δ-李三系的廣義導(dǎo)子

彭建容, 陳良云

(東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130024)

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δ-李三系的廣義導(dǎo)子

彭建容, 陳良云

(東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130024)

δ-李三系, 廣義導(dǎo)子, 擬導(dǎo)子, 型心.

1 引言與預(yù)備知識(shí)

李三系最早出現(xiàn)在Cartan對(duì)黎曼幾何的研究中.1 949年,Jacobson首先在研究Jordan理論和量子力學(xué)有關(guān)的問題時(shí)從代數(shù)的角度引入了李三系[1].李三系與幾何學(xué)、基本粒子理論和量子力學(xué)研究密切相關(guān)[3].作為李三系的一個(gè)推廣,δ-李三系的概念由文獻(xiàn)[4]引入,并且δ=1時(shí),δ-李三系就是李三系. 又由于李代數(shù)都可以看成一個(gè)特殊的李三系,因此δ-李三系是比李代數(shù)和李三系更為廣泛. 同時(shí),δ-李三系與Jordan李三系、李三系、Freudenthal-Kantor三系等代數(shù)有著非常密切的關(guān)系，可以說δ-李三系是一個(gè)新且重要的研究領(lǐng)域.

導(dǎo)子、擬導(dǎo)子、廣義導(dǎo)子、型心、中心導(dǎo)子等是代數(shù)領(lǐng)域重要的研究對(duì)象之一, 它們的研究結(jié)果在數(shù)學(xué)和物理學(xué)都有許多應(yīng)用. 近年,人們得到了一系列重要的結(jié)果[7-16].

定義1.1[7]設(shè)L為一個(gè)代數(shù)，其乘法記為[ , ], 如果其乘法滿足下列等式,我們稱L為李代數(shù)：

1)[a,b]=-[b,a],

2)[a,[b,c]]=[[a,b],c]+[b,[a,c]],?a,b,c∈L.

定義1.2[1]若T是域F上具有三元線性運(yùn)算的向量空間且滿足:

1)[x,y,z]=-[y,x,z],

2)[x,y,z]+[y,z,x]+[z,x,y] = 0,

3)[x,y,[z,u,v]]=[[x,y,z],u,v]+[z,[x,y,u],v]+[z,u,[x,y,v]],?x,y,z,u,v∈T. 則稱T為李三系.

注1.1 設(shè)L是李代數(shù), 由[x,y,z]=[[x,y],z],?x,y,z∈L可以引入一個(gè)三元乘法[x,y,z],則L就成為一個(gè)李三系. 所以在這種意義下每一個(gè)李代數(shù)都是一個(gè)李三系.

定義1.3[4]若T是域F上具有三元線性運(yùn)算的向量空間且滿足:

1)[x,y,z]=-δ[y,x,z],δ=±1,

2)[x,y,z]+[y,z,x]+[z,x,y]=0,

3)[x,y,[z,u,v]]=[[x,y,z],u,v]+[z,[x,y,u],v]+δ[z,u,[x,y,v]],?x,y,z,u,v∈T. 則稱T為δ-李三系, 也稱T為Jordan李三系[5].

注1.2δ-李三系的δ= 1時(shí), 它是李三系. 因此由注1.1 知,δ-李三系是李代數(shù)和李三系的推廣！

有關(guān)δ-李三系的理想、子空間、同態(tài)等定義類似李三系, 具體參見文獻(xiàn)[1-5]. 而本論文所使用的符號(hào)和術(shù)語是可以參考文獻(xiàn)[15-17].

2 主要結(jié)果

定義2.1 設(shè)T是δ-李三系, 若D:T→T滿足

δk([D(x),y,z]+δk([x,D(y),z]+δk([x,y,D(z)] =D([x,y,z]),

?x,y,z∈T,k∈Z, 則D:T→T稱為T的k-導(dǎo)子. 我們記所有k-導(dǎo)子的集合為Derk(T).

命題2.1 設(shè)任意D∈Derk(T),D′∈Ders(T),有[D,D′ ]∈Derk+s(T).

證明 ?x,y,z∈L,有

[D,D′]([x,y,z])=(DD′-D′D)([x,y,z])=DD′ ([x,y,z])-D′D([x,y,z]) =δsD([D′(x),y,z]+[x,D′(y),z]+[x,y,D′(z)])-δkD′([D(x),y,z]+[x,D(y),z]+[x,y,D(z)]) =δsD([D′(x),y,z])+δsD([x,D′(y),z])+δkD([x,y,D′(z)])-δkD′([D(x),y,z])-δkD′([x,D(y),z])-δkD′([x,y,D(z)]) =δk+s([DD′(x),y,z]+[D′(x),D(y),z]+[D′(x),y,D(z)])+δk+s([D(x),D′(y),z]+([x,DD′(y),z])+([x,D′(y),D(z)])+δk+s([D(x),y,D′(z)]+[x,D(y),D′(z)]+[x,y,DD′(z)])-δk+s([D′D(x),y,z]+[D(x),D′(y),z]+[D(x),y,D′(z)])-δk+s([D′(x),D(y),z]+[x,D′D(y),z]+[x,D(y),D′(z)])-δk+s([D′(x),y,D(z)]+[x,D′(y),D(z)]+[x,y,D′D(z)]) =δk+s([DD′(x),y,z]+[D′(x),D(y),z]+[D′(x),y,D(z)]+ [D(x),D′(y),z]+([x,DD′(y),z])+([x,D′(y),D(z)]+ [D(x),y,D′(z)]+[x,D(y),D′(z)]+[x,y,DD′(z)]-[D′D(x),y,z]+ [D(x),D′(y),z]+[D(x),y,D′(z)- [D′(x),D(y),z]+[x,D′D(y),z]+[x,D(y),D′(z)]-[D′(x),y,D(z)]+ [x,D′(y),D(z)]+[x,y,D′D(z)]) =δk+s([[D,D′](x),y,z]+[x,[D,D′](y),z]+[x,y,[D,D′](z)]),

即[D,D′] ∈ Derk+s(T)成立.

令Der(T) = ⊕k≥0Der(T), 從上面的命題知Der(T) 是李代數(shù), 因此Der(T)是End(T)子代數(shù)，稱之為T的導(dǎo)子代數(shù).

定義2.2 設(shè)T是δ-李三系,若存在D′,D″,D? ∈End(T)滿足δk[D(x),y,z]+δk[x,D′(y),z]+δk[x,y,D″(z)]=D?([x,y,z]),?x,y,z∈T, 則D∈End(T) 稱為T的k-階廣義導(dǎo)子. 記廣義導(dǎo)子集合為GDer(T)=⊕k≥0GDer(T).

定義2.3 設(shè)T是δ-李三系, 若存在D′ ∈ End(T) 滿足δk[D(x),y,z] +δk[x,D(y),z] +δk[x,y,D(z)]=D′ ([x,y,z]),?x,y,z∈T, 則D∈ End(T) 稱為k-階擬導(dǎo)子. 記擬導(dǎo)子集合為QDer(T) = ⊕k≥0QDer(T).

定義2.4 設(shè)T是δ-李三系,?x,y,z∈T, 若Ck(T)={D∈End(T)|δk[D(x),y,z]=δk[x,D(y),z]=δk[x,y,D(z)]=D([x,y,z])}, 則Ck(T) 稱為T的k-階型心. 記T的型心為C(T)=⊕k≥0C(T).

定義2.5 設(shè)T是δ-李三系,?x,y,z∈T,若QC(T)={D∈End(T)|[D(x),y,z]=[x,D(y),z]=[x,y,D(z)]}, 則稱QC(T)為T的擬型心.

若ZDer(T)={D∈End(T)|[D(x),y,z]=D([x,y,z])=0},?x,y,z∈T,則稱ZDer(T)為T的中心導(dǎo)子.

容易驗(yàn)證ZDer(T)?Der(T)?QDer(T)?GDer(T)?End(T).

定義2.6 設(shè)T是δ-李三系,I是T的非空子集,稱ZT(I)={x∈T|[x,a,y]=[y,a,x]=0,?a∈I,y∈T}為I在T中的中心化子. 特別地, 稱ZT(T)={x∈T|[x,y,z]=0,?y,z∈T}為T的中心, 記作Z(T).

下面,我們給出δ-李三系的導(dǎo)子代數(shù)、廣義導(dǎo)子代數(shù)、擬導(dǎo)子代數(shù)一些重要性質(zhì).

定理2.1 設(shè)T是δ-李三系, 則下面結(jié)論成立:

1)GDer(T),QGer(T)和C(T)是End(T)的子代數(shù).

2)ZDer(T) 是Der(T)的理想.

證明 1)設(shè)D1∈GDerk(T),D2∈GDers(T).?x,y,z∈T, 有

且

同理,QGer(T) 是End(T)的子代數(shù). 設(shè)D1∈Ck(T),D2∈Cs(T).?x,y,z∈T, 有

[[D1,D2](x),y,z]=[D1D2(x),y,z]-[D2D1(x),y,z] =δkD1([D2(x),y,z])-δsD2([D1(x),y,z]) =δk+sD1D2([x,y,z])-δk+sD2D1([x,y,z]) =δk+s[D1,D2]([x,y,z]).

類似有[x,[D1,D2](y),z]=δk+s[D1,D2]([x,y,z])=[x,y,[D1,D2](z)].

故[D1,D2]∈Ck+s(T),C(T) 是End(T)的子代數(shù).

2)設(shè)D1∈ZDer(T),D2∈Derk(T).?x,y,z∈T, 有

[[D1,D2]([x,y,z])]=D1D2([x,y,z])-D2D1([x,y,z])=0

且

[D1,D2](x),y,z]=[(D1D2-D2D1)(x),y,z] =[D1(D2(x)),y,z])-δkD2([D1(x),(y),z])+[D1(x),D2(y),z]+ [D1(x),y,D2(z)]=0.

故[D1,D2]∈ZDer(T),ZDer(T) 是Der(T)的理想.

命題2.2 設(shè)T是δ-李三系, 若T有平凡中心, 則C(T)是GDer(L)的交換子代數(shù).

證明 由命題2.1 知C(T)是GDer(T)的子代數(shù). 設(shè)D1∈Ck(T),D2∈Cs(T),x,y,z∈T, 我們有[D1D2(x),y,z]=[x,D2D1(y),z]=[x,y,D1D2(z)]=[D2D1(x),y,z], 故[(D1D2-D2D1)(x),y,z]=0. 又T中心為0, 得[D1,D2](x)=0. 因此,[D1,D2]=0. 則結(jié)論成立.

引理2.1 設(shè)T是δ-李三系, 則下面結(jié)論成立:

1)[Der(T),C(T)]?C(T).

2)[QDer(T),QC(T)]?QC(T).

3)D(Der(T)) ?Der(T),?D∈C(T).

4)C(T)?QDer(T).

5)[QC(T),QC(T)]?QDer(T).

6)QDer(T)+QC(T)=GDer(T).

證明1)設(shè)D1∈Derk(T),D2∈Cs(T),?x,y,z∈T, 有

[D1D2(x),y,z]=δkD1([D2(x),y,z])-[D2(x),D1(y),z]-[D2(x),y,D1(z)] =δk+sD1D2([x,y,z])-[x,D2D1(y),z]-[x,y,D2D1(z)]

且

[D2D1(x),y,z]=δsD2(δkD1([x,y,z])-[x,D1(y),z]-[x,y,D1(z)]) =δk+sD2D1([x,y,z])-[x,D2D1(y),z]-[x,y,D2D1(z)],

故[[D1,D2](x),y,z]=δk+sD1D2([x,y,z])-δk+sD2D1([x,y,z])=δk+s[D1,D2]([x,y,z]).

同理,

[[D1,D2](x),y,z]=[x,[D1,D2](y),z]=[x,y,[D1,D2](z)].

因此,[D1,D2]∈Ck+s(T), 于是有[Der(T),C(T)]?C(T).

2)證明類似1).

3)設(shè)D1∈Ck(T),D2∈Ders(T),?x,y,z∈T, 有

D1D2[x,y,z]=δsD1([D2(x),y,z])+[x,D2(y),z]+[x,y,D2(z)]) =δk+s[D1D2(x),y,z]+δk+s[x,D1D2(y),z]+δk+s[x,y,D1D2(z)],

因此D1D2∈Derk+s(T). 則結(jié)論成立.

4)設(shè)D∈QC(T),?x,y,z∈T, 有[D(x),y,z]=[x,D(y),z]=[x,y,D(z)].因此,

[D(x),y,z]+[x,D(y),z]+[x,y,D(z)]=3δkD[x,y,z].又D′=3δkD∈End(T),故D∈QDer(T).

5)設(shè)D1,D2∈QC(T),?x,y,z∈T, 有

[[D1,D2](x),y,z]+[x,[D1,D2](y),z]+[x,y,[D1,D2](z)] =[D1D2(x),y,z]+[x,D1D2(y),z]+[x,y,D1D2(z)]- [D2D1(x),y,z]-[x,D2D1(y),z]-[x,y,D2D1(z)]

且

[D1D2(x),y,z]=[D2(x),D1(y),z]=[x,D2D1(y),z],

[D1D2(x),y,z]=[D2(x),y,D1(z)]=[x,y,D2D1(z)].

因此,

[[D1,D2](x),y,z]+[x,[D1,D2](y),z]+[x,y,[D1,D2](z)]=0,

即[D1,D2]∈QDer(T).

6)易見QDer(T)+QC(T)?GDer(T).

另一方面, 若D∈GDerk(T), 則存在D′,D″,D?∈End(T) 使得

δk[D(x),y,z]+δk[x,D(y),z]+δk[x,y,D″(z)] =D([x,y,z]),?x,y,z∈T.

(1)

由

-δδk[D(x),y,z]-δδk[x,D′(y),z]-δδk[x,y,D″(z)]= -δD?([x,y,z])

知

δk[D′(y),x,z]+δk[y,D(x),z]+δk[y,x,D″(z)]=D?([y,x,z]),

即

δk[D′(x),y,z]+δk[x,D(y),z]+δk[x,y,D(z)]=D?([x,y,z]).

(2)

故D′ ∈ GDerk(T).

則

δk[D′(x),y,z]+δk[x,D(y),z]+δk[x,y,D″(z)]=D?([x,y,z]),

故

利用

得到

下面兩個(gè)引理的證明與李三系的證明類似, 故省略.

引理2.2 設(shè)T是δ-李三系,I是T的理想,則ZT(I)是T的理想.特別地,Z(T)=ZT(T)與Z(I)=ZI(I) 是T的理想.

引理2.3 設(shè)T是δ-李三系,且T可分解為兩個(gè)理想的直和,即T=A⊕B.則下面結(jié)論成立：

1)Z(T)=Z(A)⊕Z(B).

2)若Z(T)=0, 則Der(T)=Der(A)⊕Der(B).

命題2.3 設(shè)δ-李三系T可分解為兩個(gè)理想的直和(即T=A⊕B)且Z(T)=0, 則下面結(jié)論成立:

1)GDer(T)=GDer(A)⊕GDer(B).

2)QDer(T)=QDer(A)⊕QDer(B).

3)C(T)=C(A)⊕C(B).

4)QC(T)=QC(A)⊕QC(B).

證明1)設(shè)D′∈GDerk(A), 在T上定義線性變換D′(a+b)=D′(a),?a∈A,b∈B. 顯然,D′∈GDerk(T),GDer(A)?GDer(T). 同理,GDer(B)?GDer(T).設(shè)a∈A,b1,b2∈B,D∈Derk(T), 有

[D(a),b1,b2]=δkD([a,b1,b2])-[a,D(b1),b2]-[a,b1,D(b2)] = -[a,D(b1),b2]-[a,b1,D(b2)]∈A∩B={0}.

設(shè)D(a)=a′+b′, 其中a′∈A,b′∈B, 則

0=[D(a),b1,b2]=[a′,b1,b2]+[b′,b1,b2],

故[b′,b1,b2]=0和b′∈Z(B). 又Z(T)=Z(A)⊕Z(B),b′=0, 因此D(a)=a′∈A, 即D(A) ?A. 同理,D(B)?B.

設(shè)D∈GDer(T),x=a+b∈A+B, 其中a∈A,b∈B. 定義E,F∈End(T) 滿足E(a+b)=D(a),F(a+b)=D(b), 則E∈GDer(A),F∈GDer(B), 故D=E+F∈GDer(A)+GDer(B). 又GDer(A)∩Ger(B)={0}, 因而有GDer(T) = GDer(A)GDer(B).

設(shè)E∈GDer(A),F∈GDer(B),b∈B, 則[E,D](b)=(ED-DE)(b)=0. 因此[E,D]∈GDer(A), GDer(A)?GDer(T). 同理, GDer(B)?GDer(T).

2),3),4)證明方法類似1).

命題2.4 設(shè)T是δ-李三系T, 則QC(T)+[QC(T),QC(T)]是GDer(T)的子代數(shù).

證明 由引理2.1 的5)和6), 得QC(T)+[QC(T),QC(T)]?GDer(T) 且

[QC(T)+[QC(T),QC(T)],QC(T)+[QC(T),QC(T)]] ?[QC(T)+QDer(T),QC(T)+[QC(T),QC(T)]] ?[QC(T),QC(T)]+[QC(T),[QC(T),QC(T)]]+[QDer(T),QC(T)]+ [QDer(T),[QC(T),QC(T)]].

由李代數(shù)的Jacobi恒等式，容易驗(yàn)證[QDer(L),[QC(L),QC(L)]]?[QC(L),QC(L)].因而

[QC(L)+[QC(L),QC(L)],QC(L)+[QC(L),QC(L)]]?QC(L)+[QC(L),QC(L)].

因此結(jié)論成立.

定理2.2 設(shè)T是δ-李三系, 則[C(T),QC(T)]?End(T,Z(T)). 特別地, 若Z(T) = {0},則[C(T),QC(T)] = {0}.

證明 設(shè)D1∈Ck(T),D2∈QC(T),?x,y,z∈T, 有

[[D1,D2](x),y,z]=[D1D2(x),y,z]-[D2D1(x),y,z] =δkD1([D2(x),y,z])-[D1(x),D2(y),z] =δkD1([D2(x),y,z]-[x,D2(y),z]) = 0.

因此[D1,D2](x)∈Z(T),[D1,D2]∈End(T,Z(T)).

若Z(T)={0},易知[C(T),QC(T)]={0}.

定義2.6 設(shè)T是域F上的代數(shù), 若乘積運(yùn)算滿足下面等式:

x·y=y·x,

(((x·y)·w)·z-(x·y)·(w·z))+(((y·z)·w)·x-(y·z)·(w·x))

+(((z·x)·w)·y-(z·x)·(w·y)) = 0,?x,y,z,w∈T,

則稱T為Jordan代數(shù).

易證下列兩個(gè)命題：

命題2.5 設(shè)T是δ-李三系, 運(yùn)算定義為D1·D2=D1D2+D2D1,?D1,D2∈End(T),

則(End(T),*) 是Jordan代數(shù).

命題2.6 設(shè)T是δ-李三系, 其運(yùn)算為D1·D2=D1D2+D2D1,?D1,D2∈QC(T),則QC(T)是Jordan代數(shù).

定理2.3 設(shè)T是F上的δ-李三系, 則下列結(jié)論成立：

1)若域F的特征不等于2,則QC(T)是李代數(shù)[D1,D2]=D1D2-D2D1當(dāng)且僅當(dāng)QC(T)是結(jié)合代數(shù).

2)若域F的特征不等于3且Z(T)={0}, 則QC(T) 是李代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)[QC(T),QC(T)]={0}.

證明1 ) 任取D1,D2∈QC(T), 有D1D2∈QC(T),D2D1∈QC(T), 故[D1,D2]=D1D2-D2D1∈QC(T). 因此,QC(T) 是李代數(shù).

2)設(shè)D1,D2∈QC(T),?x,y,z∈T, 則QC(T) 是李代數(shù)且[D1,D2]∈QC(T), 因此

[[D1,D2](x),y,z]=[x,[D1,D2](y),z]=[x,y,[D1,D2](z)].

由引理2.1 的5) 知

[[D1,D2](x),y,z]=-[x,[D1,D2](y),z]-[x,y,[D1,D2](z)].

因而3[[D1,D2](x),y,z]=0. 又域F的特征不等于3,則[[D1,D2](x),y,z]=0, 即[D1,D2]=0.另一方面的結(jié)論易證.

在線性代數(shù)里dim(V)=dim(Ker(A))+dim(Im(A))成立, 但是V=Ker(A)Im(A)一般不成立,下面引理給出它成立的一個(gè)條件:

引理2.4 設(shè)V是域F上的線性空間且它的線性映射A:V→V,f(u)是f的最小多項(xiàng)式且u2?f(u), 則V=Ker(A)Im(A).

證明 由A是線性映射和線性代數(shù)理論可知dim(V)=dim(Ker(A))+dim(Im(A)).由u2?f(u) ,則存在多項(xiàng)式g(u)及a,b∈F滿足f(u)=u2g(u)+au+b,a≠0或b≠ 0.

當(dāng)b≠0時(shí),f(A)=A2g(A)+aA+bid=0,故A(Ag(A)+aid)=-bid, 則A是可逆的, 因此Ker(A)={0}.

當(dāng)b=0且a≠0時(shí),有f(A)=A2g(A)+aA. 此時(shí)我們只需證明Ker(A)∩Im(A) = {0}.事實(shí)上, ?x∈Ker(A)∩Im(A),A(x)=0且存在x′∈V滿足A(x′)=x. 故f(A)(x′)=A2g(A)(x′)+aA(x′),于是aA(x′)=ax=0.由于a≠0,故x=0. 則結(jié)論成立.

命題2.7 設(shè)T是F上的δ-李三系且D∈C(T), 則

1)Ker(D)和Im(D)是T的理想.

2) 若T是不可分解的(即不能分解成兩個(gè)真理想的直和),C(T)由半單元構(gòu)成,D∈C(T)且D≠0. 設(shè)D的最小多項(xiàng)式f(u)滿足u2?f(u), 則C(T) 是域.

證明1)由D∈Ck(T),?x∈Ker(D),y,z∈T, 故D[x,y,z]=δk[D(x),y,z]=0,即[x,y,z]∈Ker(D).

又任取x∈Im(D),存在x′∈T使得x=D(x′),故[x,y,z]=[D(x′),y,z]=δkD[x′,y,z]∈Im(D).

2)由引理2.4 知T=Ker(D)⊕Im(D). 又T是不可分解的, 則Ker(D) = {0}, Im(D)=T, 即D是可逆的. 顯然id∈C(T). 若存在D1≠0,D2≠ 0,D1,D2∈C(T), 使得D1D2=0,則D1=D2=0, 矛盾. 故C(T) 沒有非零的零因子. 顯然,D1D2=D2D1,?D1,D2∈C(T).因而C(T) 是域.

定理2.4 設(shè)T是F上的δ-李三系且Z(T) = {0}. 若D∈QC(T)且D的最小多項(xiàng)式f(u)滿足u2?f(u), 則T=Ker(D)⊕Im(D).

證明 由引理2.4 知存在向量空間的直和分解T=Ker(D)Im(D). 顯然,

[Ker(D),D(T),T]=[D(Ker(D)),T,T]={0}

且

[T,D(T),Ker(D)]=[T,T,D(Ker(D))]={0},

故Ker(D)?ZT(Im(D)),Im(D)?ZT(Ker(D)).

又ZT(Im(D))∩ZT(Ker(D)) =Z(T) = {0}, 則

Ker(D)=ZT(Im(D)),Im(D)=ZT(Ker(D)).

易見[[Ker(D),T,T],Im(D),T]=[T,Im(D),[Ker(D),T,T]]={0}, 則

[Ker(D),T,T]?ZT(Im(D))=Ker(D).

由

[[Im(D),T,T],Ker(D),T]=[T,Ker(D),[Im(D),T,T]] = {0}

可得

[Im(D),T,T]?ZT(Ker(D))=Im(D).

因此Ker(D),Im(D)是T的理想,從而結(jié)論成立.

推論2.1 設(shè)T是代數(shù)閉域F上的不可分解的δ-李三系, 且Z(T)=0與D∈QC(T)是半單的, 則D∈ZC(T)(GDer(T)).

證明 設(shè)D∈QC(T), 由F是代數(shù)閉域知D存在特征值λ∈F, 記它的特征子空間為Eλ(D), 易見(D-λid)∈QC(T) 且Ker(D-λid)=Eλ(D)≠0. 由定理2.4 及D是半單元,知Ker(D-λid)是T的理想, 故Ker(D-λid)=T, 即D=λid∈C(T) 且[D,GDer(T)]={0},從而結(jié)論成立.

[x?ti,y?tj,z?tk]=[x,y,z]?ti+j+k,?x,y,z∈T,i,j,k∈{1,3}.

證明 ?x,y,z,u,v∈T且i,j,k,m,n∈{1,3}, 有

[x?ti,y?tj,z?tk]=[x,y,z]?ti+j+k=-δ[y,x,z]?ti+j+k=-δ[y?tj,x?t,z?tk],

[x?ti,y?tj,z?tk]+[y?tj,z?tk,x?ti]+[z?tk,x?ti,y?tj] =[x,y,z]?ti+j+k+[y,z,x]?ti+j+k+[z,x,y]?ti+j+k=([x,y,z]+[y,z,x]+[z,x,y])?ti+j+k=0,

且

[x?ti,y?tj,[z?tk,u?tm,v?tn]] =[x,y,[z,u,v]]?ti+j+k+m+n=([[x,y,z],u,v]+[z,[x,y,u],v]+δ[z,u,[x,y,v]])?ti+j+k+m+n=[[x?ti,y?tj,z?tk],u?tm,v?tn]+[z?tk,[x?ti,y?tj,u?tm],v?tn]+δ[z?tk,u?tm,[x?ti,y?tj,v?tn]].

因此T是δ-李三系.

簡(jiǎn)記x?t(x?t3)為xt(xt3). 若U是T的子空間且滿足T=U⊕[T,T,T], 那么

φ(D)(at+ut3+bt3)=D(a)t+D′(b)t3,

其中D∈QDer(T), 且a∈T,u∈U,b∈[T,T,T].

1)φ是單射且φ(D)不依賴于D′的選取.

對(duì)于D∈QDerk(T), 有D″,使得φ(D)(at+ut3+bt3)=D(a)t+D″(b)t3, 且[D(x),y,z]+[x,D(y),z]+[x,y,D(z)]=δkD″([x,y,z]),

故D′([x,y,z])=D″([x,y,z]),即D′(b)=D″(b).

因此φ(D)(at+ut3+bt3)=D(a)t+D′(b)t3=D(a)t+D″(b)t3, 即φ(D) 只依賴于D的選取.

φ(D)([xt,yt,zt])=δk[φ(D)(xt),yt,zt]+δk[xt,φ(D)(yt),zt]+δk[xt,yt,φ(D)(zt)].

?x,y,z∈T, 有

φ(D)([xt,yt,zt])=φ(D)([x,y,z]t3=D′([x,y,z])t3=δk([D(x),y,z]+[x,D(y),z]+[x,y,D(z)])t3=δk[D(x)t,yt,zt]+δk[xt,D(y)t,zt]+δk[xt,yt,D(z)t] =δk[φ(D)(xt),yt,zt]+δk[xt,φ(D)(yt),zt]+δk[xt,yt,φ(D)(zt)].

直接驗(yàn)證知f是線性映射.

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(編校：曾福庚)

Generalized Derivations of δ-Lie Triple Systems

PENG Jian-rong, CHEN Liang-yun

(School of Mathematics and Statistics,Northeast Normal University,Changchun,130024,China)

δ-Lie triple systems; generalized derivations; quasiderivations; centroids

2016-03-10

國家自然科學(xué)基金(11471090, 11171055)

彭建容(1987-),女，四川廣安人，東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2013級(jí)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生，研究方向?yàn)槔畲鷶?shù).

陳良云(1972-)，男, 四川廣安人，東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授, 博士, 博士生導(dǎo)師,研究方向?yàn)槔畲鷶?shù).

O152.5

A

1008-6722(2016) 02-0001-09

10.1 3307/j.issn.1 008-6722.2 016.02.01