數學解題時應重視題中隱含的條件

李巧云

【摘要】隱含條件就是隱含于題目中的比較隱蔽的而解題又需要的條件.由于它具有一定的隱蔽性，不易發現.因此常被學生所忽視，從而造成解題過程中容易出現錯誤.在初中數學教學中，教師應重視分析題中隱含的條件.

【關鍵詞】數學；解題；隱含條件

常常容易被我們所忽視的隱含條件，主要表現在以下幾個方面：

一、由分式的值為零，求未知數的值時，應注意分子的值為零但分母的值不能為零

例1若分式x2-4x-5x2-5x的值為零，求x的值.

本題看上去沒有條件限制，但卻隱含著本題成立時必須具備的兩個條件，其一是分子的值等于零；其二是分母的值不能等于零.而且這兩個條件應同時具備，缺一不可.

解依題意得x2-4x-5=0x2-5≠0解方程組得x=-1.

二、分母有理化時，要注意分母的有理化因式不能為零

例2化簡a-ba+b.

題目似乎相當簡單，只要分子，分母同乘分母的有理化因式（a-b）即可.但要知道，當a>0，b>0且a=b時，分母的有理化因式（a-b）=0.這就使得這種解法與分式的基本性質相矛盾.顯然這種解法是錯誤的.其正確的解法應是：

解a-ba+b=（a+b）（a-b）a+b=a-b.

三、在二次根式的化簡中，一定要記住被開方數大于或等于0

例3已知m≠0，n≠0且|m|=-m，化簡mn3.

此題雖有一些條件，但這些條件卻是殘缺不全的.因此，解題前需認真分析，考察m，n的取值的范圍，然后在所取值的范圍內化簡該式.

解∵m≠0且|m|=-m，∴m<0.

∵mn3≥0且n≠0，∴n<0，

∴mn3=|n|mn=-nmn.

四、把二次根號外的因式移到根號內，移進根號內的因式一定是非負數

例4把根號外的因式移到根號內：（x-1）-1x-1.

學生做此題時，一般會忽略一個條件，從二次根式的定義來看，被開方數一定是非負數.因此：-1x-1≥0，所以x-1<0.根號外的因式（x-1）是負數，把負數移進根號時，一定要把負號留在根號外.正確的解法如下：

解（x-1）-1x-1=-（x-1）2-1x-1=-1-x.

五、解方程時，不能把方程兩邊含有未知數的相同因式約去

例5解方程x（x-1）=x.

若方程兩邊同除以x，則x=0時，這一解法顯然違背了方程的性質，并會造成漏根.其正確的解法應是：

解移項得x（x-1）-x=0，∴x（x-2）=0，

∴x=0或x-2=0，∴x1=0或x2=2.

六、要切記一元二次方程（或二次函數）的二次項系數不能為零，一次函數、正比例函數、反比例函數的比例系數不能為零

例6已知方程（m-1）x2-2（m-1）x+1=0有兩個相等的實數根，求m的值.

方程有兩個相等的實數根，其意有二：一是方程關于x的一元二次方程（即二次項系數不能為零）；二是此方程的判別式Δ=0.

解依題意得m-1≠0-2（m-1）2-4（m-1）×1=0

解這個方程組得m=3.

例7已知函數y=（m+1）xm2+m+1為反比例函數，那么此函數的兩個分支分別在哪個象限內？

函數為反比例函數，其意有二：一是自變量x的次數為-1；二是比例系數m+1≠0即m≠-1.

解依題意得m2+m-1=-1m+1≠0

解這個方程組得m=0，

故反比例函數的解析式為y=1x，

此函數圖像的兩個分支分別在第一、第三象限內.

七、當涉及一元二次方程根的問題時，必須牢記判別式Δ≥0這個前提

例8已知關于x的方程x2-（2m-1）x+m2=2的兩個根x1、x2的平方和是方程x2-12x+35=0的兩個根的積，求m的值.

解這類題目時，我們往往疏忽了Δ≥0這個前提，從而造成錯誤.因此在解這類題目時，切記Δ≥0這個前提.

解原方程x2-（2m-1）x+m2=2，

可化為x2-（2m-1）x+m2-2=0，

∴x1+x2=2m-1，x1·x2=m2-2，

∵方程x2-12x+35=0的兩個根的積是35，

∴x12+x22=35，∴（x1+x2）-2x1x2=35，

∴（2m-1）2-2（m2-2）=35，

整理得m2-2m-15=0，

解這個方程得m=-3或m=5，

Δ=[-（2m-1）]2-4（m2-2）=-4m+9.

當m=-3時，Δ=-4（-3）+9=21>0；

當m=5時，Δ=-4×5+9=-11<0，故m=-3.

此外，行程、工程、增產率等問題中的各量均為正數，并且要符合實際情況.分式方程中的分母不能為零，偶次根式中的被開方數為非負數，非正數次冪中的底數不能為零等等.這些題目本身都包含著隱含條件.

為此，解含有未知數（或字母）的數學問題時，必須仔細審題，認真尋找知識間的內在聯系，熟練掌握知識間的相互關系，認真分析所含未知數（或字母）在結論成立時所需的附加條件.這樣就能避免由于隱含條件的存在而造成解題的錯誤.