創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境成就學(xué)生能力提升

朱清

在現(xiàn)代教學(xué)指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)活動過程，應(yīng)包括教師或?qū)W生在教與學(xué)中的“知識建構(gòu)過程”“實踐過程”“心理變化過程”“發(fā)現(xiàn)探究過程”“信息處理過程”等若干的過程，而這些過程都是以“問題”作為依托，通過對問題的形成、推證和探究來實現(xiàn)的.

下面通過蘇科版八年級上冊“3.2勾股定理的逆定理”實例，談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)課堂“問題解決”的教學(xué)探究.

【教學(xué)過程】

（一）問題情境

師：同學(xué)們欣賞埃及金字塔一組圖片，（圖略）這是一張衛(wèi)星俯拍的照片，我們發(fā)現(xiàn)：最大的金字塔的塔基是邊長為230多米的正方形，然而，那時并沒有直角三角板，更沒有任何的先進(jìn)的測量儀器.金字塔塔基的正方形的每一個直角，古埃及人究竟是怎樣確定的？

學(xué)生小聲討論.

師：我們來看一下古埃及人的做法：

古埃及人把一根長繩打上等距離的12個結(jié)，連成環(huán)狀（如圖），拉直點B到點C之間的5段繩子，然后在點A處將繩子拉緊，則∠BAC為直角.同學(xué)們能根據(jù)此提出怎么樣的問題？

生：能否通過三角形三邊的關(guān)系確定一個三角形是直角三角形？

（二）合作探究

師：同學(xué)們拿出作圖工具，完成活動一.

活動一：做出分別以下列各組數(shù)的長度為三邊的三角形（單位：cm）.

（1）30，40，50；（2）6，8，10；（3）5，12，13.

判斷：請判斷一下上述你所畫的三角形的形狀.

思考：所畫三角形的三邊有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

師：你對這三個三角形的形狀有什么發(fā)現(xiàn)？

生：都是直角三角形.

師：所畫三角形的三邊有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

生：三角形滿足較短的兩邊的平方和等于最長邊的平方.

師：同學(xué)們是否可以大膽地猜想一下：三角形的三邊之間滿足怎樣數(shù)量關(guān)系時，此三角形是直角三角形？

生：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.

師：如何證明猜想？同學(xué)們思考交流一下.

（由勾股定理中直角三角形的三邊之間的關(guān)系，學(xué)生自然的猜想，勾股定理的逆定理）

師：同學(xué)們通過交流討論，能否得到猜想？

活動二：“如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形”嗎？

已知：如圖，在△ABC中，a2+b2=c2.

求證：△ABC是直角三角形.

……

（三）數(shù)學(xué)認(rèn)識

如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.

∵，∴.（學(xué)生自主填寫幾何語言）

思考：這個結(jié)論與勾股定理有什么關(guān)系？

生：這個結(jié)論好像跟勾股定理是一個互逆的命題.

師：同學(xué)們可以給這個結(jié)論命名嗎？

生：勾股定理的逆定理.

（揭示勾股定理和勾股定理逆定理的聯(lián)系與區(qū)別，用整體的觀點聯(lián)系和區(qū)別這兩個定理）

（四）知識運(yùn)用

下列幾組數(shù)能否作為直角三角形的三邊？為什么？

（1）15，8，17；（2）7，24，25；

（3）1.5，2，2.5；（4）13，14，15.

（本題是勾股定理逆定理的簡單運(yùn)用，即能否由直角三角形的三邊長度判斷一個三角形是否是直角三角形.并揭示解題規(guī)范和一般方法）

師：對于練習(xí)中的兩組數(shù)（1）15，8，17；（2）7，24，25；我們還可以這么稱之為勾股數(shù).

師：滿足關(guān)系a2+b2=c2的3個正整數(shù)a、b、c，稱為勾股數(shù).

練習(xí)判斷下列各組數(shù)是不是勾股數(shù)：

（1）0.3，0.4，0.5；（2）11，60，61；（3）15，36，39.

（本問題的設(shè)置既考查了勾股數(shù)的定義，而且在第（2）、（3）小問中涉及大數(shù)的運(yùn)算中，可以引入一種方法，通過判斷612-602是否等于112，其中612-602可以用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算，大大降低了運(yùn)算的難度）

……

（五）問題解決

師：通過本課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們能否解釋古埃及人為什么這樣做直角？

古埃及人把一根長繩打上等距離的12個結(jié)，連成環(huán)狀，拉直點B到點C之間的5段繩子，然后在點A處將繩子拉緊，則∠BAC為直角.說明理由.

生：因為這樣做的話，三角形的三邊滿足勾股定理的逆定理，所以△ABC是直角三角形，且∠BAC為直角.

師：太了不起了！我們把古埃及人做直角的問題解決了.

【教學(xué)反思】

亞里士多德說：“思維從疑問和驚奇開始”，學(xué)生有疑而提出問題，須經(jīng)歷一番思考的過程才有可能.

在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，以問題的提出作為思維的起點，以問題的解決貫穿教學(xué)活動的全過程，這樣，學(xué)生會養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維，并用以指導(dǎo)其人生各種活動.