類歐拉方程的解法探討

徐一調(diào)

【摘要】本文從歐拉方程的特征出發(fā)定義了類歐拉方程的相關概念，并使其盡量得以簡化，最后給出齊次與非齊次方程解的形式，具有一定的創(chuàng)造性.

【關鍵詞】歐拉方程；類歐拉方程；重根因子；齊次與非齊次

已知形狀為xndnydxn+a1xn-1dn-1ydxn-1+…+an-1xdydx+any=0的方程稱為歐拉方程.（這里a1，a2，…，an-1，an為常系數(shù)）.引進自變量的變換x=et之后歐拉方程可變?yōu)槌Ｏ禂?shù)齊次線性微分方程

dnydtn+b1dn-1ydtn-1+…+bny=0.（1）

而變形后的微分方程有形如y=eλt的解，從而歐拉方程有形如y=xλ的解.代入歐拉方程之后便可得到確定λ的代數(shù)方程λ（λ-1）…（λ-n+1）+a1λ（λ-1）…（λ-n+2）+…+an=0.（2）

此方程亦為（1）的特征方程.若特征方程的m重特征根為λ=α+iβ，對應于歐拉方程的2m個實數(shù)解為

xαcos（βln|x|），xαln|x|cos（βln|x|），…，xαlnm-1|x|cos（βln|x|），

xαsin（βln|x|），xαln|x|sin（βln|x|），…，xαlnm-1|x|sin（βln|x|）.

事實上，當β=0的時候，λ為實數(shù)，以上解的形式仍適用（下文給出的齊次與非齊次方程解的形式均可體現(xiàn)這點）.上述為歐拉方程的形式以及解的討論.

當方程的形式為xndndxn+a1xn-1dn-1dxn-1+…+

an-1xddx+anky=0時，我們稱其為類歐拉方程，其中k（k∈N）稱為重根因子或放大倍數(shù).為探究其解的形式，我們不妨從較為簡單的n=2，k=2入手，研究解方程的過程從而推廣到任意情形中去.

首先考察方程x2d2dx2+xddx-42y=0，仍設y=xλ并代入方程中，有

x2d2dx2+xddx-4x2d2dx2+xddx-4xλ=0，

x2d2dx2+xddx-4[λ（λ-1）xλ+λxλ-4xλ]=0，

（λ2-4）x2d2dx2+xddx-4xλ=0，

（λ2-4）[λ（λ-1）xλ+λxλ-4xλ]=0，

（λ2-4）2xλ=0.

從而λ1，2=2，λ3，4=-2.

此方程的解為y=c1x2+c2x2ln|x|+c3x-2+c4x-2ln|x|.我們不難發(fā)現(xiàn)，（λ2-2）2xλ=0這一等式中，λ2-4來自于特征方程（2）中，而指數(shù)2則來自于所考察方程的2次運算（而不能說2是指數(shù)，應注意2的含義），通過與歐拉方程進行比較，考察方程多出了兩個二重根，這正是2次運算的影響，實際上也是重根因子k的影響.從而我們由此推廣可以得到將y=xλ代入類歐拉方程之后的代數(shù)方程：

[λ（λ-1）…（λ-n+1）+a1λ（λ-1）…（λ-n+2）+…+an]kxλ=0.（3）

實際上，上面方程仍可以化簡為：

（Anλ+a1An-1λ+a2An-2λ+…+an）kxλ=0.

令R=Anλ+a1An-1λ+a2An-2λ+…+an=∑ni=0aiAn-iλ，并稱為歐拉因子.其中a0=1，Anλ=λ（λ-1）…（λ-n+1），

則最終化簡為Rkxλ=0.（4）

事實上，（3）（4）式的得出完全可以由y=xλ代入類歐拉方程經(jīng)過嚴格推導后得出而不依賴于考察方程的類比.

在考慮重根因子（放大倍數(shù)）之后的解的形式（若（4）式的km重根為λ=α+iβ）為

xαcos（βln|x|），xαln|x|cos（βln|x|），…，xαlnkm-1|x|cos（βln|x|），xαcos（βln|x|），xαln|x|cos（βln|x|），…，xαlnkm-1|x|cos（βln|x|）.下面繼續(xù)研究它對應的非齊次方程.

對于方程xndndxn+a1xn-1dn-1dxn-1+…+an-1xddx+anky=f（x），其中f（x）≠0.我們稱之為類歐拉常系數(shù)非齊次方程.考慮到較為一般情形，設f（x）=Pn（x）eαx（acosβx+bsinβx）.

①若α±iβ不是特征根，特解的形式為

Q（1）n（t）e（α+iβ）t+Q（2）n（t）e（α-iβ）t，

即為Q（1）n（ln|x|）xα+iβ+Q（2）n（ln|x|）xα-iβ.

②若α±iβ是特征根，且為mk重根（m∈N，k為重根因子），其特解形式為

[Q（1）n（ln|x|）xα+iβ+Q（2）n（ln|x|）xα-iβ]lnmk|x|.

其中Pn（x），Q（1）n（t），Q（2）n（t），Q（1）n（ln|x|），Q（2）n（ln|x|）均為x（或t或ln|x|）最高次冪不超過n次的多項式.

不難看出，類歐拉方程在非齊次方程以及對應的齊次方程的解的形式比歐拉方程更具有推廣意義.因為當k=1時類歐拉方程退化為歐拉方程，其齊次與非齊次方程解的形式完全適用.

【參考文獻】

[1]王高雄，周之銘，朱思銘.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006：142.

[2]李忠，周健瑩.高等數(shù)學下冊（第二版）[M].北京：北京大學出版社，2009：192.