第五講圖形與變換

文/汪國剛

第五講圖形與變換

文/汪國剛

圖形與變換是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是中考的重要考點．它包括圖形的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)、相似、位似等內(nèi)容.現(xiàn)以2015年的中考題為例，把主要考點歸納如下，供你復(fù)習(xí)時參考．

考點1軸對稱圖形與中心對稱圖形的識別

例1（2015年長沙卷）下列圖形中，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（）．

解析：選B.

溫馨小提示：判斷軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，使圖形按照某條直線折疊后兩旁部分可重合；判斷中心對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱中心，使圖形繞該中心旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形重合.

考點2利用軸對稱的性質(zhì)計算

例2（2015年桂林卷）如圖1，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=12，AD⊥BC于D，點E、F分別在AB、AC上，把△ABC沿EF折疊，使點A與點D恰好重合，則△DEF的周長是（）.

A.14B.15C.16D.17

解：設(shè)AD和EF的交點為M援

疫ΔEDF是ΔEAF折疊以后形成的圖形，

亦ΔEDF的周長等于ΔEAF的周長，

由折疊知EF為△ABC的中位線，

溫馨小提示：把ΔEDF的周長轉(zhuǎn)化為ΔEAF的周長是解題的關(guān)鍵.另外，求最短路徑問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

考點3圖形的平移

例3（2015年永州卷）在等腰△ABC中，AB=AC，則有BC邊上的中線、高線和∠BAC的平分線重合于AD（如圖2）援若將等腰ΔABC的頂點A向右平行移動后，得到ΔA憶BC（如圖3），那么，此時BC邊上的中線、BC邊上的高線和∠BA憶C的平分線應(yīng)依次分別是（填A(yù)憶D、A憶E、 A憶F）

解析：A憶D，A憶F，A憶E.

考點4旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及計算

例4（2015年福州卷）如圖4，在Rt△ABC中，∠ABC越90°，AB越BC越將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到ΔMNC，連接BM，則BM的長是

解析：連接AM（如圖5）.

∴△ACM是等邊三角形，亦MC越MA，

又∵BC越BA，亦BM⊥AC.

溫馨小提示：解此題的突破口是連接AM，結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)證明垂直是關(guān)鍵，進而由勾股定理求出相應(yīng)線段即可.

考點5圖形的軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)

例5（2015年張家界卷）如圖6，在邊長均為1的正方形網(wǎng)格紙上有一個△ABC，頂點A、B、C及點O均在格點上，請按要求完成以下操作或運算：

（1）將△ABC向上平移4個單位，得到ΔA1B1C1（不寫作法，但要標(biāo)出字母）；

（2）將△ABC繞點O旋轉(zhuǎn)180°，得到△A2B2C（2不寫作法，但要標(biāo)出字母）；

（3）求點A繞著點O旋轉(zhuǎn)到點A2所經(jīng)過的路徑長.

解析：（1）如圖7所示．

（2）如圖7所示.

（3）∵OA=4，∠AOA2=180°，

∴旋轉(zhuǎn)經(jīng)過的路徑長為180仔×4=4仔. 180

溫馨小提示：借助網(wǎng)格結(jié)構(gòu)、平移距離、旋轉(zhuǎn)角度找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵.計算某點旋轉(zhuǎn)經(jīng)過的路線（弧線）長度，需要找出旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)半徑，從而運用弧長公式計算.

圖6

圖7

考點6相似三角形

例6（2015年湘潭卷）如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折疊，使得點C落在斜邊AB上的點E處．

（1）求證：ΔBDE∽ΔBAC；

（2）已知AC=6，BC=8，求線段AD的長度．

解析：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折疊，

∴∠C=∠AED=90°，∴∠DEB=∠C=90°，

∵∠B=∠B，亦ΔBDE∽ΔBAC.

（2）由勾股定理得，AB=10．

由折疊的性質(zhì)知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．

∴BE=AB-AE=10-6=4.

在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE2+BE2=BD2，

即CD2+42=（8-CD）2，解得CD=3.

圖8

在RtΔACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，

即32+62=AD2，解得AD=3

溫馨小提示：此題涉及相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.一般需要運用勾股定理求解.

考點7位似

例7（2015年欽州卷）如圖9，以O(shè)為位似中心，將邊長為256的正方形OABC依次作位似變換，經(jīng)第一次變換后得到正方形OA1B1C1，其邊長OA1縮小為OA的，經(jīng)第二次變換后得到正方形OA2B2C2，其邊長OA2縮小為OA1的，經(jīng)第三次變換后得到正方形OA3B3C3，其邊長OA3縮小為OA2的，依次規(guī)律，經(jīng)過第n次變換后，所得正方形OAnBnCn的邊長為正方形OABC邊長的倒數(shù)，則n=.

圖9

正方形OAnBnCn的邊長為×256.

∵正方形OAnBnCn的邊長為正方形OABC邊長的倒數(shù)，

溫馨小提示：本題是以正方形為背景的規(guī)律探索題，根據(jù)前幾次變換，得到相應(yīng)正方形邊長，經(jīng)過歸納、猜想，發(fā)現(xiàn)第n次變換的邊長，繼而根據(jù)題意得到答案.

考點8相似三角形的應(yīng)用

例8（2015年邵陽卷）某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形紙板DEF測量操場旗桿AB的高度（圖10），他們通過調(diào)整測量位置，使斜邊DF與地面保持水平，并使邊DE與旗桿頂點A在同一直線上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目測點D到地面的距離DG=1.5米，到旗桿的水平距離DC=20米，求旗桿的高度.

圖10

∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，

∴AB=AC+BC=10+1.5=11.5（米）.

答：旗桿的高度為11.5米.

溫馨小提示：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運用相似三角形知識測量旗桿的高，發(fā)現(xiàn)△DEF∽ΔDCA是解題關(guān)鍵.

責(zé)任編輯：王二喜