關于彈性勢能相關問題的探討

尹健

摘 要：本文將對彈性勢能的表達式進行推導，以及對在不同零點位置的勢能問題做出解釋，并展開一系列有關彈性勢能的分析討論。

關鍵詞：彈性勢能；勢能表達式；零點問題；勢能相對性

一、彈性勢能表達式的推導

（一）坐標原點為勢能零點且可在任意位置

如圖1所示，選取勢能零點為A點，則可以求出B點的彈性勢能為Epx=1/2K（X-X0）2；O點的彈性勢能為Epo=KX02/2；由B點和O點的彈性勢能表達式可以得出O、B兩點的勢能差為ΔEp=K（X-X0）2/2-KX02/2=KX2/2-KXX0。若又以O點為勢能零點，根據彈性勢能具有的相對性可以得到：Ep=KX2/2-KXX0；該式可作為彈性勢能的一般表達式，即表示O為勢能零點時，任意一點X的彈性勢能。其中當X0=0時，Ep=KX2/2。

如圖2所示，為該情形下的勢能曲線圖。勢能曲線所反映的內容有：當X=0或X=2X時，存在兩個勢能零點，當00或X<2X時，Ep>0。

（二）坐標原點在自然端點，勢能零點為任意點

如圖3所示，我們將彈簧振子的自然端定為坐標原點，零勢能點為A點，要求X點的彈性勢能。當O點為零勢能點時，可以求得X點處的彈性勢能為Epx=KX2/2；A點的彈性勢能同樣可求得為Epa=KX02/2；于是可得，A、X兩點之間的勢能差為ΔEp=KX2/2-KX02/2；當X0點為零勢能點時，由于勢能具有相對性，則可以求得任意點X處的彈性勢能為：Ep=KX2/2-KX02/2；在該式中，當XO=0時，Epa=KX2/2。

如圖4所示，為該種情況下的勢能曲線圖。該勢能曲線圖反映的內容有：當X=-X0或X=X0時，Ep=0；當-X0X0時，Ep>0。

綜上所述：當自然端作為勢能零點坐標原點時的彈性勢能的表達式為：Ep=KX2/2；當坐標原點為勢能零點，但不為自然端時的彈性勢能的表達式為：Ep=KX2/2-KXX0；當自然端為坐標原點，但勢能零點為任意點時的彈性勢能的表達式為：Ep=KX2/2-KX02/2；當零勢能點和坐標原點其中一個不在自然端時，存在雙勢能零點，其值可正可負。

二、雙勢能零點問題的解釋

由上文對彈性勢能表達式的推導過程及結果可以得出結論：在彈性勢能的計算過程中，零勢能點的選擇決定了彈性勢能的表達式。我們以彈簧為例，首先，選擇彈簧自由長度即不伸長也不縮短的位置作為彈性勢能的零值點，通過推導計算可得這時的彈性勢能表達式為：Ep0=KX2/2；其次，再選擇彈簧伸長量為x的A點處為彈性勢能零值點，其中x為一常量，通過推導計算同樣可得彈性勢能表達式為：EpA=KX2/2-KX02/2；比較以上得出的兩個表達式可知，彈性勢能零值在彈簧原長處時與彈性勢能零值在伸長量x處時相差KX02/2。因此，彈性勢能零值不在彈簧原長時的表達式并不能直接等于Ep=（X-X0）2/2。

在零勢能點的選取問題中，通常認為彈性勢能具有相對性。彈性勢能為標量，由于相對性的存在，也存在勢能的正負之分，其含義為：彈性勢能為正時系統在該狀態的彈性勢能大于零勢能點的勢能；與之相反，彈性勢能為負時系統在該狀態的彈性勢能小于零勢能點的勢能。由于系統的彈性勢能產生與否由彈力的作用決定，在通常情況下，我們選擇彈力作用的臨界點即無形變狀態為零勢能點，因此，無論是伸長還是壓縮，彈力總是做負功，系統的彈性勢能也總是為正，在后期解題過程中是需要注意的。

參考文獻：

[1]李力舟.對彈性勢能問題的一些討論[J].青海師專學報：教育科學版，2004（5）.

[2]徐建兵.實驗探究彈性勢能的表達式[J].物理教師，2010（2）.