of Technology, Harbin, 150080

Based on the principles of PRBM, a new fixed-guided 6R PRBM was presented to improve the calculation accuracy for the fixed-guided compliant links firstly. Secondly, the kinematics equation of the model was set up, and the optimal characteristic radius coefficients and the spring stiffness coefficients were acquired using the optimization algorithm and inverse kinematical analysis. In order to validate the calculation accuracy of the fixed-guided 6R PRBM, numerical examples were demonstrated by comparing the tip locus of the fixed-guided 6R PRBM with that of the fixed-guided 2R PRBM. Further research shows that the fixed-guided 6R PRBM may actually simulate the tip locus of the compliant links and the relative error is almost equal to zero. Finally, the accuracy of the model in actual calculation was verified by finite element analysis and engineering examples.

pseudo-rigid-body model (PRBM); fixed-guided compliant link; optimization algorithm; finite element analysis

2015-12-30

國家自然科學基金資助項目(50905075)；江蘇省“六大人才高峰”資助項目(ZBZZ-012)；機器人技術與系統國家重點實驗室開放基金資助項目(SKLRS-2016-KF-06)；系統控制與信息處理教育部重點實驗室開放基金資助項目(scip-201506)

TH112

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.21.014

劉 凱，男，1991年生。江南大學機械工程學院碩士研究生。主要研究方向為柔順機構學。曹 毅，男，1974年生。江南大學機械工程學院副教授,系統控制與信息處理教育部重點實驗室訪問學者，機械人技術與系統國家重點實驗室訪問學者。葛姝翌，女，1992年生。江南大學機械工程學院碩士研究生。