讀《古今數學思想》有感

讀《古今數學思想》有感

張碩旸

《古今數學思想》是上海科學技術出版社出版的圖書，作者是M·克萊因。本書共分四冊，論述了從古代一直到20世紀頭幾十年中的重大數學創造和發展，目的是介紹中心思想，特別著重于那些在數學歷史的主要時期出現并成為最突出的、對促進和形成爾后的數學活動有影響的主流工作。

掩卷而思，我不禁感慨萬千！

數學的發展經歷了千辛萬苦，說是一部血淚史也不為過。數學歷來被視為嚴格、和諧、精確的學科。縱觀數學發展史，數學發展從來不是完全直線式的，她的體系不是永遠和諧的，常常出現悖論。數學悖論在數學理論中的發展是一件嚴重的事，因為它直接導致了人們對相應理論的懷疑。如果一個悖論所涉及的面十分廣泛的話，甚至涉及整個學科的基礎時，這種懷疑情緒又可能發展成為普遍的危機感。特別是一些重要悖論的產生自然引起了人們對數學基礎的懷疑以及對數學可靠性信仰的動搖。數學史上發生過三次數學危機，每次都是由一兩個典型的數學悖論引起的。幸虧數學家們堅持不懈的努力和執著的追求，才使得每次危機都化險為夷。但許多人為之付出了艱辛的汗水，甚至生命的代價。比如，古希臘的希帕索斯，為了第一次數學危機的解決，不惜反對自己的老師而獻出了生命。又如卡爾達諾，他因為一篇論文和他的老師塔塔利亞發生了爭執并與之在米蘭決斗。雖然并不是騎士用長劍決斗或者牛仔用左輪手槍，但恰恰由于決斗，卡爾達諾公式得以流芳百世……所以說，數學是真理的化身一點也不為過，因為她不為人的感情而左右。

數學要發展，不能只為實用，需要建立公理體系。三次數學危機的產生，使得數學家們意識到，數學要進一步發展壯大，需要一套完整的理論體系支持，需要按照邏輯順序加以綜合整理，使之條理化、系統化，上升到理性認識。公理化方法便是一種有效的手段。大約在公元前3世紀，希臘哲學家和邏輯學家亞里斯多德總結了幾何學與邏輯學的豐富資料，系統地研究了三段論，以數學及其他演繹的學科為例，把完全三段論作為公理，由此推導出其他所有三段論法，從而使整個三段論體系成為一個公理系統。近代數學中的群論也經歷了一個公理化的過程。人們分別研究了許多具體的群結構以后，發現了它們具有基本的共同屬性，就用一個滿足一定條件的公理集合來定義群，形成一個群的公理系統，并在這個系統上展開群的理論，推導出一系列定理。

數學是美的。從數學發展來看，盡管經歷了這么多次危機，但最后都徹底解決了，并且每次解決都沒有推翻之前的結論，而是建立在之前的結論上。這是多么的和諧！和諧性是美的最基本、最普遍的一個特征，任何美的東西無一不給人以和諧之感。

數學美在簡單明了。一是理論前提的簡單性，獨立的概念簡單明確，以最少的公理來建立理論；二是理論表述的簡單性，以最簡單的方式抓住現象的本質，定理和公式簡單明晰。著名的皮亞諾算術公理系統就是邏輯結構簡單美的一個典范。

數學美在對稱。畢達哥拉斯學派認為，一切空間圖形中，最美的是球形；一切平面圖形中，最美的是圓。圓是中心對稱圖形——圓心是它的對稱中心，圓也是軸對稱圖形——任何一條直徑都是它的對稱軸。對稱美的形式很多，對稱美也不只是數學家獨自欣賞的，人們對對稱美的追求是自然的、樸素的。如我們喜愛的對數螺線、雪花，知道它的一部分，就可以知道它的全部。

（作者單位：益陽市第一中學）