淺析函數與方程思想在解題中的應用

閔云霞

【摘要】函數與方程思想是中學數學中的基本思想.其中，函數思想是用變化的觀點分析數學問題中的數量關系，建立函數、利用函數的性質解題；方程思想是將問題中的數量關系運用數學語言轉化為方程模型來解題.

【關鍵詞】函數思想；方程思想；函數與方程思想

近年來我國許多考綱已明確提出不僅要考查學生的數學知識和思維能力，還要考查學生思想方法的運用能力.其中函數與方程的思想是眾多考試考查的最基本的數學思想方法之一.學生僅僅學習了函數與方程的知識是不夠的，應通過解題和對解題過程的反思來領悟函數與方程的思想.

一個函數若有解析表達式，那么這個表達式就可看成是一個方程.一個二元方程，兩個變量存在著對應關系，如果這個對應關系是函數，那么這個方程可以看成是一個函數，一個一元方程，它的兩端可以分別看成函數，方程的解即為兩個函數圖像交點的橫坐標，因此，許多有關方程的問題可以用函數的方法解決；反之，許多有關函數的問題可以用方程的方法解決.

一、在集合方面的運用

函數思想本身也是集合對應的思想，它用運動變化的觀點去分析和研究數學問題中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖像和性質去分析、轉化、解決問題.因此函數和方程思想在解集合相關題目時具有一定的指導作用，下面舉例說明.

例150名學生報名參加A、B兩項課外興趣小組，報名參加A組的人數是全體學生數的五分之三，報名參加B組的人數比報名參加A組的人數多3人，兩組都沒有報名的人數是同時報名參加兩組的人數的三分之一多1人，求同時報名參加A、B兩組的人數和兩組都沒有報名的人數.

可以看出此題是道應用題，若尋求集合與集合交集借助符合題意的文氏圖，再利用方程思想就可很容易解決.因此可設A∩B的元素為x個，則（30-x）+x+（33-x）+13x+1=50，解出x=21，從而得到答案.

如果問題中變量間的關系可以用解析式表示出來，則可把關系式看作一個方程，通過對方程的分析使問題獲解.特別的，當問題出現兩數積與這兩數和時，是構造一元二次方程的明顯信號，如遇到b+c=1-a，bc=a2-a，可知道b、c是關于x的一元二次方程x2-（1-a）x+a2-a=0的兩根.

二、在不等式方面的運用

函數與不等式也可以相互轉化，對于函數y=f（x），當y>0 時，就轉化為不等式f（x）>0，借助于函數的圖像與性質可以解決不等式的有關問題，而研究函數的性質，也離不開解不等式.

例2解不等式8（x+1）3+10x+1-x3-5x>0.

我們注意到8（x+1）3+10x+1=2x+13+52x+1且題中出現x3+5x，啟示我們可以構造函數f（x）=x3+5x去解決問題.因此可把不等式化為2x+13+52x+1>x3+5x，然后令f（x）=x3+5x，則不等式化為f2x+1>f（x），這樣利用函數單調性就很容易解決問題.

例3求最大的常數c，使得對滿足0

分離參數法.我們觀察到此題中含有兩個變量c及t，其中t的范圍已知，另一變量c的范圍即為所求.故可考慮將c及t分離，把原不等式化為：c≤1-3t2t=-3t+1t，0

三、在數列方面的運用

數列是一類特殊的函數，它的定義域是正整數集或其子集，數列的通項或前n項和就是以自變量為正整數的函數，用函數的觀點去處理數列問題十分重要.在運用函數的性質解決數列問題的同時，也是對數列概念的本質理解.

例4已知數列的通項公式為an=n2-10n+9，這個數列從第幾項起，各項的數值逐漸增大？從第幾項起各項的數值均為正？數列中是否存在數值與首項相同的項？

易見，數列{an}的點都在函數y=x2-10x+9的圖像上，如右圖通過圖像根據二次函數的性質可得，這個數列從第5項開始，各項的數值逐漸增大，從第9項起，各項的數值均為正數，第9項是與首項相同的項.

函數與方程屬于代數領域，但實際上它們貫穿于高中數學的各個領域，在高等數學、其他學科及現實生活中都有著廣泛的應用.由以上解題過程我們發現，只要我們勤于動腦，善于動腦，樹立起運用數學思想解題的意識，就一定會在解題中有新的發現，新的創新，從而將數學知識學活，使我們的數學解題能力不斷提高.