以問題驅動改進隨機變量分布的教學

龔麗莎

【摘要】在隨機變量分布一章的教學中，存在一些學生不易掌握的難點如隨機變量，概率密度函數概念以及容易混淆的知識點如分布函數，分布律，概率密度.針對這些問題，采用幾個關鍵問題進行驅動，貫穿本章的整個教學過程.使各部分內容層層遞進，自然銜接，促進學生主動思考，加深基本概念的理解，區分易混淆概念，從而達到提升教學效果，培養學生思維能力的目的.

【關鍵詞】隨機變量的分布；問題驅動；教學模式

【基金項目】2015年1月—2017年12月電子科技大學教學改革研究項目：移植小班教學優勢，促進大班工科概率統計課程的創新和應用（2015XJYYB055）.

一、存在的問題

在講授概率統計課程中隨機變量及其分布這一章時，一種常見順序是：隨機變量的分布函數，離散型隨機變量及其分布律，連續型隨機變量及其概率密度函數[1].這種安排基本合理，但在實際講授之后往往效果不佳，常出現學生對分布函數的重視程度不夠，難以理解概率密度函數概念，易混淆分布函數，分布律和密度函數以及書寫時符號混亂等問題.究其原因，主要是對初學者來說：隨機變量概念很難理解到位；概率密度函數概念的出現太過突兀；分布函數，分布律，概率密度三者相互之間既有聯系又有區別，易造成混淆.

二、問題驅動式解決方案

針對以上癥結，在不改變上述順序的前提下，本文對隨機變量及其分布一章的主要知識點采用6個關鍵問題進行驅動，促進學生主動思考，加深基本概念的理解，區分易混淆概念，使內容層層遞進，各部分自然銜接，知識點融會貫通.同時適當融入研究型教學方式，培養學生的思維和創造能力.

以下將按各教學內容詳述此問題驅動式教學過程.

內容一：隨機變量

隨機變量是本章的首個關鍵概念，它在概率統計中的重要地位和對后續內容的深遠影響不言而喻.然而，此前學生關注的一直是各種隨機事件的概率計算，如何引入隨機變量概念才能讓他們認識到其必要性和重要性？為此提出第一個問題：

問題1何為隨機變量？為什么要引入隨機變量的概念？

從生活實例出發，讓學生初步體會隨機變量.如生活中常關心的一些量：某城市一個月的降雨量，某銀行一天接待的顧客數，這些量的取值看似隨機變化，但在多次觀察時又呈現某種確定的統計規律.這種變量就是隨機變量，對之常關注：（1）變量可能取哪些值；（2）取各值的可能性大小.

在引入隨機變量的概念之后，由以下問題自然帶入隨機變量的分布函數.

問題2隨機變量的本質特征在于其可能取值和取值的概率分布情況，用什么工具來描述隨機變量的概率分布情況？

直接給出分布函數的定義會稍顯生硬，可通過例子引入.

實際中，人們常關心隨機變量在某范圍內取值的概率.如：產品質量檢查時，隨機抽取的n件產品中次品件數X不超過3的概率P{X≤3}，某公司生產的某一型號液晶電視壽命X在（45000，55000）（小時）之間的概率P{45000

若對任意實數x，都存在概率P{ω：X（ω）≤x}=P{X≤x}=F（x），以上問題就迎刃而解（這也解釋了為什么隨機變量的定義中要求對任意實數x，事件{ω：X（ω）≤x}的概率都是可確定的）.這個函數F（x）就是隨機變量的分布函數，它可描述隨機變量在任一區間取值的概率P{x1

在此講解分布函數有如下好處：體現了分布函數的重要性和一般性，與本章最后內容：隨機變量除了離散型，連續型外還有奇異型前后呼應.

內容三：離散型隨機變量及其分布律

問題3對取值離散的隨機變量，如何描述其概率分布比較方便？

用一實例引入離散型隨機變量及其分布律，并用柱狀圖或火柴棍圖來直觀表示.提問：對離散型隨機變量來說，分布律和分布函數都可描述其概率分布，哪種描述方式比較直觀方便？學生能夠自己看出是分布律.在教師引導下討論總結：分布函數與分布律均可描述離散型隨機變量的概率分布，二者可互相轉化，只是描述方式不同而已.對離散型隨機變量往往選擇更直觀的工具——分布律.

內容四：連續型隨機變量及概率密度函數

很多現行教材都直接給出連續型隨機變量及其概率密度函數的定義[1，2]，這固然是由于教材限制所致，但若在課堂講授時也直接拋出此概念，會讓學生覺得非常突兀，造成理解和學習上的困難.實際上，離散型隨機變量與連續型隨機變量有諸多可類比性質[3]，故本文的解決辦法是由離散型隨機變量的分布律進行類推，過渡到連續型隨機變量的概率密度.具體為講完分布律后提出如下問題.

問題4對取值連續的隨機變量來說，能否用分布律來直觀描述其概率分布？

例：一半徑為2米的圓盤靶子，擊中靶上任一同心圓盤的概率與該圓盤的面積成正比，若射擊均能中靶，用X表示彈著點與圓心的距離.能用分布律來描述X的概率分布嗎？

學生會發現不行，因為X的取值是連續的！繼續提問：

問題5能否找到類似離散型隨機變量分布律的工具來直觀描述這種取值連續的隨機變量的概率分布？

此處需事先做好兩項準備工作.

1.理解頻率直方圖.

例：為了解某地區成年男子的身高情況，從該地區所有成年男子中隨機抽取100名進行調查.問：如何根據這些數據（略，單位：cm）分析該地區成年男子身高X的分布情況？

用此例講解頻率直方圖的做法以及含義.重點在于指出：頻率直方圖利用將連續取值離散化的手段直觀體現了身高X這個取值連續的隨機變量的大致分布情況，具有與分布律類似的特征.

2.基本弄清頻率與概率的關系.

因后面學習大數定律時才能明確頻率依概率收斂于概率，現只需學生理解隨試驗次數增多頻率會逐漸穩定于概率即可，用拋硬幣例子數據進行說明.

現在可向概率密度過渡.在頻率直方圖中，隨機變量在某一區間取值的頻率，為該區間上小矩形的面積之和.當樣本數據很多，組距很小時，各小矩形會非常密集.設想：n趨于無窮，組距趨于0時，直方圖中變量的有限多個離散取值范圍將趨于無限多個連續取值，而圖中小矩形邊緣將逐漸穩定在一條光滑（或分段光滑）曲線附近，設為函數f（x）.

易知f（x）非負，但怎樣具體確定函數f（x）？考慮隨機變量在任一區間[a，b]取值的頻率：該區間上小矩形的面積之和.它將逐漸穩定于隨機變量在該區間取值的概率：曲線f（x）下方曲邊梯形的面積.即P{a

單位長度上的質量相對應，故稱為概率密度.于是根據概率密度曲線的高低，就能大致判斷連續型隨機變量在各處取值概率的大小，它正是我們所尋找的直觀描述連續型隨機變量概率分布的工具.

與離散型情況類似：分布函數和概率密度均可描述連續型隨機變量的概率分布，只是方式不同，二者可相互轉化，但概率密度較分布函數更為直觀.

內容五：其他類型的隨機變量

問題6除了離散型隨機變量和連續型隨機變量之外，還有其他類型的隨機變量嗎？

例：若隨機變量X的分布函數為F（x）=0，x<01+x2，0≤x<11，x≥1，判斷X是哪種類型的隨機變量.

在教師引導下，學生發現此分布函數不符合離散型或連續型變量分布函數的特征，故其對應隨機變量既非離散型，也非連續型.這時不能用分布律或概率密度來描述其概率分布，但分布函數仍適用，體現了分布函數的一般性和重要性.

三、總結

如上，通過六個問題逐步帶出本章各重要概念和知識點，有利于激發學生自主探索的欲望，使本章內容保持一致性與連貫性，學生對分布函數，分布律，概率密度各概念的理解更深入，應用時不易產生混淆.并利用類推與研究式教學較好地處理了概率密度這個教學難點，其中運用的微積分知識還加強了不同學科知識的融合，提高了學生分析處理問題的能力.

【參考文獻】

[1]徐全智，呂恕.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]馬生昀.概率統計教學改革中兩類隨機變量的類比教學[J].內蒙古農業大學學報（社會科學版），2012（06）：119-123.