第二講方程與不等式

文/王宗俊

第二講方程與不等式

文/王宗俊

方程與不等式是初中數學的基礎知識，它們的應用十分廣泛.方程（組）或不等式（組）的實際應用是命題的重點.現以2015年中考試題為例，把方程與不等式的常考內容歸納如下，供你復習時參考.

考點1利用方程（組）解的概念解題

例1（1）（2015年常州卷）已知x=2是關于x的方程a（x+1）=a+x的解，則a的值是.

（2）（2015年蘭州卷）若一元二次方程ax2-bx-2015=0有一根為x=-1，則a+b=．

（2）把x=-1代入ax2-bx-2015=0得a+b-2015=0，即a+b=2015．填2015．

溫馨小提示：運用根的概念解題時，要靈活運用“若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，則的結論.

考點2解方程（組）

①+②×2得7x=7，即x=1，

（2）方程兩邊同乘以（x垣3）（x原3），得x2-5x+6-3x-9=x2-9，

溫馨小提示：解二元一次方程組是送分題，解方程組的根本方法是消元.解分式方程的步驟：①去分母，把分式方程化成整式方程；②求出整式方程的解；③檢驗；④結論.解分式方程一定要驗根.

考點3一元二次方程的判別式及根與系數的關系

（2）（2015年十堰卷）已知關于x的一元二次方程x2-（2m+3）x+m2+2=0．

①若方程有實數根，求實數m的取值范圍；

②若方程兩實數根分別為x1、x2，且滿足求實數m的值．

（2）①∵關于x的一元二次方程x2-（2m+3）x+m2+2=0有實數根，

∴Δ≥0，即（2m+3）2-4（m2+2）≥0，∴m≥-．

即（2m+3）2-2（m2+2）=31+m2+2，解得m=2，m=-14（舍去），∴m=2．

溫馨小提示：求一元二次方程字母系數的取值范圍通常需要利用根的判別式，注意二次項系數不為0.利用根與系數的關系求字母的值，需要解方程，字母的值一定要滿足判別式大于或等于零，不滿足的要舍去.

考點4方程（組）的應用

例4（2015年連云港卷）在某市組織的大型商業演出活動中，對團體購買門票實行優惠，決定在原定票價基礎上每張降價80元，這樣按原定票價需花費6000元購買的門票張數，現在只花費了4800元．

（1）求每張門票的原定票價；

（2）根據實際情況，活動組織單位決定對于個人購票也采取優惠政策，原定票價經過連續二次降價后降為324元，求平均每次降價的百分率．

解析：（1）設每張門票的原定票價為x元，則現在每張團體門票的票價為（x-80）元，根據題意得解得x=400．

經檢驗，x=400是原方程的根．

答：每張門票的原定票價為400元．

（2）設平均每次降價的百分率為y，根據題意得400（1-y）2=324，

解得y1=0.1，y2=1.9（不合題意，舍去）．

答：平均每次降價10%．

溫馨小提示：方程（組）的應用是中考命題的重點.解題的關鍵是尋找等量關系.要檢驗方程的解是否符合實際情況，對于分式方程，要檢驗是否為增根.

考點5不等式的性質

例5（2015年樂山卷）下列說法不一定成立的是（）．

A.若a＞b，則a+c＞b+cB.若a+c＞b+c，則a＞b

C.若a＞b，則ac2＞bc2D.若ac2＞bc2，則a＞b

解析：只有選項C不一定成立．因為當c=0時，若a＞b，ac2越bc2．選C．

溫馨小提示：要注意不等式性質中“同”“都”等關鍵詞，當兩邊同除以負數時，不等號要改變方向.另外“0”是一個特殊的數，以防掉進“0”的陷阱.

考點6不等式（組）的解集

解：由①得，x＜2，由②得，x≥-2，故不等式組的解集為：-2≤x＜2．

溫馨小提示：在數軸上表示不等式的解集時，解集包含這個數用實點，不包含時用虛點，去分母時，不要漏乘不含分母的項.

考點7確定字母的取值范圍

例7（2015年恩施卷）關于x的不等式組｛3x-1＞4（x-1），的解集為x＜3，那么m的取值范x＜m圍為（）．

A.m=3B.m＞3C.m＜3D.m≥3

溫馨小提示：解一元一次不等式組時，先分別求出每個不等式的解集，再借助數軸找出它們的公共部分，即確定出不等式組的解集，進而求出字母系數的取值范圍.

考點8不等式的應用

例8（2015年東營卷）東營市出租車的收費標準是：起步價8元（即行駛距離不超過3千米都需付8元車費），超過3千米以后，每增加1千米，加收1.5元（不足1千米按1千米計）．某人從甲地到乙地經過的路程是x千米，車費為15.5元，那么x的最大值是（）．

A.11B.8C.7D.5

解析：設甲地到乙地的路程是x千米，依題意，得

8+1.5（x-3）≤15.5，解得x≤8．選B．

溫馨小提示：列出不等式是解題的關鍵.

考點9不等式與方程的聯合應用

例9（2015年眉山卷）某廠為了豐富大家的業余生活，組織了一次工會活動，準備一次性購買若干鋼筆和筆記本（每支鋼筆的價格相同，每本筆記本的價格相同）作為獎品．若購買2支鋼筆和3本筆記本共需62元，購買5支鋼筆和1本筆記本共需90元．求：

①購買一支鋼筆和一本筆記本各需多少元？

②工會準備購買鋼筆和筆記本共80件作獎品，根據規定購買的總費用不超過1100元，則工會最多可以購買多少支鋼筆？

解析：①設一支鋼筆需x元，一本筆記本需y元．

②設購買鋼筆的數量為m，則筆記本的數量為80-m，由題意得

16m+10（80-m）≤1100，解得m≤50．

答：最多可購買50支鋼筆.

溫馨小提示：注意利用“少”“沒滿”“少于”“不超過”等關鍵詞語列不等式.

責任編輯：王二喜