第四講圖形的性質

文/陳昭能 周奕生

第四講圖形的性質

文/陳昭能 周奕生

圖形的基本性質歷來是中考命題的重點，掌握基本圖形的性質是中考取得高分的前提，也是解決幾何綜合題的基礎．圖形性質的主要考點有：

考點1命題真假的判斷

例1（2015年無錫卷）命題“全等三角形的面積相等”的逆命題是命題．（填入“真”或“假”）

分析：欲知該命題的逆命題的真假性，需確定它的逆命題：面積相等的三角形全等．這顯然是假命題，故填“假”．

溫馨小提示：判斷一個命題的逆命題的真假性，關鍵在于正確寫出原命題的逆命題，再判斷逆命題是否正確.

考點2幾何體與展開圖

例2（2015年泰州卷）一個幾何體的表面展開圖如圖1所示，則這個幾何體是（）．

A.四棱錐B.四棱柱

C.三棱錐D.三棱柱

分析與解：根據經驗，圖1是四棱錐的表面展開圖．選A.

圖1

例3（2015年恩施卷）圖2是一個正方體紙盒的展開圖，六個正方形上分別標有數字“0”、“1”、“2”、“5”和漢字“數”、“學”，將其圍成一個正方體后，則與“5”相對的是（）．

A.0B.2C.數D.學

分析與解：相對面之間沒有公共點，因此，與“5”相對的是0.選A.

溫馨小提示：帶圖案正方體表面展開圖的識別，最簡單有效的方法是動手操作.

圖2

考點3幾何體的三視圖

例4（2015年日照卷）小紅在觀察由一些相同小立方塊搭成的幾何體時，發現它的主視圖、俯視圖、左視圖均為如圖3，則構成該幾何體的小立方塊的個數有（）．

A.3個B.4個

C.5個D.6個

分析與解：由俯視圖為如圖3可知正方體排成“前二后一”、“左二右一”共三堆；由主視圖可知前左一堆有2層，前右一堆有一層；由左視圖可知后面一堆有一層．因此，共有四個正方體.選B.

溫馨小提示：從俯視圖入手，確定“堆數”，由其他視圖分別確定各堆的層數.

圖3

考點4相交線與平行線

例5（2015年邵陽卷）將直尺和直角三角板按如圖4方式擺放，已知∠1=30°，則∠2的大小是（）．

A.30°B.45°

C.60°D.65°

分析與解：由∠1、∠3互余可得∠3=90°-∠1=60°；由直尺的兩邊互相平行，得∠2=∠3=60°．選C．

溫馨小提示：要熟練掌握平行線的判定與性質.

圖4

考點5三角形

例5（2015年佛山卷）各邊長度都是整數、最大邊長為8的等腰三角形共有個．

分析與解：各邊長度都是整數、最大邊長為8的等腰三角形，三邊長可以為：（1，8，8）；（2，8，8）；（3，8，8）；（4，8，8）；（5，5，8），（5，8，8）；（6，6，8），（6，8，8）；（7，7，8），（7，8，8）；（8，8，8）．故符合條件的三角形共有11個．填：11．

溫馨小提示：確定三角形三邊長時，要注意三角形任何兩邊之和大于第三邊，任何兩邊之差小于第三邊.

考點6等腰三角形

例7（2015年泰州卷）如圖5，△ABC中，AB越AC，D是BC的中點，AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB于點E、O、F，則圖中全等三角形的對數是（）.

A.1對B.2對C.3對D.4對

分析與解：由AB越AC，D為BC中點，得AD是BC的垂直平分線，從而ΔABD≌ΔACD，ΔOBD≌ΔOCD，ΔOAB≌ΔOAC；又EF垂直平分AC，所以ΔOAE≌ΔOCE．共有四對全等三角形.選D.

溫馨小提示：等腰三角形有許多性質，主要有等邊對等角、等角對等邊和三線合一等，這些性質的運用常在綜合題中出現.

圖5

考點7平行四邊形

例8（2015年衢州卷）如圖6，在?ABCD中，已知AD越12cm，AB越8cm，AE平分∠BAD交BC于點E，則CE的長等于（）.

A.8cmB.6cm

C.4cmD.2cm

分析與解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

亦AD∥BC，AD越BC，亦∠DAE越∠AEB，

又疫AE平分∠BAD，亦∠DAE越∠EAB，亦∠EAB越∠AEB，

亦AB越BE，亦CE越BC原BE越12原8越4(cm)．選C.

溫馨小提示：平行四邊形的性質體現在“四對”，即對邊平行且相等，對角相等，對角線互相平分，中心對稱圖形.其次，鄰角互補、被對角線分成四個三角形的面積相等也是常考點.

圖6

考點8矩形

例9（2015年自貢卷）如圖7，在矩形ABCD中，AB越4，AD越6，E是AB邊的中點，F是線段BC邊上的動點，將△EBF沿EF所在直線折疊得到ΔEB憶F，連接B憶D，則B憶D的最小值是（）.

分析與解：連接ED，則在ΔEDB憶中，B憶D躍DE原EB憶，當點B憶落在ED上時，B憶D最小，等于DE原EB憶援

圖7

根據翻折對稱性，EB義越EB越2，

溫馨小提示：矩形是特殊的平行四邊形，其主要性質有對角線相等、四個角都是直角以及中心對稱性、軸對稱性，其中以折疊為背景的問題是中考命題的熱點.

考點9菱形

例10（2015年青島卷）如圖8，菱形ABCD的對角線AC、BC相交于點O，E、F分別是AB、BC邊上的中點，連接EF，若EF越，BD越4，則菱形ABCD的周長為（）．

圖8

溫馨小提示：菱形的四邊相等、對角線互相垂直平分且每條對角線平分每對內角.菱形的面積等于對角線乘積的一半及軸對稱是常考點.

考點10多邊形

例11（2015年麗水卷）一個多邊形的每個內角均為120°，則這個多邊形是（）.

A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.七邊形

分析與解：由多邊形的每個內角均為120°，得每個外角為180°-120°越60°．又多邊形的外角和是360°，∴這個多邊形的邊數是：360÷60＝6．選C.

溫馨小提示：n邊形的內角和公式（n原2）·180°及外角和為360°是解決多邊形邊數與內角度數問題的主要工具.

考點11圓

例12（2015年南寧卷）如圖9，AB是⊙O的直徑，AB越8，點M在⊙O上，∠MAB越20°，N是弧MB的中點，P是直徑AB上的一動點，若MN越1，則△PMN周長的最小值為（）．

A.4B.5C.6D.7

分析與解：∵N關于AB的對稱點N憶，

亦MN憶與AB的交點P憶即為ΔPMN周長的最小時的點，

疫N是弧MB的中點，

圖9

∴∠A越∠NOB越∠MON越20°，

∴∠MON憶越60°，∴ΔMON憶為等邊三角形，

∴MN憶越OM越4，∴△PMN周長的最小值為4垣1越5．選B．

溫馨小提示：圓的性質較多，主要有圓心角定理，圓周角定理，弧、弦、弦心距、圓心角關系定理，垂徑定理等.

考點12扇形

例13（2015年河南卷）如圖10，在扇形AOB中，∠AOB越90°，點C為OA的中點，CE⊥OA，以點O為圓心，OC的長為半徑作扇形交OB于點D，若OA越2，則陰影部分的面積為．

分析與解：連接OE.

∵CE⊥OA，C為OA的中點，

亦∠OEC越30°，∠COE＝60°.

圖10

∵∠AOB越90°，∴∠BOE越∠AOB原∠COE越30°，

考點13圓錐

例14（2015年德州卷）如圖11，要制作一個圓錐形的煙囪帽，使底面圓的半徑與母線長的比是4：5，那么所需扇形鐵皮的圓心角應為（）.

A.288°B.144°C.216°D.120°

分析與解：設扇形圓心角為n°．由已知可設底面圓的半徑為4x，母線長為5x，則底面圓的周長為2仔·4x越8仔x，扇形鐵皮的弧長為，解得n越288.選A．

圖11

溫馨小提示：圓錐母線l、底面圓的半徑r和高h構成直角三角形，滿足l2越r2垣h2.

責任編輯：王二喜