函數的極值的教學設計探討

王春鴿

【摘要】本文對“函數的極值”教學設計在討論式、探索式教學方面做了較深入的研究，通過觀察圖形，引導學生經歷了概念的抽象、性質的探索和相關數學知識的建構過程，并體驗知識在不斷提出問題中被發現的喜悅.通過本節課的學習，使學生領悟了局部與整體的辯證關系，從而達到深刻理解并掌握此知識的目的.

【關鍵詞】函數；單調性；極值；極值點

函數的極值是高等數學中的導數應用里一個很重要的內容，對極值概念的理解是學生學習的重要是一環.教學中，教師在講解極值的概念時，要做到直觀，并留給學生足夠的思考空間，發揮他們的學習主體作用.本文在教學設計上進行了嘗試.

教學方案

活動1：創設問題情境，引入新課

（復習提問）我們應用導數來研究了函數的一種性質——單調性，知道了函數的單調性與導數的符號有著密切的聯系.即

設函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內可導.

（1）如果在（a，b）內f′（x）>0，則f（x）在[a，b]上單調增加；

（2）如果在（a，b）內f′（x）<0，則f（x）在[a，b]上單調減少.

現在我們再利用導數這種先進有效的工具，再來研究一下函數的另一種性質——函數的極值.

我們為什么要學習函數的極值這個概念呢？因為我們日常生活中有許多理論和應用問題，需要求函數在某個區間上的最大值和最小值，比如經濟學上的最大利潤問題、最小成本問題等.要計算函數的最值，我們就要先求函數的極值，所以我們要先研究函數的極值的運算方法.那么函數的極值是怎樣定義的呢？

觀察下面函數的圖像：

提出問題1：通過觀察函數的圖形，我們對函數值f（x1）與函數f（x）在點x1附近的點對應的函數值進行比較，會有什么結論呢？那么，在x2、x3、x4與x5點處的情況如何呢？

回答：通過觀察我們較容易看出，在點x1附近的點對應的函數值f（x）都滿足f（x）>f（x1），在x2、x3、x4與x5點處分別為f（x）f（x3），f（x）f（x5）.

討論：根據觀察結果能否用一句話總結，從結論中教師因勢利導，提出問題啟發學生注意局部與整體的關系，得出極值的定義.

定義1設函數f（x）在點x0的某一鄰域U（x0）內有定義，如果對于去心鄰域U0（x0）內的任意一點x，都有f（x）f（x0）），則稱函數值f（x0）是函數f（x）的一個極大值（或極小值），x0稱為函數f（x）的一個極大值點（或極小值點）.

函數的極大值與極小值統稱為函數的極值，使函數取得極值的點稱為極值點.

活動2：繼續觀察圖形

提出問題2：極大值一定比極小值大嗎，為什么？

回答：極大值不一定比極小值大.圖中f（x2）為函數的極大值，f（x5）為函數的極小值，但f（x5）>f（x2），因為極值是局部的概念.

活動3：繼續觀察圖形

提出問題3：極值點處的切線有什么特點？結合導數的幾何意義，我們能得到什么樣的結論？

回答：如果函數可導，函數在取得極值的點處切線是水平的，即在這些點處導數為零，這也是我們今天要研究的函數極值點存在的必要條件，即定理1的內容.

定理1（必要條件）設函數f（x）在x0處可導，且在x0處取得極值，則一定有f′（x0）=0.

分析我們知道函數的極值就是局部的最值，而證明極值點處的導數為零，只要在極值點的某一鄰域內考慮即可，那么就是證明這一鄰域內的最值處導數為零，而這實際上就是費馬（Fermat）引理的內容.

費馬簡介：姓名：皮爾·德·費馬

生于1601年，法國律師和業余數學家.他在數學上的成就不比職業數學家差，他似乎對數論最有興趣，亦對現代微積分的建立有所貢獻.被譽為“業余數學家之王”.

對學生進行思想教育：費馬的故事告訴我們，在做某件事情的時候，只要努力，就可以做好.所以，我們同學中雖然有很多都是文科生，只要我們努力，也一樣能學好數學.

證明（略）

定義2使導數的點稱為函數的駐點.

定理1表明：可導函數的極值點必定是駐點.

提出問題4：函數的駐點一定是極值點嗎，啟發學生如果不是能否舉個反例說明？

回答：駐點不一定是極值點，例如函數f（x）=x3的駐點x=0就不是極值點.由這個反例我們知道定理1只是函數極值存在的必要條件，而不充分.

提出問題5：我們還可以看到定理1中要求函數是可導的，那么函數的導數不存在的點可能是極值點嗎？如果可以，能否舉個例子？

回答：函數的導數不存在的點也可能是極值點，例如函數f（x）=|x|在點x=0處不可導，但是極小值點.

由這兩個例子我們知道了函數的可能的極值點有兩類：駐點及不可導的點.我們應怎樣判斷駐點及不可導的點是否為函數的極值點，是極大值點還是極小值點呢？這是我們將要研究的重要問題——函數極值點存在的充分條件.

活動4：繼續觀察圖形

提出問題6：極大值點與極小值點左右兩側的函數的導數符號如何變化？

回答：通過觀察我們知道，如果在駐點及不可導點兩側函數導數的符號相反，則必然是使函數單調性改變的點，從而一定是函數的極值點.

這表明，求函數極值點應先找出駐點及不可導點，然后對駐點及不可導點進行判斷，哪些是極值點哪些不是極值點.根據極值的定義及函數單調性的判定法不難知道，由此我們得到下面的定理：

定理2（第一充分條件）設函數f（x）在點x0處連續，且在點x0的某一鄰域U（x0）（點x0可除外）內具有導數，對于x∈U0（x0），

（1）若當x0，當x>x0，f′（x）<0，則f（x0）是函數f（x）的極大值；

（2）若當xx0，f′（x）>0，則f（x0）是函數f（x）的極小值；

（3）若在x0兩側，f′（x）的符號相同，則f（x0）不是f（x）的極值.

證明（略）

由定理2，我們得出求函數極值的步驟：

（1）寫出函數的定義域，求出導數f′（x）；

（2）求出f（x）的全部駐點和不可導點；

（3）根據定理2確定這些點是不是極值點，如果是極值點，進一步確定是極大值點還是極小值點；

（4）求出各極值點處的函數值，就得到函數f（x）的全部極值.

下面我們就根據求極值的步驟，求出函數的極值.

例1求函數f（x）=x3-3x2-9x+5的極值.

解該函數的定義域為（-∞，+∞）.

f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）.

令f′（x）=0，得駐點x1=-1，x2=3.

駐點將定義域分成三部分，現列表討論如下：

x（-∞，-1）-1（-1，3）3（3，+∞）

f′（x）+0-0+

f（x）↗極大值↘極小值↗

由表可知，函數f（x）在x=-1處取得極大值，極大值為f（-1）=10；在x=3處取得極小值，極小值為f（3）=-22.

上例是對可導函數而言的，在此條件下，極值點一定是駐點，因此只要求出函數的駐點，再由定理2考察各個駐點是否為極值點就行了.但是如果函數有不可導點，就不能肯定極值點一定是駐點了，因為在導數不存在的點處，函數也可能取得極值.請看下例：

例2求函數f（x）=1-（x-2）23的極值.

解該函數的定義域為（-∞，+∞）.

當x≠2時，f′（x）=-2313x-2；當x=2時，f′（x）不存在.

當x<2時，f′（x）>0；當x>2時，f′（x）<0，又f（x）在x=2處連續，所以x=2是函數f（x）的極大值點，極大值為f（2）=1.

活動5：課堂練習

課堂小結

通過如上的教學活動，使學生理解了極值的概念，明白了局部與整體的關系，了解了研究探索問題的方法對以后的自主學習有很好的指導意義.