函數基本活動經驗初探

舒曉懿

【摘要】2011年版的《義務教育數學課程標準》在其第二部分課程目標中明確提出“四基”，成為2011年版的《義務教育數學課程標準》的一大亮點.《普通高中數學課程標準（修訂）》擬將提出數學基本活動經驗，它將與基礎知識、基本技能、基本數學思想一起構成高中數學的“四基”.本文將探究函數中具有的函數基本活動經驗.

【關鍵詞】函數；活動；經驗

一、基本活動經驗之一：研究函數問題，定義域優先

y=f（x）是函數，y-f（x）=0是方程，分析函數或者方程首先要關注討論的對象——自變量.定義域優先指的是研究函數問題時，首先應明確函數的自變量是什么，其范圍是多少，是連續的還是不連續的等.

例1函數f（x）的定義域為R，若f（x+1）、f（x-1）都是奇函數，則（）

A.f（x）是偶函數B.f（x）是奇函數

C.f（x）=f（x+2）D.f（x+3）是奇函數

解析f（x+1）、f（x-1）都是奇函數得函數f（x）關于點（-1，0）、（1，0）對稱，類比三角函數得f（x）=f（x+4），即得函數關于點（-3，0）對稱，選C.

上述的解法涉及的知識點是圖像平移、類比三角函數性質，從函數的角度如何求解呢？從函數的自變量與變量角度解讀，奇函數的代數特征為：自變量互為相反數，其函數值互為相反數；其幾何特征為：點（x，f（x））與點（-x，-f（x））在函數f（x）圖像上，并關于原點對稱.

本題另解為：f（x+3）=f[（x+2）+1]

=-f[-（x+2）+1]=-f（-x-1）=f（x-1）

=f[（x-2）+1]=-f[-（x-2）+1]

=-f（-x+3）

二、基本活動經驗之二：研究函數問題，其圖像優先

y=f（x）是函數，y-f（x）=0是方程，其聯結的橋梁是函數圖像.函數圖像能夠直觀形象地表示函數自變量與變量關系的變化情況，生動地表現出函數圖像的動態，可以幫助我們理解抽象函數關系的意義，同時函數圖像又是運用數形結合思想方法的基礎，利用函數圖像可以更好地研究函數的性質.

例2已知f（x）=13x3+（2+m）x2-x在（1，3）上不是單調函數，求實數m的取值范圍.

解∵f′（x）=x2+（4+2m）x-1且函數y=f（x）在（1，3）上不是單調函數，

∴函數y=f（x）在（1，3）上存在極值點.

生1：求出f′（x）=0的根，轉化為求不等式；

生2：由零點存在性定理得：f′（1）f′（3）<0；

生3：分兩類：①函數y=f（x）在（1，3）上存在兩個極值點，②函數y=f（x）在（1，3）上存在一個極值點；

生4：∵f′（x）=x2+（4+2m）x-1的圖像開口向上且過定點（0，-1）.

∴函數y=f（x）在（1，3）上只存在一個極值點.

∴f′（1）f′（3）<0.

從解法的運算量來說，生4的解法最優，其根本原因是生4結合了圖像特征判定“導函數在（0，+∞）上只有一個零點”，而生3沒有分析導函數的圖像，雖然對零點存在性定理理解較好，但陷入了復雜的分類討論.

三、基本活動經驗之三：研究函數問題，其性質優先

函數三要素可以簡化為二要素：定義域、對應法則.在求解函數試題時，通過研究函數的解析式，對函數形成整體把握有利于解題，尤其是在求解一些較難的試題時，對函數性質的研究往往能找到解題的切入點.

例3設函數f（x）=ex-1-x-ax2.

（1）若a=0，求f（x）的單調區間；（2）若當x≥0時f（x）≥0，求a的取值范圍.

先看命題者給出的解法（主要討論第二問）：

法1（2）若a>12，由于x≠0時，ex>x+1，

可得e-x>-x+1，e-x-1>-x，

所以，-2ax<2a（e-x-1），

f′（x）

∴當x∈（0，ln2a）時，f′（x）<0，而f（0）=0，于是存在x∈（0，ln2a）使得f（x）12時f（x）≥0在x≥0 上不恒成立.

綜上所述：實數a的取值范圍為-∞，12.

根據高中導數教學現狀，這道題的一般性的思考流程應為：求導函數—解f′（x）>0—討論f（x）的單調性—解f（x）min>0，本題給學生設置的障礙是不能求解f′（x）>0.怎么辦？我們認為，不能求解f′（x）>0時，應基于經驗轉而研究導函數f′（x）的性質.

法2令g（x）=f′（x）=ex-1-2ax，

∴g′（x）=ex-2a，由x≥0得ex≥1，

∴當a≤12時，g′（x）≥0恒成立，

即g（x）=f′（x）=ex-1-2ax≥g（0）=0恒成立；

當a>12時，g′（x）=ex-2a存在零點x=ln2a，函數g（x）=f′（x）在（0，ln2a）上為減函數，在（ln2a，+∞）上是增函數，且g（0）=0，

∴當x∈（0，ln2a）時，g（x）=f′（x）<0，而f（0）=0，

于是存在x∈（0，ln2a）使得f（x）

即a>12時f（x）≥0在x≥0上不恒成立.

本題解法涉及了二次求導，高考后引起了激烈的討論，有部分教師認為超綱，其實從研究函數性質的角度是沒有超綱的，用導數研究函數性質是一種通性通法.