垂直水平面軸向無旋轉時拋出的硬幣最終直立的概率

許劭晟

【摘要】眾所周知，在處理拋硬幣問題時，均以正反面出現的概率為12的情況來處理，而在理論上存在一定的概率使得硬幣在拋出后既不是正面也不是反面，而是直立起來.但是這個硬幣最終事件的概率足夠小，在現實生活中幾乎不會出現，因此往往被選擇忽視.本文簡化了拋硬幣的過程，不考慮垂直水平面軸向轉動，只在最后一次硬幣彈起（或硬幣不會彈起）再次接觸地面后的情況做出分析討論.最后通過求出二元隨機變量函數的聯合概率密度，得出該問題的解.

【關鍵詞】能量守恒；聯合概率密度

盡管在實際生活中，我們都默認硬幣出現正反面的概率都是12，但是事實上存在一定的概率使得拋出的硬幣最后是直立的.下面簡化了一下復雜的情況，單從垂直水平面軸無旋轉的情形給出硬幣最終直立的概率.圖1給出了硬幣在兩種狀態下的側視圖，設硬幣質量為M，半徑為R，假設地面水平，滑動摩擦力足夠大（即硬幣最后只轉動，不平移）考慮硬幣最后一次彈起，再次接觸地面后，達到狀態1，如圖所示，根據假設此時硬幣不再彈起，故該截面右下角與地面發生碰撞后，速度向量投影到水平方向.若需要硬幣直立，則硬幣現在的動能與勢能和必須小于其在地面上可能獲得的最大勢能，即成立不等式：

【參考文獻】

[1]Papoulis，A.Pillai.概率，隨機變量與隨機過程[M].陜西：西安交通大學出版社，2012.