第二講方程與不等式

文/王宗俊

第二講方程與不等式

文/王宗俊

方程與不等式是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，它們的應(yīng)用十分廣泛.方程（組）或不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用是命題的重點(diǎn).現(xiàn)以2015年中考試題為例，把方程與不等式的常考內(nèi)容歸納如下，供你復(fù)習(xí)時(shí)參考.

考點(diǎn)1利用方程（組）解的概念解題

例1（1）（2015年常州卷）已知x=2是關(guān)于x的方程a（x+1）=a+x的解，則a的值是.

（2）（2015年蘭州卷）若一元二次方程ax2-bx-2015=0有一根為x=-1，則a+b=．

（2）把x=-1代入ax2-bx-2015=0得a+b-2015=0，即a+b=2015．填2015．

溫馨小提示：運(yùn)用根的概念解題時(shí)，要靈活運(yùn)用“若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，則的結(jié)論.

考點(diǎn)2解方程（組）

①+②×2得7x=7，即x=1，

（2）方程兩邊同乘以（x垣3）（x原3），得x2-5x+6-3x-9=x2-9，

溫馨小提示：解二元一次方程組是送分題，解方程組的根本方法是消元.解分式方程的步驟：①去分母，把分式方程化成整式方程；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④結(jié)論.解分式方程一定要驗(yàn)根.

考點(diǎn)3一元二次方程的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

（2）（2015年十堰卷）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-（2m+3）x+m2+2=0．

①若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

②若方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，且滿足求實(shí)數(shù)m的值．

（2）①∵關(guān)于x的一元二次方程x2-（2m+3）x+m2+2=0有實(shí)數(shù)根，

∴Δ≥0，即（2m+3）2-4（m2+2）≥0，∴m≥-．

即（2m+3）2-2（m2+2）=31+m2+2，解得m=2，m=-14（舍去），∴m=2．

溫馨小提示：求一元二次方程字母系數(shù)的取值范圍通常需要利用根的判別式，注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0.利用根與系數(shù)的關(guān)系求字母的值，需要解方程，字母的值一定要滿足判別式大于或等于零，不滿足的要舍去.

考點(diǎn)4方程（組）的應(yīng)用

例4（2015年連云港卷）在某市組織的大型商業(yè)演出活動(dòng)中，對(duì)團(tuán)體購買門票實(shí)行優(yōu)惠，決定在原定票價(jià)基礎(chǔ)上每張降價(jià)80元，這樣按原定票價(jià)需花費(fèi)6000元購買的門票張數(shù)，現(xiàn)在只花費(fèi)了4800元．

（1）求每張門票的原定票價(jià)；

（2）根據(jù)實(shí)際情況，活動(dòng)組織單位決定對(duì)于個(gè)人購票也采取優(yōu)惠政策，原定票價(jià)經(jīng)過連續(xù)二次降價(jià)后降為324元，求平均每次降價(jià)的百分率．

解析：（1）設(shè)每張門票的原定票價(jià)為x元，則現(xiàn)在每張團(tuán)體門票的票價(jià)為（x-80）元，根據(jù)題意得解得x=400．

經(jīng)檢驗(yàn)，x=400是原方程的根．

答：每張門票的原定票價(jià)為400元．

（2）設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為y，根據(jù)題意得400（1-y）2=324，

解得y1=0.1，y2=1.9（不合題意，舍去）．

答：平均每次降價(jià)10%．

溫馨小提示：方程（組）的應(yīng)用是中考命題的重點(diǎn).解題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.要檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際情況，對(duì)于分式方程，要檢驗(yàn)是否為增根.

考點(diǎn)5不等式的性質(zhì)

例5（2015年樂山卷）下列說法不一定成立的是（）．

A.若a＞b，則a+c＞b+cB.若a+c＞b+c，則a＞b

C.若a＞b，則ac2＞bc2D.若ac2＞bc2，則a＞b

解析：只有選項(xiàng)C不一定成立．因?yàn)楫?dāng)c=0時(shí)，若a＞b，ac2越bc2．選C．

溫馨小提示：要注意不等式性質(zhì)中“同”“都”等關(guān)鍵詞，當(dāng)兩邊同除以負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)要改變方向.另外“0”是一個(gè)特殊的數(shù)，以防掉進(jìn)“0”的陷阱.

考點(diǎn)6不等式（組）的解集

解：由①得，x＜2，由②得，x≥-2，故不等式組的解集為：-2≤x＜2．

溫馨小提示：在數(shù)軸上表示不等式的解集時(shí)，解集包含這個(gè)數(shù)用實(shí)點(diǎn)，不包含時(shí)用虛點(diǎn)，去分母時(shí)，不要漏乘不含分母的項(xiàng).

考點(diǎn)7確定字母的取值范圍

例7（2015年恩施卷）關(guān)于x的不等式組｛3x-1＞4（x-1），的解集為x＜3，那么m的取值范x＜m圍為（）．

A.m=3B.m＞3C.m＜3D.m≥3

溫馨小提示：解一元一次不等式組時(shí)，先分別求出每個(gè)不等式的解集，再借助數(shù)軸找出它們的公共部分，即確定出不等式組的解集，進(jìn)而求出字母系數(shù)的取值范圍.

考點(diǎn)8不等式的應(yīng)用

例8（2015年東營卷）東營市出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：起步價(jià)8元（即行駛距離不超過3千米都需付8元車費(fèi)），超過3千米以后，每增加1千米，加收1.5元（不足1千米按1千米計(jì)）．某人從甲地到乙地經(jīng)過的路程是x千米，車費(fèi)為15.5元，那么x的最大值是（）．

A.11B.8C.7D.5

解析：設(shè)甲地到乙地的路程是x千米，依題意，得

8+1.5（x-3）≤15.5，解得x≤8．選B．

溫馨小提示：列出不等式是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)9不等式與方程的聯(lián)合應(yīng)用

例9（2015年眉山卷）某廠為了豐富大家的業(yè)余生活，組織了一次工會(huì)活動(dòng)，準(zhǔn)備一次性購買若干鋼筆和筆記本（每支鋼筆的價(jià)格相同，每本筆記本的價(jià)格相同）作為獎(jiǎng)品．若購買2支鋼筆和3本筆記本共需62元，購買5支鋼筆和1本筆記本共需90元．求：

①購買一支鋼筆和一本筆記本各需多少元？

②工會(huì)準(zhǔn)備購買鋼筆和筆記本共80件作獎(jiǎng)品，根據(jù)規(guī)定購買的總費(fèi)用不超過1100元，則工會(huì)最多可以購買多少支鋼筆？

解析：①設(shè)一支鋼筆需x元，一本筆記本需y元．

②設(shè)購買鋼筆的數(shù)量為m，則筆記本的數(shù)量為80-m，由題意得

16m+10（80-m）≤1100，解得m≤50．

答：最多可購買50支鋼筆.

溫馨小提示：注意利用“少”“沒滿”“少于”“不超過”等關(guān)鍵詞語列不等式.

責(zé)任編輯：王二喜