利用圖像等式表征，增進學生理解和倍、差倍關系應用問題

錢滿

“和倍、差倍”問題是具有典型意義的一類數學問題，因為大家都認為“比較難”，沒有進入傳統教材中作為一般學習的要求，但是浙教版《數學》三年級上冊的教材對兩步計算的應用問題中的“求倍求和”問題做了重點的教學.那么學生解決這類問題的真實情況如何？上學期我們教研組著重從畫圖法入手，借助畫圖這個“拐棍”來幫助學生提高解決和倍、差倍問題.我們發現，教師重視了畫圖法的教學后，學生在解決單一的和倍、差倍問題時，大部分孩子愿意通過畫圖來分析、理解題意，解決問題.這樣一來，大大提高了學生解題的正確率，也提高了學生解題、析題的能力.但是，課本P66頁整理與應用二【2】又出現了用圖形推算表示和倍、差倍關系的知識，學生無法把這個知識和已經學過的和倍、差倍關系知識聯系起來，再加上圖形推算對學生來說也是一個難點，獨立教學，我們教得焦頭爛額，學生還是一知半解.在教學此類應用問題時，能不能把這一塊圖像等式表征應用問題的知識與我們的畫圖法相結合，并通過圖形等式推算解決這類問題呢？當時因為時間緊，沒有深入展開研究.這學期，需要進行應用問題過關檢測，“和倍、差倍”問題也是其中一塊重要的內容之一.于是，我們就重新思考了這個問題，就此我們開展了教學研究.

學生在三上已經學習過“求倍求和、求倍求差”問題了，因此對三年級1、2兩班共84人進行了一次測試，測試題如下：

1.看圖列式計算

①②

2.解決問題

①大客車有7輛，小轎車的輛數是大客車的7倍，大客車和小轎車一共有多少輛？大客車比小轎車少多少輛？

②大客車和小轎車一共有56輛，小轎車的輛數是大客車的7倍，大客車和小轎車各有多少輛？

③小轎車比大客車多42輛，小轎車的輛數是大客車的7倍，大客車和小轎車各有多少輛？

3.求各圖形所表示的數

①☆×3+☆×5=216②△×7-△×2=120

③○=3×□○+□=240

學生獨立完成測試題后，我們對學生的答題情況進行了統計分析：

123

①②①②③①②③

正確人數5546763935707449

正確率65.5%54.8%90.5%51.2%41.6%83.3%88.1%58.3%

從以上表格中我們可以看出，“和倍、差倍”問題以線段圖的形式出現比較有利于學生解題，同時也明晰了倍數與份數，份數與具體量之間的對應關系.但同樣的題，只有純文字，沒有呈現線段圖時，一半左右的學生能將這類問題轉化成圖，利用圖來幫助解題，但也有一部分學生對于將文字應用問題轉化成圖還存在一定的困難，還需要我們加強引導.另外我們也發現，學生對于圖形等式推算掌握還是比較理想的，特別是①、②兩題.第③題的錯誤主要出現在代入這個環節，有部分學生一時想不到.用圖像等式表征應用問題的數量關系，并通過圖形等式推算解決這類問題時，圖形等式推算方法的學習與技能訓練是一個重要基礎.

在后續的訪談中，一部分學生覺得這類題目還是有些難度，問他們這些題是否是同類題時，學生的回答不確定居多，可見在學生的思維里還沒有成功建構“和倍、差倍”問題的模型，有待我們加強訓練.針對這些問題，我們展開了課堂教學研究.

教學預案

在○里填運算符號：

★÷=15÷=20

★=○15=○20

一、初識“和倍、差倍”問題

1.建構模型

①獨立完成，并觀察特點.

你能說說兩個圖形之間的關系嗎？（引導學生用誰是誰的幾倍來表示數量之間的關系.）

②總結：這樣的等式能告訴我們兩個數之間的倍數關系.

2.模型應用

①獨立思考并解題：

□×6+□=315

☆×6-☆=315

你能解決這樣的圖形等式嗎？說說你是怎么解答的？

②出示：△+○=504

現在你能解決這一題嗎？等式的兩個部分還能合并嗎？為什么？那你認為該怎么辦？

預設：圖形一樣、增加一個等式.

出示：△=○×5，現在你能解決了嗎？

那如果告訴你△÷○=5呢？

③總結：原來我們可以用替換的方式解決這樣的圖形等式.

④鞏固練習.

3.概括“和倍、差倍”問題

①出示：△÷○=5△+○=504

你能根據等式說說△和○之間的數量關系嗎？

②出示：○÷□=4○-□=135

這樣的等式你能說說它們的數量關系嗎？

③總結：這樣的等式告訴我們兩個數的倍數關系，以及這兩個數的和或差.其實它們就是我們以前學過的——“和倍、差倍”問題.

二、再探“和倍、差倍”問題

1.編題

①出示：◆÷☆=3◆-☆=90

如果◆代表故事書，☆代表科技書，你能根據剛才說的數量關系來編一道應用問題嗎？

②結合學生回答，呈現線段圖.

能解決剛才編的題了嗎？結合圖形等式解答.

2.觀察并溝通線段圖與圖形表征之間的關系

科技書（☆）

故事書（◆）

能找到它們之間的關系嗎？

總結：“和倍、差倍”問題除了用畫圖法能幫助我們解題，還可以利用圖像等式表征的形式，用圖形等式的方法來解決.

3.獨立練習

出示：售出的冰紅茶比桃汁多96瓶，售出的冰紅茶是桃汁的4倍.售出的冰紅茶、桃汁各多少瓶？用▲表示冰紅茶售出的數量，用●表示桃汁售出的數量.

▲÷●=4▲-●=96

4.遷移，研究用圖形等式的方法編題、解決和倍問題.

三、課堂小結

上完課后，我們又馬上跟進了后測，測試題如下：

1.列式計算各圖形所表示的數

①△÷○=3②△÷○=4

△+○=124△-○=123

2.用圖形等式的方法解決問題

①同學們共做了紅花和黃花270朵，紅花的朵數是黃花的2倍.紅花和黃花各做了幾朵？

②奶油糖比水果糖多132顆，奶油糖的數量是水果糖的4倍.奶油糖和水果糖各有幾顆？

3.根據下面的等式，你能編一道應用問題嗎？

□÷☆=4□+☆=125

根據學生的答題情況，我們進行了分析，數據如下：

123

①②①②

正確人數8078696449

正確率95.2%92.9%82.1%76.2%58.3%

從后測情況可以看出，“和倍、差倍”應用問題用圖像等式形式表征出來，再利用圖形等式推算來解決，學生還是有能力掌握的.學生的思維里已清晰地構建了“和倍、差倍”問題的模型，它大大降低了學生的學習難度，并且在系統訓練后掌握得比較好.課后也訪談了部分學生，他們說以前總認為這是兩類題，第二類圖形推算甚至更難，但現在學了以后，發現它們之間是有聯系的，這樣就比畫圖更簡潔明了，計算也非常方便.

利用代數思維的解題方式來解決問題，是浙教版編排中的一大特色，也占了很大的比重.對中低段的學生來說，我總覺得用代數思維來解題，他們會比較難理解.但通過用圖像等式表征“和倍、差倍”問題，利用圖形等式推算來解決這類問題，我驚喜地發現學生對于代數思維方式是完全可以接受的，也更有利于學生找到對應關系.其次，用圖形等式表征的形式，它使一個逆向的數量關系得以正向的表達，不僅使學生在解決“和倍、差倍”問題時的思維過程更加簡單，也有助于學生構建“和倍、差倍”問題的數學模型.從孩子的編題情況來看，說明有一半以上的孩子已經基本理解這類問題的基本結構了.當然這個方式，它也有一定的局限性，在以后的教學中，我們還將繼續去研究、去發現.