淺談《近世代數》課程中的實例教學

甘愛萍　姜樣蘭

【摘要】從教學實際出發考慮改革教學方法，加強實例教學.通過具體實例，逐一引導學生理解群的概念并掌握由半群到群的演繹過程，引導學生思考環與其子環的單位元之間的關系.

【關鍵詞】實例教學；半群；群；單位元

【基金項目】2013年，國家自然科學基金面上項目，關于AI半環簇與Coway半環簇的研究，項目編號：11261021；2016年，江西師范大學博士啟動基金，冪半群的若干研究.

引言

近世代數課程一方面由于概念多、理論性強、內容抽象等，學生往往感到抽象難懂；另一方面，老師在教學中也存在直接用“定義—命題—定理—證明”的模式講解.這種傳統的近世代數課程教學模式單純地追求概念的抽象性、邏輯的嚴密性、結論的明確性和體系的完整性，勢必導致一些學生感到近世代數枯燥乏味、無用，從而直接影響學生對近世代數課程和后繼課程的學習熱情.所以，近世代數課程的教學改革勢在必行.

近年來，國內眾多學者都對近世代數這門課程的教學改革提出了自己的設想.詳盡而細致的舉例將讓學生體會從特殊到一般，再進行抽象這樣一個過程.應該通過具體例子引出概念，由淺入深，這樣更有助于學生對概念的理解.從教學實際出發考慮改革教學方法，加強實例教學，將幾個重要實例滲透到教學的全過程.通過典型例子理解概念，舉一反三達到效果.強調要講好近世代數這門課程，就必須重視由具體到抽象原則的講課方法.所謂由具體到抽象的原則是指先舉出具體實例，由具體實例得出性質、結論，進而猜想抽象到一般情況是否成立，再利用邏輯推演證明其正確性，若能按照這樣的思路來處理每一個問題，勢必會使學生感覺到近世代數也不是那么難理解.希望教師采用從實例中引出相關概念，然后再由概念舉出新的案例的教學方法.具體來講，就是先舉出具體實例，給學生一個直觀的理解，然后再介紹相關概念，最后采用正例反例并舉的方法，揭示概念的本質.通過以上學者的觀點可以看出，實例教學這種教學方式，有助于學生對概念的理解，提高學生學習的興趣，優化教學效果.本文以近世代數課程中群概念及環與其子環的單位元的講授處理為例具體闡述這一觀點.

一、通過實例逐步闡述群的概念

群是近世代數中的一個最基本的概念，是近世代數的基石.因而正確理解其概念是學好近世代數的關鍵.郭聿琦、王正攀、劉國新探討了群概念的一個講授處理，他們主要給出群與幾類相關半群的等價刻畫，以及建立群與諸多類型半群之間的聯系.這里，我們主要通過具體實例讓學生理解由半群到幺半群再到群的過程.下面，我們先引進半群，半群的左幺元、右幺元和幺半群等的概念，再結合實例理清楚它們之間的關系.

定義1令為非空集S上的一個代數運算，記a·b為ab，其中a，b∈S.如果S中的運算滿足結合律，即：

（a，b，c∈S）（ab）c=a（bc），

則稱S為一半群.

例1在非空集合I上定義一個二元運算：（a，b∈I）ab=a.易證，I構成一個半群，稱之為左零半群.對偶地，可定義右零半群Λ.

例2設R為實數域，令M=ab00|a，b∈R，N=ab00|a，b∈R，a≠0，易證M，N關于通常的矩陣的乘法都構成半群.

定義4若半群S滿足條件：

（e∈S）（a∈S）ea=a，

則稱e為S的一個左幺元.對偶地，可定義半群S的右幺元.若e既是S的左幺元，又是S的右幺元，則稱e為S的幺元，稱含幺元的半群為幺半群.

一般地，半群可能不含左（右）幺元，也可能含有多個左（右）幺元.例如，左（右）零半群中的每一個元素都是它的右（左）幺元.在例2中，1b00（這里，b為任意實數）是M也是N的左幺元，但M，N都不含右幺元.

自然地，在課堂教學中，我們可以引導學生思考這樣的問題：若半群S中既存在左幺元，又存在右幺元，左右幺元相等嗎？對于這一問題，我們很容易給出肯定的回答.這是因為，如果e，f分別為半群S的左，右幺元，那么f=ef=e.由此我們得到如下結論：若半群S中既存在左幺元，又存在右幺元，則左幺元和右幺元相等，且它們都是半群的幺元.進一步，若半群含幺元，則幺元唯一.

定義5設e半群S的幺元.如果對任意a∈S，存在b∈S，使得ab=ba=e，則稱b為a的逆元，稱S為群.

一般地，（幺）半群未必是群.例如，整數集Z關于通常的數的乘法構成一個幺半群，但不是群.那么，什么時候半群會成為一個群呢？下面定理給出了半群為群的幾個充分必要條件.

定理6令S為一半群，則下列各款等價：

（1）S為一群.

（2）S中存在左幺元，且S中每一元素關于這一左幺元存在左逆元，即（e∈S）（a∈S）ea=a，且（a∈S）（b∈S）ba=e.

（3）S中存在右幺元，且S中每一元素關于這一右幺元存在右逆元，即（e∈S）（a∈S）ae=a，且（a∈S）（b∈S）ab=e.

（4）對任意a，b∈S，方程ax=b和ya=b在S中有解.

定理6的證明可在文獻[7]-[9]中找到，在這里我們略去其證明.根據定理6自然地，在課堂教學中，我們可以引導學生思考如下問題：

①若半群S中有左（右）幺元，且S中每一元素關于這一左（右）幺元存在右（左）逆元，即

（e∈S）（a∈S）ea=a，且（a∈S）（b∈S）ab=e.

或者（e∈S）（a∈S）ae=a，且（a∈S）（b∈S）ba=e.

S是否構成群？

②若半群S滿足：對任意a，b∈S，方程ax=b或者ya=b在S中有解.

S能否構成一個群？

上述兩個問題的回答都是否定的.這是因為，前面我們已經提到1000是例2中的半群N的左幺元，又易得N中每一元素ab00關于這一左幺元存在右逆元1a000，但N不是幺半群，從而不是群.故問題①的回答是否定的.由于左零半群I滿足：對任意a，b∈I，方程ya=b在I中有解b；右零半群Λ滿足：對任意a，b∈Λ，方程ax=b在Λ中有解b；故問題②的回答也是否定的.

二、通過實例逐步闡述環與其子環的單位元的關系

眾所周知，環中有兩個代數運算+（稱為加法）和·（稱為乘法），環對乘法運算構成一個半群，從而環的乘法幺元（稱之為環的單位元）未必存在.但是含單位元的環是普遍存在的，因為根據文獻[9]152頁例題9可知，任意一個沒有單位元的環都可看成一個有單位元的環的子環.在教學中，為了讓學生理清環與其子環的單位元的關系，我們可以通過具體實例讓學生掌握以下事實.

（一）環R含單位元，而其子環未必含單位元

例如整數環Z有單位元1，而其子環偶數環2Z不含單位元.

（二）環R不含單位元，但其子環可能含單位元

例3設R為實數域，令R=ab00|a，b∈R，S=a000|a∈R，則R關于矩陣的加法與乘法構成環且S是R的子環.易證R不含單位元，但其子環S含單位元1000.

（三）環R含單位元，其子環也含單位元，但環R的單位元與其子環的單位元未必相等

例如，例3中的環S是M2（R）（實數域R上的2階矩陣環）的子環，它的單位元1000與M2R的單位元1001不相等.

三、結束語

綜上可以看出：通過認識實例、運用實例、構造實例來幫助學生理解和掌握抽象的概念和結論，可以提高學生對該課程的學習興趣，培養學生的邏輯思維、抽象思維能力，使學生掌握基本的代數方法，掌握具體與抽象、一般與特殊的辯證關系，培養學生自主學習的能力以及發現問題的能力，為以后的學習工作打下牢固的基礎.

【參考文獻】

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