高中數學“5步曲”解題模式探究

閔侃運

一、高中數學學生在解題中遇到的問題

學生基礎知識差，解題沒有思路，從而對學習數學興趣不高.首先，學生在解題前就對基礎知識不牢固，從而有畏懼心理，即使對題目仔細研讀與分析很容易進行解答，但由于這種畏懼心理作怪，學生也許只簡單掃一眼題目就放棄了.其次，學生在做題過程中由于做題閱歷的局限，經常思考不周，會出現小問題，影響答對率.再次，學生做題只要答案正確，不思考還有沒有別的方法，不去總結，下次遇到同類型的題目又不會.

二、高中數學“5步曲”解題模式

第1步：本題考什么知識，是函數還是幾何，是拋物線還是橢圓

拿到一個題不要盲目地去做，先要看看是什么題，不要張冠李戴，是橢圓的題還是拋物線的題，橢圓的題就不能用雙曲線的知識來解決，學生經常會搞混.

例1已知橢圓x225+y216=1上的一點P到橢圓一個焦點的距離為3，則P到另一焦點距離為（）

A.12B.13C.5D.7

分析應該選D，P點到兩個焦點的距離和為2a，a=5，2a=10，設P到另一焦點距離為X，則X+3=10，所以X=7.

第2步：本題涉及哪幾個知識點

根據本題的已知條件和要求把所要用到的基本概念、基本定理、基本公式都羅列出來，這樣就會使做題的思路清晰，不至于拿到題目無從下手.

例2如圖所示，已知圓O的直徑AB長度為4，點D為線段AB上一點，且AD=13DB，點C為圓O上一點，且BC=3AC.點P在圓O所在平面上的正投影為點D，PD=BD.

（1）求證：CD⊥平面PAB；

（2）求PD與平面PBC所成的角的正弦值.

分析根據已知圓O的直徑AB長度為4就可得到∠ACB=90°，圓O的半徑為2.

根據PD=BD.就要想到三角形PDB為等腰三角形，那肯定要用到等腰三角形的三線合一定理.

根據求證：CD⊥平面PAB就要想到要證CD垂直平面PAB內兩條相交直線.

第3步：易錯的地方是什么

每做一個題都要想想這一類型題常錯的地方在哪里、陷阱在哪里.不斷地總結就可以減少沒必要的錯誤.

例3已知數列{an}的前n項和為Sn，滿足an+1=Sn+2n，n∈N*，且a1=0，記bn=an+2.

（1）求a2，a3；

（2）求證：數列{bn}是等比數列.

分析這個題在做第（2）問時常有一些同學根據遞推公式算出bn的前4項，然后根據前四項是等比數列就說{bn}是等比數列.這種方法是不完全歸納法，得到的結論不一定正確，還要證明，不如用等比數列的定義直接證明.

第4步：解決這類問題有幾種方法

一道題做完后要常反思，看看還有沒有別的方法，爭取用最簡單的方法，這樣才能提高做題的速度.如例2中的第（2）問.

（2）方法一過D作DH⊥平面PBC交平面PBC于點H，連接PH，則∠DPH即為所求的線面角.

由（1）可知CD=3，PD=BD=3，

∴VP-BDC=13S△BDC·PD=13·12DB·DC·PD=13×12×3×3×3=332.

又PB=PD2+DB2=32，PC=PD2+DC2=23，BC=DB2+DC2=23，

∴△PBC為等腰三角形，則S△PBC=12×32×12-92=3152.由VP-BCD=VD-PBC得DH=355.

∴sin∠DPH=DHPD=55.

方法二由（1）可知CD=3，PD=DB=3，

過點D作DE⊥CB，垂足為E，連接PE，再過點D作DF⊥PE，垂足為F.

∵PD⊥平面ABC，又BC平面ABC，∴PD⊥BC，

又PD∩DE=D，∴BC⊥平面PDE，又DF平面PDE，

∴CB⊥DF，又CB∩PE=E，

∴DF⊥平面PBC，故∠DPF為所求的線面角.

在Rt△DEB中，DE=BD·sin30°=32，

PE=PD2+DE2=352，

sin∠DPF=sin∠DPE=DEPE=55.

兩種方法顯然方法一更簡捷，好理解.

第5步：本題要用哪種方法解決

常對做題方法進行總結，就不會拿到題無從下手.如例3第（1）小問求a2，a3，已知給了bn的遞推公式就可以求出a2，a3，第（2）問：求證數列{bn}是等比數列，我們常用等比數列的定義來證明.

三、結語

通過“5步曲”使學生不僅明確題目的類型，常用的方法，而且把本題所涉及的知識點，易錯點都做了總結，這樣下一次做同一類型的題目不會無從下手.如果學生養成了“5步曲”解題的習慣，那么就大大地提高了做題的準確率.