平行軸圓柱副接觸分析

田紅亮,陳甜敏,鄭金華,余媛,張屹,趙春華

(三峽大學機械與動力學院,443002,湖北宜昌)

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平行軸圓柱副接觸分析

田紅亮,陳甜敏,鄭金華,余媛,張屹,趙春華

(三峽大學機械與動力學院,443002,湖北宜昌)

將古典赫茲理論與現代Majumdar-Bhushan模型相結合,建立了兩圓柱分形接觸模型。考慮結合部虛擬材料厚度,以及引入圓柱接觸面積比,對兩圓柱線高副矩形接觸面進行了受力分析。數值仿真表明:圓柱接觸面積比不大于1;外接觸時圓柱接觸面積比小于內接觸時;增加總載荷或減小結合部虛擬材料厚度都將增大圓柱接觸面積比;外接觸時實際接觸面積小于內接觸時;實際接觸面積隨著分形粗糙度、材料硬度或結合部虛擬材料厚度的增加而減小;隨著分形粗糙度的增加,產生特定實際接觸面積所需要的總載荷增加,微凸體變形量增大;對于給定總載荷,當分形維數從1.4增加到1.5時,實際接觸面積相應增大,但當分形維數從1.5增加到1.9時,實際接觸面積轉而減小;內接觸時的赫茲應力小于外接觸時的赫茲應力。該研究結果可為進一步研究圓柱齒輪傳動的齒面接觸疲勞強度計算提供參考。

機械設計;結合部;分形接觸;虛擬材料;圓柱;線高副

機械系統中各零件之間力的傳遞總是通過兩零件的接觸來實現的。當前描述、表達與分析兩接觸物體接觸行為的2種主要解算方法,一種是側重考慮兩接觸物體宏觀因素的古典赫茲理論[1],另一種是重點考察兩接觸物體微觀因素的現代Majumdar-Bhushan模型[2](以下簡稱MB模型)。

古典赫茲理論采用彈性力學,考慮兩接觸物體的宏觀因素(如零件初始接觸線處的曲率半徑,球或圓柱的曲面形狀,外接觸或內接觸的接觸方式),可以給出線接觸時的接觸壓應力計算公式。接觸壓應力是機械零件接觸疲勞強度計算的基礎應力,古典赫茲理論首先解決了接觸壓應力計算問題,但卻沒有考慮兩接觸物體的微觀因素(如接觸表面處的微觀幾何學形貌,表面粗糙度)對接觸壓應力的影響,不能精確計算精密測試儀器的接觸壓應力。

MB模型依據分形理論,計及了兩接觸物體的微觀因素(如接觸表面處的微觀幾何學形貌,分形維數D,分形粗糙度G),能夠推導出兩粗糙平面接觸時的總法向接觸載荷、實際接觸面積的計算公式,但MB模型沒有考慮兩接觸物體的宏觀因素(如零件初始接觸線處的曲率半徑,曲面形狀,接觸方式)對實際接觸面積的影響,也不能準確計算兩曲面接觸后的實際接觸面積。目前尚未見到從理論上精準計算兩粗糙曲面接觸時實際接觸面積的文獻。

機械加工工藝路線(如金屬的冷加工、熱加工、普通熱處理、表面熱處理、粗機械加工、精機械加工)、材料屬性(如彈性模量、泊松比、交貨狀態布氏硬度HB、最初屈服強度σy)及所受外載荷均相同的零部件互相接觸時,如果零部件的微觀幾何學形貌、表面粗糙度、曲面弧的彎曲程度(用曲率度量)與接觸方式相異,則零部件的彈塑性變形與兩零件間接觸受力后的壓應力亦皆相異。假如完全根據古典赫茲理論研究接觸問題,就無法區別微觀幾何學形貌與表面粗糙度相異的情況。假設純粹按照MB模型探討接觸問題,同樣不能區別曲面弧彎曲程度和接觸方式不同的情況。

早在1881年,赫茲首先用數學和彈性力學方法推導出了點接觸問題的計算公式。1882年,為解決線接觸問題,赫茲發表了經典論文《論彈性固體的接觸》,隨后通過實驗驗證了他的理論公式的正確性,從而開創了接觸力學這門學科。此后,人們從宏觀到微觀、從現象到本質,通過理論分析和試驗測試,對機床系統中各種典型結合部的作用機理進行了大量研究,并取得了相應的研究成果。Majumdar等利用Weierstrass-Mandelbrot分形函數,提出了具有尺度獨立性的粗糙表面彈塑性接觸分形模型,通過描述粗糙表面的2個重要表征參數和一些工程參數,推導出了法向載荷的表達式[3],但是沒有考慮切向接觸,忽略了彈、塑性轉變帶來的加工硬化,硬度隨表面深度的變化,以及變形微凸體間的摩擦力。針對MB模型中最大彈性微接觸點的面積偏大的不足,Wang等做了相應的改進:第一,提出了擴展分形函數;第二,區分了實際微接觸面積與微接觸截面積,給出了它們之間的關系式,通過定義一個擴展非零域、一個域擴展系數和一個域分開系數,求得了更為合理的微接觸擴展概率分布密度[4-7]。Horng建立了橢圓拋物面微凸體彈塑性接觸模型,推導出了彈性接觸面積、彈性接觸載荷、塑性接觸面積、塑性接觸載荷與干涉量、橢圓離心率的通用關系,以及臨界干涉量、塑性指數與橢圓離心率、橢圓平均有效半徑、橢圓等效半徑的關系[8]。但是,上述文獻[2-8]都有一個共同的問題,即均為主要針對兩平面接觸表面的載荷承載分析,而對于不同形狀的曲面接觸體的載荷,則不能正確分析。

古典赫茲理論與MB模型各有優、缺點,二者可以互補。本文對兩圓柱線高副接觸時形成的矩形接觸區域進行受力分析,在分析過程中,試圖把古典赫茲理論與MB模型相結合,將兩平面接觸推廣到兩圓柱曲面接觸,使所建立的模型更具通用性與實用性。

1 兩圓柱接觸受力后的實際接觸面積

2個軸線平行的圓柱作外或內接觸,圓柱的初始接觸線長度為b。受力前,兩圓柱沿與軸線相平行的一條線相接觸。受力后,作用在軸向長度b上的徑向壓縮均勻分布總載荷為F,則作用在單位軸向長度上的壓縮載荷(稱為載荷集度)為

q=F/b

(1)

受力后,因為材料發生了彈性變形,接觸線變成寬度為2a、長度為b的一個矩形面。半接觸寬度a的表達式[9]為

(2)

式中:E為綜合彈性模量,r為綜合曲率半徑,并且滿足

(3)

(4)

其中E1、E2分別為小圓柱和大圓柱材料的彈性模量,μ1、μ2分別為小圓柱和大圓柱材料的泊松比,r1、r2分別為小圓柱、大圓柱初始接觸線處的曲率半徑,±表示接觸方式,正號用于外接觸,負號用于內接觸。

上述矩形面的面積即為實際接觸面積,計算公式為

Ar=b2a

(5)

將式(2)代入式(5)得

(6)

將式(1)代入式(6)得

(7)

將式(4)代入式(6)得

(8)

2 圓柱接觸面積比

圓柱表面包括圓柱面、頂面和底面。兩圓柱面的面積和差為

MΣ=M2±M1=2π(r2±r1)b

(9)

式中:M1、M2分別為小圓柱面和大圓柱面的面積。

Mandelbrot在研究地球表面的幾何形貌時發現,面積A超過一定值a的海洋面上的島嶼數N與a之間滿足冪律關系[10]

N(A>a)～a-D/2

(10)

式中:符號“～”表示正比。

在MB模型中,島嶼數

(11)

式中:aL為最大島嶼的面積。

接觸點的概率分布密度為

(12)

文獻[10]指出:在MB分形模型中,n(a)的求解需要假設兩接觸體在無限平面里接觸,或相對各個微突體來說為無限接觸。很顯然,當接觸的2個曲面為非無限接觸時,接觸時所形成的接觸點的總數N將有所變化。假設隨著接觸面的增大,兩接觸體的接觸點數會增加,但其值小于或等于a-D/2(正確的表達式應為(aL/a)D/2,由式(10)與式(11)知文獻[10]將符號“～”等同于符號“=”)。因此,兩接觸體的理論接觸面積對N的大小有影響。

當兩曲面完全內接觸時,為式(11)所描述的情況。當兩曲面一般接觸時,N滿足

(13)

式中:λ為圓柱接觸面積比。可見,式(13)與文獻[10]中的式(4)——N(A>a)=λa-D/2不同。

文獻[10]認為,由于接觸數N是指數函數形式(正確的說法應為冪函數形式,因為由式(12)知a是變量),因此設λ亦為指數函數形式(正確的說法亦應為冪函數形式)。多數文獻都假定結合部的質量為0,即結合部的厚度為0,但是結合部的厚度對結合部的特性是有影響的[11-12]。設結合部虛擬材料的厚度為h,考慮兩圓柱的半徑與接觸方式,可構建圓柱接觸面積比

(14)

將式(9)和式(7)代入式(14)得

(15)

式中:λ0為圓柱初始接觸面積比,并且有

(16)

將式(4)代入式(16)得

(17)

可見,式(17)不同于文獻[10]中的式(10)

將內接觸形式中的式(4)代入式(15)得

(18)

(19)

將右極限

(20)

代入式(19),可得內接觸時

(21)

即當兩圓柱大小相同、內接觸時,兩圓柱完全接觸,式(13)退變成式(11),此時的情況與MB模型的建模條件相同。

3 兩圓柱接觸受力后的壓縮總載荷

由式(14)易見

λ≤1

(22)

在總法向接觸載荷P作用下,兩粗糙表面為平面接觸時,產生實際接觸面積Ar。若將這2個粗糙表面彎曲成2個圓柱,當這2個圓柱為線接觸時如果也產生相同的實際接觸面積Ar,則此時兩圓柱受徑向壓縮均勻分布總載荷F。通過平面接觸構成平面低副,通過單一線接觸形成線高副,故下面不等式成立

P≤F

(23)

分析式(22)與式(23),可令

P=λF

(24)

將式(15)代入式(24)得

(25)

MB模型可求解兩粗糙表面為平面接觸時的總法向接觸載荷P,P的歸一化形式即是兩粗糙平面接觸理論中的改進MB模型載荷公式[13-17]

(26)

將式(26)代入式(25),可得F的歸一化形式為

(27)

4 兩圓柱接觸受力后的赫茲應力

作用在-a≤x≤a長條上的法向壓應力為

(28)

首先注意到法向壓應力在整個接觸區必須是非負的,即

(29)

-a≤x≤a

(30)

為使不等式(30)恒成立,且兩圓柱不被壓潰而使連接失效,q或F(見式(1))不可能取值太大,再根據式(15),能保證不等式(22)成立,故可選較小值

(31)

式(31)與式(2)一致。由式(31)得

(32)

將式(32)代入式(28)得

(33)

函數p(x)在區間[-a,a]上的平均值(即平均法向壓應力)為

(34)

將式(1)代入式(34)得

(35)

可見,兩圓柱接觸受力后,由于材料的彈性變形,接觸區域是長為b、寬為2a的一個矩形。由式(33)可看出,接觸表面上所承受的法向壓應力是處處不相同的,其分布呈半橢圓柱形。初始接觸線處的法向壓應力最大,以此最大法向壓應力代表兩零件間接觸受力后的應力,稱為接觸應力或赫茲應力,表示為

(36)

將式(36)除以式(34)得

(37)

將式(2)代入式(36)得

(38)

將式(1)代入式(38)得

(39)

5 兩圓柱接觸受力的數值模擬

2個圓柱的材料均為含碳質量分數0.45%的中碳調質45鋼,彈性模量E1=E2=206GPa,泊松比ν1=ν2=0.3,最初屈服強度σy=550MPa,交貨狀態布氏硬度HB=700MPa,初始接觸線長度b=50mm,大圓柱半徑r2=100mm(文獻[10]中大圓柱半徑R1為1 000N有誤,此外,取G=10×10-5也不合理)。

5.1 圓柱接觸面積比的變化

圖1給出了圓柱接觸面積比的演化規律。圖1a～1e都反映出2個共性規律:①圓柱接觸面積比總是小于或等于1;②外接觸時圓柱接觸面積比小于內接觸時的比率。

(a) h=1 mm與F=1 kN時小圓柱 (b) h=1 mm與r1=60 mm時總載荷 (c) h=1 mm與r1=r2時總載荷 半徑對接觸面積比的影響 對接觸面積比的影響 對接觸面積比的影響

(d) F=1 kN與r1=60 mm時結合部虛擬 (e) F=1 kN與r1=r2時結合部虛擬 材料厚度對接觸面積比的影響 材料厚度對接觸面積比的影響

從圖1a可見:λ隨著r1的增加而增大;當r1→0時,λ→0,因為此時沒有物體與從動大圓柱接觸;當r1→r2且兩圓柱為外接觸時,λ<1;當r1→r2且兩圓柱為內接觸時,λ→1,因為此時兩圓柱處處徹底內接觸。

從圖1b可見:λ隨著F的增加而增大;當100N≤F≤1 000N時,在此大范圍內λ收斂于某一定值,外接觸時λ→0.770 9,內接觸時λ→0.950 1;當0≤F≤100N時,在此小范圍內λ很快從0增加到該定值。

圖1c的演化規律與圖1b類似,但內接觸時的λ恒等于1,因為此時r1=r2,對于內接觸是一種極限情況,兩圓柱處處完全內接觸,只要提供很小的外載荷F,λ就會立即從0增大到1。

從圖1d可見,λ隨著h的增加而線性衰減,當h=0時,λ=1。圖1e的演化規律與圖1d相似,但在內接觸時λ恒等于1。

由圖1b與1c可以看出, 當F=0時,

λ始終等

于0,因為對于任一正數x,0x=0,由式(15)可知F=0時λ=0,這不同于文獻[10]中的結論“當F→0時,不論在外接觸或內接觸時,λ都達到最小值,但并不等于0,原因是盡管此時兩接觸體間的接觸應力為0,但由于接觸實體的存在,接觸系數亦是存在的”。

5.2 實際接觸面積的變化

圖2給出了當h=1mm時實際接觸面積的演化規律。圖2a～2e皆能夠說明以下3個共性規律:①本文的圓柱模型曲線位于MB模型曲線的下方;②在相同總載荷下,圓柱模型的實際接觸面積比MB模型的小;③在產生相同實際接觸面積的情況下,圓柱模型需要施加的總載荷比MB模型的大。

從圖2a可見:不論是外接觸還是內接觸,同種接觸方式的實際接觸面積隨著r1的增加而增加;外接觸時的實際接觸面積比內接觸時的小。

從圖2b可見:實際接觸面積隨著分形粗糙度的增加而減小;隨著分形粗糙度的增加,產生特定實際接觸面積所需要的總載荷增加,這是因為分形粗糙度增加時法向變形量增加,因此總載荷增加。

(a) D=1.5與G*=10-8時小圓柱 (b) D=1.5與r1=15 mm時分形 (c) G*=10-10與r1=15 mm時分形 半徑對實際接觸面積的影響 粗糙度對實際接觸面積的影響 維數對實際接觸面積的影響

(d) D=1.5、G*=10-10與r1=15 mm時 (e) D=1.5、G*=10-8與r1=15 mm時結合部 硬度對實際接觸面積的影響 虛擬材料厚度對實際接觸面積的影響

從圖2c可見:對于給定的總載荷,當分形維數從1.4增加到1.5時,實際接觸面積相應增加,而當分形維數從1.5增加到1.9時,實際接觸面積轉而減小。

硬度是定量表征材料軟硬程度的一種物理參量,通常材料的硬度會隨著距表面的深度而改變,不是一個恒定值。材料的布氏硬度HB對實際接觸面積的影響如圖2d所示,可見實際接觸面積隨著材料硬度的增加而減小。

結合部虛擬材料厚度對實際接觸面積的影響如圖2e所示,可見實際接觸面積隨著結合部虛擬材料厚度的增加而減小。

5.3 赫茲應力的變化

圖3給出了當h=1mm、P=1kN時赫茲應力的演化規律:在同種接觸方式下,本文方法計算的赫茲應力大于赫茲理論的計算值;隨著r1的增加,赫茲應力下降;內接觸時的赫茲應力小于外接觸時的赫茲應力。

圖3 小圓柱半徑對赫茲應力的影響

6 結 論

(1)用術語“小圓柱面的面積”取代術語“公稱接觸面積”,更能直觀表達圓柱的幾何特征。

(2)圓柱接觸面積比不大于1,外接觸時的圓柱接觸面積比小于內接觸時的。圓柱接觸面積比隨著總載荷的增加或結合部虛擬材料厚度的減小而增大。

(3)外接觸時的實際接觸面積比內接觸時的小。實際接觸面積隨著分形粗糙度、硬度、結合部虛擬材料厚度的增加而減小。對于給定總載荷,當分形維數從1.4增加到1.5時,實際接觸面積相應增大;當分形維數從1.5增加到1.9時,實際接觸面積轉而減小。

(4)內接觸時的赫茲應力小于外接觸時的赫茲應力。

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(編輯 葛趙青)

Contact Analysis of Cylindrical Pair with Parallel Axes

TIAN Hongliang,CHEN Tianmin,ZHENG Jinhua,YU Yuan,ZHANG Yi,ZHAO Chunhua

(College of Mechanical and Power Engineering, China Three Gorges University, Yichang, Hubei 443002, China)

A fractal contact model between two cylinders was set up through combining classic Hertzian theory and modern Majumdar-Bhushan model. The force acting on the linear higher pair rectangular contact plane of two cylinders was analyzed considering the virtual material thickness of joint interface and introducing the cylindrical contact area ratio. Numerical simulation shows that the cylindrical contact area ratio is not greater than one, and the ratio of outer contact is less than that of inner contact. This cylindrical contact area ratio can be increased by increasing the total load or reducing the virtual material thickness of joint interface. The real contact area in exterior contact is less than that in interior contact. As the fractal roughness, material hardness or virtual material thickness of joint interface increases, the real contact area decreases. When the fractal roughness is increased, the total load required to produce a particular real contact area also increases, which results from the fact that an increase in fractal roughness implies an increase in asperity deformation, hence a higher load is required. As the fractal dimension is increased from 1.4 to 1.5, the real contact area first increases under a given total load. However, if the value of fractal dimension is increased from 1.5 to 1.9, the real contact area decreases. The Hertzian stress in internal contact is less than that in external contact. These results may provide a basis for the fatigue strength computation of gear surface contact in cylindrical gear transmission.

machine design; joint interface; fractal contact; virtual material; cylinder; linear higher pair

2015-08-03。 作者簡介:田紅亮(1973—),男,博士,副教授;張屹(通信作者),男,教授。 基金項目:國家自然科學基金資助項目(51275273)。

時間:2015-11-03

網絡出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20151103.1744.006.html

10.7652/xjtuxb201601002

TH113.1

A

0253-987X(2016)01-0008-08