多軸進給系統的離散時間自適應魯棒性調整*

余志鵬，蔡澤凡

（順德職業技術學院電子與信息工程學院，廣東佛山528305）

多軸進給系統的離散時間自適應魯棒性調整*

余志鵬，蔡澤凡*

（順德職業技術學院電子與信息工程學院，廣東佛山528305）

在進給機械系統中，一個軸的慣性力影響著與之接觸的其他軸。其他機械部件的接觸力，接觸面間的摩擦力的量級有著巨大的差異，形成耦合效應。在控制器的設計中考慮到這種耦合效應的存在并克服它，可提升控制效果。因為耦合效應不能提前知釋，且大小會因為環境的變化（如溫度）而改變，因此設計一個自適應控制器，能對對象的不可預知的模型誤差干擾進行魯棒性整定。一種基于線性矩陣不等式約束魯棒控制器應用到控制器，并轉化為最小化問題，得到優化的解決方案。通過與非魯棒自適應控制器的對比，誤差降低80%，驗證了控制器的有效性。

自動化技術；進給系統；自適應魯棒控制；動態耦合

目前已有很多的研究致力于解決機床進給系統的精確控制問題［1-2］。其中一種最有效的前饋控制器設計是由陳［3-4］和其他人提出零相位誤差追蹤控制器（ZPETC），它在機床控制中有著廣泛的應用。Erkorkmaz［5］和Altintas提出了一種具有干擾因子的控制器，摩擦力補償器和ZPETC，并驗證控制器在變化的等高線下的效果。

由于ZPETC設計是基于對兩極數據的刪除以及對反饋控制系統的優秀的零點衰減控制，必須先知道對象的動態。對于ZPETC在具有未知動力學的工廠里的應用，有學者提出應用自適應算法。Tsao［6］和Tomizuka提出一種自適應ZPETC設計，需要一個可以穩定反饋控制系統來消除反饋環極點的控制器。然而，這樣的控制器會產生統一的直流放大頻率響應。考慮到每個進給驅動軸里輪廓和跟蹤誤差的同步會對控制器參數的匹配產生困難。Lo［7］和Chung提出一種針對雙軸反饋驅動系統輪廓的基于坐標變換控制算法。在這個算法里，每個進給驅動軸的跟蹤誤差被轉換成誤差分量，這些分量與期望的輪廓曲線正交和正切。這種觀點引導幾種后續的算法［8-11］。

以上進給驅動系統的控制器設計一般都忽略了多軸間的耦合效應。因為一個軸的運動所產生的慣性力影響其他軸的機械零件的接觸力，接觸面的摩擦力的量級是變化的。這樣的效應可能影響多軸進給驅動系統的控制效果。因為這樣的耦合效應一般都是不可知的，還會因應環境的變化（如溫度）而改變。

本文提出一種自適應控制器設計以補償耦合效應。這個控制器是文獻［12］里提出的多輸入多輸出系統的一個延展。文獻［12］的自適應控制器的魯棒性較差，因為它具有由控制器和工廠模型參數構成的評價器組成的復雜機構。在文獻［13］里的確定控制器里，通過合適的分派參數可以改善系統的魯棒性，我們期望在自適應控制系統里引入一個確定控制器。

首先，提出考慮到多軸間的耦合效果的進給驅動動力學分時模型。然后，提出一個分時系統的自適應控制器設計，它在不可預見的車間模型誤差和因引入確定控制器而引起的失調下依然可以保持魯棒性。

1 進給驅動動力學及被控對象

一般進給驅動動力學被定義為如下的退耦線性系統

為考慮耦合效應，本文以如圖1形式建立雙軸進給驅動系統模型。

圖1 雙軸系統模型

如果下層進給驅動系統移動，慣性力將作用于該層與上一層進給驅動系統的導螺桿的接觸面。這股力量改變接觸面的摩擦系數。因為摩擦力的數量級和表面壓力的數量級成正比，考慮如下的效果：

式中，mij代表相對于移動軸j軸的第i軸摩擦效應。此公式包含了耦合效應，而mij的值一般是未知的。本文將在下節提出一個自適應控制器設計。

式（2）表示的動力學被離散化，對數字計算機的使用一個離散時間控制器是有價值的。假設引入零階控制輸入，采樣時間T很小，相對適應過程（如階躍擾動）hi的改變是緩慢的，本文用近似的分時模型，和文獻［14］所用的類似。

式中，x[k]=[x1(kT),…,xn(kT)]T為每個進給驅動軸的位置矢量，v[k]=[v1(kT),…,vn(kT)]T是控制輸入電壓矢量，w[k]=[w1(kT),…,wn(kT)]T采樣常數k下的干擾矢量，d是時間延時（正整數），z-1是一階延時系數，如z-1x[k]=x[k-1]。本文中信號ai(kT)由ai(k)表示。y［k］的加入代表其他形式的擾動，這項在文獻［14］里沒有。非奇異矩陣M如下所示：

對車間動力學作如下假設，（1）矩陣M是未知的，所以B是未知的；（2）矢量w［k］是未知的；（3）時間延時常數d是未知的。對未知擾動wi[k]的特性又作如下假設；（4）信號wi[k]是有界的；（5）信號wi[k]滿足下面關系：

（6）多項式階數Gi、nGi已知，但它的系數未知；（7）多項式Gi與(1+z-1)互質。（8）信號ri(k)滿足以下關系：

式中fim是個常系數；（9）信號ri[k]是有界的；（10）多項式Fi,nfi的階數是已知的，但它們的系數未知；（11）多項式Fi與(1-z-1)互質。下面是控制對象：

式中Di是一個被控制器指定的任意穩定的多項式項。

2 自適應反饋控制器設計

文獻［12］提出的自適應控制器有2個自由度，包括一個自適應前饋控制器（AFFC）和一個自適應反饋控制器（AFBC）。本節提出為多軸進給驅動系統設計AFBC的方法，此方法將耦合效應納入考慮。

本設計使用了Diophantine方程：

式中nRi和nSi是多項式Ri和Si對應的階數。rim和sim是常系數。Ci是由控制器指定的漸近穩定多項式，如下：

式中，cim是常系數，nCi是多項式的階數。

從假設（7）可知，如果系數Ri和Si的階數各自被設為nRi=d，nSi=max(nGi+1,nCi-d-1)，它們的單獨性是確定的。把式（8）的兩邊乘以xi[k]并考慮式（3）和式（5），得：

第k次時間片采樣誤差εi[k]定義如下：

式中，

此處使用常量追蹤算法［15］來選擇σi1(k)和σi2(k)。可以證明ζi[k-d]是有界的，當k→∞時，εi[k]→0。通過這些屬性，得出以下關系：

3 魯棒控制器設計

對于不可預見的車間模型誤差和擾動，自適應控制系統的魯棒性不夠好。本文提出一種算法，引進一個預置（非自適應）控制器來提高魯棒性。從式（14）、式（15）可得下式：

可以漸近地得到以下單輸入單輸出脈沖傳遞函數：

一種魯棒預置控制器被設計出來，假設式（17）是車間環境表達式。考慮到以下指定控制器Wi和Xi產生ui[k]：

式中，rfi[k]是一個經過濾波的參考信號。把Wi和Xi的階數設成nWi=d以及，通過求解以下的Diophantine方程，可得到Wi和Xi唯一的系數。

假設Ci和Di是2階向量，因為式（3）中的A是2階矩陣，對Wi和Xi分別得到階數nWi=d以及nXi=1。

因為Di是二階矩陣，它是穩定的如滿足以下條件：

如果以下條件滿足，零點和極點控制器穩定：

4 自適應前饋控制器的設計

本節提出一種設計設計AFFC的方法，用于在一個類似文獻［12］的方式改進跟蹤性能。下面引入Diophantine方程設計AFFC：

式中nEi和nQi是多項式Ei和Qi對應的階數，eim和qim是常系數。

從假設（11）可知，若Ei和Qi的階數被設置成nEi=d和nQi=max(nFi-1,nDi-nXi-d-1)常系數，它們的獨特性就能確定。把等式（25）的兩邊右乘ri[k]，結合等式（6），得：

由于Qi的系數未知，使用式（26）對其估值。將Qi的系數用式（26）在第k個采樣點[k](m=0,1,…,nQ)的估計值代替，得出多項式：

式中，xim′是多項式(1+z-1)Xi的第z-m項的系數。第k個采樣點的估計誤差εfi[k]被定義如下：

圖2 控制器的組成

本設計所使用指定循跡算法通過更新λi1[k]、λi2[k]的值實現，下面的等式可通過估值等式（30）獲得［15］：

因為參考信號ri[k]，信號ζi[k-d]是有界的，式（31）中Γi[k-1]的元素的值也是有界的［15］。因此，從式（31）可得，當k→∞,εfi[k]→0，且能得到以下關系：

從式（15）、式（17）、式（20）和式（21）可確認控制對象方程（7）得到滿足。

5 實驗

計劃控制系統被應用到工具制造機械系統，以直流伺服電機和絲桿驅動，如圖3所示。僅把X1和X2軸的軸向運動納入實驗。每個進給驅動軸的最大系數是m1=1.6×10-2以及m2=4.6×10-3V2s/mm。進給系統的位置由軸上的線性電子尺測量，電子尺的分辨率是0.1μm。

下面設計出2種控制器，并比較它們的控制效果。

（1）不考慮耦合效應的自適應控制器。

圖3 實驗系統

（2）在控制器里包含預置控制器的魯棒自適應控制器。

在控制器（1）中，等式（4）中的所有元素被設為0，因此等式（14）里的矩陣的非對角線元素為0。

以下參考信號將在實驗里使用：

式中，Rim是參考信號的振幅，它被設成R11=R22=0.5 mm，R12=R21=1.5mm。控制時間和采樣周期分別設為Tf=20s，T=4ms。

首先證明該控制器能有效消除耦合效應。把等式（3）里的d設為2。因為每條驅動軸的動力學函數是二階的，等式（7）里面的控制對象的多項式別設為：

在實驗里，式（34）中的控制系統極點η從0.9減少到0.05，因為為了取得穩定的控制，η的量級必須小于1。η取更小的量級可得到更好的控制表現，但穩定邊界會縮小。當它取0.9時，（1）和（2）控制器中會出現不可接受的追蹤誤差。圖4展示了η=0.85時的實驗結果。在圖3的系統中，X1軸的運動增加了X2軸的耦合效應。這個結論受圖4的實驗結果支持，因為只有誤差量級e2[k]被減少。

圖4 實驗結果（左邊沒有擾動補償，右邊有擾動補償）

為證實結果的重復性，相同的實驗運行5次，每次實驗的平均跟蹤誤差量級在圖5顯示出來。平均量級數值會在時間t=3 s后評價，這個時間點后所有被評價的參數都處在較穩定狀態。

在所有跟蹤過程中，考慮消減耦合效應后，平均追蹤誤差量級|e2[k]|被減少，e1[k]有輕微的改變。這個結果支持了本文的結論。平均誤差量級|e2[k]|減少了28.7%。

圖5 追蹤誤差量級的比較

圖6 實驗結果（自適應補償和魯棒自適應補償）

然后驗證魯棒控制器（2）的有效性。把控制器（1）和（2）的η設為0.8，由于建立模型時產生不可遇見的的誤差及擾動，使控制系統變得不穩定。其中一次的控制效果如圖6所示，圖中控制輸入的方差v2[k]明顯增加。調節等式（21）中的多項式Ci使所有的零點為0.9，解決最優化問題可得到|xi0|的值。圖6（b）展示了當η=0.55時的實驗結果，控制器的極點更接近零點，這意味著需要在更好的控制表現下，控制系統依然能保持穩定。

此外，2個軸的追蹤誤差被大大的減少。圖7展示了參數鑒定結果。若把η設為0.5來繼續改善控制表現，但控制系統會開始變得不穩定。

圖7展示控制系統的極點位置和預置魯棒控制器的平均跟蹤誤差量之間的關系。在圖7所示的所有極點中，控制系統都保持穩定。當η=0.55時，把圖7和圖5的誤差量級作對比，可以確定使用預置魯棒控制器后，誤差量級減少了80%。

圖7 魯棒控制下的每次追蹤誤差量級極點位置

6 結論

為改進機械工具進給系統的控制效果，設計出一種魯棒自適應控制器，它考慮到機械機構中多個軸的擾動效應。為自適應控制器引入一個預置控制器后，它的魯棒性被顯著提高。通過實驗的比較結果，證實本文的論斷，并體現出預置控制器的效果。與非魯棒控制器設計對比，應用預置自適應控制器可把分時控制系統的極點在復平面內設置得更接近原點，實驗中追中誤差平均被減少了80%。

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余志鵬（1981-），男，漢族，廣東順德人，研究生學歷，畢業于華南理工大學控制理論與控制工程專業，工作于順德職業技術學院，副教授，研究方向為控制理論與控制工程，2013年帶隊獲全國技能大賽機器人技術應用賽項全國一等獎，faithfu?lyu@126.com；導師是梁杰申，華南理工大學自動化學院，副教授；

蔡澤凡（1979-），碩士研究生畢業于華南理工大學控制理論與控制工程專業，現為華南理工大學在職在讀博士，工作于順德職業技術學院，職稱講師，研究方向為自動控制與無線通訊技術。

The Robust Modulation of Multi-Axis System in Discrete Time*

YU Zhipeng，CAI Zefan*
（College of Electrical and Information Engineering，Shunde Polytechnic，Foshan Guangdong 528305，China）

In a mechanical system，an adaptive robust adjust method is put forward.Because the inertia force in one axis affects on other axis connected with it.The magnitudes of frictions between the contact sides are different fiercely，which result in the cause of coupling effect.The coupling effect must be considered and restrained to promote the control effect.An adaptive controller is designed to offer robust adjust for the error disturbance of the unpredictable model.The robust controller is based on linear matrix inequality constrain and can be transformed to minimization problem and get the conclusion.By comparison to the controller without robust adaptive controller，the effect of the new controller is verified.

automation，feed drive system，adaptive Robust control，dynamic coupling，

TP242.2

A

1005-9490（2016）06-1487-08

0170

10.3969/j.issn.1005-9490.2016.06.040

項目來源：佛山市機電專業群工程技術開發中心機電專業群科研平臺項目（2015-KJZX134）；廣東省高等職業教育品牌專業建設項目（2016gzpp139）

2015-05-07 修改日期：2015-06-17