研究一滴水，發現一片海

朱春雷

德國教育心理學家瓦根舍因的范例教學理論認為：要發展學生的能力，就應教給學生基本的知識，即基本概念、基本科學規律或知識結構，也就是所謂的“基本性”，要達到這一目的，就要改革教材，使學生借助精選的材料，與“范例”接觸，訓練獨立思考和判斷能力。范例教學主張使學生接受在任何地方嚴肅認真地行事的自由，以及由此出發以完美的方式找到他通向知識整體的教育通道的自由。由此可見，范例教學在內容和材料的選擇上，應當教會學生借助學到的東西，“開始”探索別的東西；讓學生了解“什么東西能提供一切”，而不是了解“所有的一切東西”。通過范例教學，學生應當了解，如果人們這樣或那樣地按照正確的方式探究的話，那么世界會怎樣“提供”各種各樣的知識。我們必須教的是這種性質的探索和揭示真理的方法，這是打開知識大門的鑰匙。這意味著教學將借助例子，通過“典型例子”起到它的最出色的作用。即通過研究樹木，來發現森林。

《圓的周長》是蘇教版數學五年級下冊中的學習內容，也是數學學習的基礎內容，因此它的學習具有典型意義。圓的周長的教學目標是，使學生認識圓的周長，認識圓周率叮r，理解和掌握圓的周長計算公式，能應用公式計算圓的周長，解決周長計算的簡單實際問題。本課在教學設計和實踐中，我運用范例教學，讓學生在研究探索的過程中，深人數學學科本質，提升數學能力。

一、設計吸引學生的問題

1.通過例題主題圖的說明和演示認識周長

讓學生觀察自行車車輪，說說知道了什么。（知道了三個車輪直徑的長度是66、60、55厘米）啟發學生，如果把這三個自行車車輪各滾動一周，想一想，哪一種車輪行駛的路程比較長？（演示滾動過程）通過追問認識圓的周長，車輪滾動一周行駛的路程是車輪什么的長度？車輪的周長是什么圖形的周長？（圓一周的長度，是圓的周長）

2.提出問題

引導學生，66厘米的車輪周長為什么會長一些？比較這3個車輪的直徑和周長，你有什么發現？追問學生，圓的直徑長，周長也長，周長和直徑到底有什么關系呢？

當學生在觀察車輪滾動的過程中，自然而然地發現并提出周長和直徑的關系問題，那么學生將會被這個問題所吸引，并將全神貫注于研究之中。

二、經歷推理和探究的過程

出示并說明例題，在圖中正方形內畫一個最大的圓，再在圓內畫一個最大的正六邊形。引導學生，先觀察三個圖形，思考哪個周長最長、哪個周長最短；再比較正方形周長、六邊形周長和圓的直徑的倍數關系，最后想一想圓的周長和直徑有什么關系，圓的周長大約是直徑的幾倍。

整理并說明，正方形周長應該是圓的直徑的幾倍？六邊形呢？說說你怎樣比較的。這樣比較，能估計出圓的周長大約是直徑的幾倍嗎？圖中可以看出，正方形周長是直徑的4倍，六邊形的周長是直徑的3倍，那圓的周長就應該是直徑的3倍多。

學生通過數學推理，根據三個圖形的周長關系，順理成章地得出“圓的周長是該圓直徑的3倍多”的結論。

三、實踐操作驗證結論

1.啟發思考

要解決圓的周長是直徑的多少倍的問題，還可以怎樣做呢？（用圓的周長除以直徑）

2.實驗操作

討論出測量周長和直徑長度的方法后，引導學生進行實驗操作，現在我們就通過測量、計算，研究圓的直徑和周長的倍數關系。同學們按要求分小組實驗，得出數據。

3.交流發現

現在請每個小組來展示你們的測量、計算結果。教師相機調整、引導后提出問題，通過上面的交流，你發現圓的周長和直徑有什么關系呢？

教師指出，我們現在發現，一個圓的周長總是直徑的3倍多一些。事實上，任何一個圓的周長除以直徑的商都是一個固定不變的數，我們把它叫作圓周率。圓周率用字母π表示，π是一個無限不循環小數，π=3.141592653……在計算時，一般取它的近似值3.14。（結合說明，逐步完成板書：圓的周長÷直徑=圓周率，π≈3.14）

當學生被數學情境所吸引，自發性地進入到探究結論的操作過程中，此時此刻學生將被思維引領著自己去創造概念。數學概念就是這樣從它的根源發生了，學生的認知結構開始逐步形成。這正是范例教學的追求。

四、抽象概括形成公式

1.抽象概括公式

啟發學生概括，根據“圓的周長÷直徑=圓周率”，想一想：圓的周長可以怎樣計算？我們可以發現：圓的周長=直徑×圓周率（板書）。如果用字母c表示周長，那么周長C跟直徑d有怎樣的關系？跟圓的半徑r又有什么關系呢？（板書：C=πd，C=2πr）

2.回顧學習過程

引導回顧一下，我們是怎樣得出這樣一個計算公式的，說說你有什么體會。

我們先觀察發現，圓的周長應該是直徑的3倍多一些，為了驗證這樣的想法，我們通過測量、計算，得出圓的周長總是直徑的3倍多一些。根據這樣的倍數關系，我們推導出了圓的周長計算公式。

五、在應用中提高數學能力

選擇典型的習題進行操練是范例教學的內在要求。在練習應用環節，我作了三點安排，一是利用原有例題的材料，讓學生去求周長，以達到課前比較的最終要求；二是通過不同的條件讓學生去求圓的周長，并歸納求圓的周長的其他公式，從而讓范例教學發揮從個別中尋求整體的作用；三是利用圓的周長公式解決實際問題，增強數學的應用性。

1.完成“試一試”

引導學生試著計算例題中三個車輪的周長大約各是多少厘米。再比較一下三個車輪周長的長短。

2.完成“練一練”

讓學生獨立完成已知圓的直徑、半徑，求圓的周長的練習。交流時向學生提出問題，你是怎樣算的？這里用的是哪一個公式？為什么用這個公式？最后師生共同明確：計算圓的周長，要根據已知條件，正確地選擇公式計算。

3.解決實際問題

“已知一輛汽車車輪的直徑是60厘米，求它轉一周前進多少米？”

學生列式計算。交流時回答，你是怎樣算的？為什么求的是車輪的周長？

通過范例教學圓的周長，學生經歷了觀察、操作、測量、計算和交流、歸納等活動過程，推導出圓的周長計算公式，積累了推導計算公式的學習經驗，發展了分析、綜合和歸納、概括等思維能力。通過體驗圖形與生活的聯系，感受到平面圖形的學習價值；積極參與實驗探究，培養了實事求是的科學態度，樹立了學習數學的自信心。

真正的學習就是學生與教師同時被一個問題，一道習題所吸引，而這個問題和這道習題將能激發人的智力，對智力提出要求，同時使人體驗到精神世界本身固有的規律性。這種學習，猶如真正的游戲一樣令人愉快，但又是那么嚴肅認真。范例教學意味著通過例子、通過典型來達到最佳的效果。數學的學習，我們可以按照這樣的路徑“提出問題——推理論證——形成概念——演繹擴展——運用中產生新的問題”，科學地實施范例教學，從而實現研究一滴水，發現一片海。