《離散數(shù)學(xué)》課程案例教學(xué)研究

王寶麗，段惠琴

（運(yùn)城學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，山西運(yùn)城044000）

《離散數(shù)學(xué)》課程案例教學(xué)研究

王寶麗，段惠琴

（運(yùn)城學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，山西運(yùn)城044000）

文章探討了《離散數(shù)學(xué)》課程中案例教學(xué)的重要性，同時(shí)討論了離散數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問(wèn)題，并提出了以案例教學(xué)解決此類(lèi)問(wèn)題的方案，幫助學(xué)生掌握處理離散結(jié)構(gòu)所必需的描述工具和方法，為提高應(yīng)用型大學(xué)信息類(lèi)專(zhuān)業(yè)人才的培養(yǎng)質(zhì)量提供有益的參考。

應(yīng)用轉(zhuǎn)型；離散數(shù)學(xué)；案例教學(xué)；信息與計(jì)算科學(xué)

《離散數(shù)學(xué)》是研究離散量的結(jié)構(gòu)及其相互關(guān)系的一門(mén)學(xué)科，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，被應(yīng)用于計(jì)算機(jī)及相關(guān)領(lǐng)域。

案例教學(xué)是一種具有啟發(fā)性與實(shí)踐性的新型教學(xué)方法。目前，胡彥榮等對(duì)案例教學(xué)法在應(yīng)用型本科院校的影響因素進(jìn)行了深入分析，總結(jié)了現(xiàn)階段影響應(yīng)用型本科院校案例教學(xué)的主要有主客觀三個(gè)方面的因素：案例本身的選取、學(xué)生個(gè)體以及教師自身素質(zhì)。通過(guò)對(duì)這些影響因素的研究與調(diào)查分析，對(duì)實(shí)際教學(xué)提出了很好的建議[1]。蔡慶華等對(duì)大學(xué)計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)課中通過(guò)案例教學(xué)激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新性解決問(wèn)題的能力進(jìn)行分析，提出實(shí)用案例提高學(xué)生的計(jì)算機(jī)操作水平[2]。張國(guó)平等針對(duì)新建本科院校案例教學(xué)存在的困難和阻力，提出在課堂上要競(jìng)選案例，提高教師靈活運(yùn)用案例及調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與的教學(xué)管理機(jī)制[3]。

文章以離散數(shù)學(xué)課程的案例教學(xué)為研究對(duì)象，以《離散數(shù)學(xué)》課程中主析取范式教學(xué)案例的設(shè)計(jì)與應(yīng)用為示范，探討如何在課堂中多層次多視角展開(kāi)案例教學(xué)，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，實(shí)現(xiàn)教學(xué)效果的最優(yōu)化。

1　離散教學(xué)中存在的問(wèn)題及案例教學(xué)開(kāi)展

筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)的離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)中存在以下幾類(lèi)問(wèn)題。

（1）從學(xué)生角度來(lái)講，數(shù)學(xué)類(lèi)的信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生感覺(jué)離散數(shù)學(xué)不如數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)那樣具有系統(tǒng)的內(nèi)容，挑戰(zhàn)性題目少，感覺(jué)本課程與其他課程無(wú)關(guān)聯(lián)，因而對(duì)該門(mén)課程沒(méi)有太大的興趣。

（2）從傳統(tǒng)教學(xué)方法來(lái)看，教師利用“概念——實(shí)例”展開(kāi)教學(xué)，受課時(shí)量壓縮等方面因素的影響，教師一般在課堂上沒(méi)有過(guò)多的時(shí)間去分析一些綜合型的實(shí)例，教學(xué)模式以教為主，注重知識(shí)傳授而忽視應(yīng)用。

（3）從傳統(tǒng)的考核方式來(lái)看，作為一門(mén)專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，傳統(tǒng)考核方式是筆試70%基礎(chǔ)知識(shí)考核+30%的應(yīng)用，應(yīng)用型的題目也大部分來(lái)自于對(duì)教材內(nèi)容的改編，未能真正體現(xiàn)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用。

在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中我們的案例教學(xué)實(shí)施從以下幾點(diǎn)突破。

（1）精選教材，突出參考教材的作用。近年來(lái)，堅(jiān)持使用北大屈婉玲、耿素云及張立昂的教材，同時(shí)選購(gòu)國(guó)外離散數(shù)學(xué)教材，從外文教材中學(xué)習(xí)問(wèn)題導(dǎo)向、從問(wèn)題中來(lái)到問(wèn)題解決中去的思路，真正幫助學(xué)生樹(shù)立“學(xué)以致用”的理念。

（2）整理案例，體現(xiàn)各門(mén)學(xué)科的應(yīng)用。一方面，在與其他課程教師交流中了解離散基本知識(shí)在其中的重要作用；另一方面，在各類(lèi)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目中挖掘相關(guān)知識(shí)，以實(shí)例給出離散知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用。

如果說(shuō)王觀澄等中國(guó)傳統(tǒng)文人士大夫締造的“古典桃源盛世”被一場(chǎng)欲望的大火所吞噬，那么由大執(zhí)念而促成的千秋家國(guó)夢(mèng)在集體無(wú)意識(shí)的支配下，隨著歷史車(chē)輪的滾滾向前進(jìn)入到了20世紀(jì)五六十年代社會(huì)主義建設(shè)時(shí)期，遙遠(yuǎn)的無(wú)邊大夢(mèng)此時(shí)已經(jīng)在一種叫作共產(chǎn)主義的國(guó)家構(gòu)想中得以實(shí)現(xiàn)。如果說(shuō)格非在《人面桃花》中描述的是一個(gè)孩童還尚未進(jìn)入夢(mèng)鄉(xiāng)就已被雜亂的社會(huì)紛擾所激醒，那么《山河入夢(mèng)》就像是一個(gè)成人在經(jīng)歷了一朵開(kāi)花的夢(mèng)之后，承受著夢(mèng)醒后的悲愴與荒涼。

（3）通過(guò)案例教學(xué)促進(jìn)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和深入的應(yīng)用。課前整理的案例以形象的ppt形式展現(xiàn)，課中在導(dǎo)入部分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，課后在精品課程網(wǎng)站中附以提高性的題目以加深理解。這種全方位的案例滲透對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)建模思維的培養(yǎng)也起到了非常重要的作用。

（4）發(fā)動(dòng)學(xué)生集體智慧，搜集案例。為了讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，在期中給學(xué)生布置小論文，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決生活中的一個(gè)小問(wèn)題，這樣學(xué)生通過(guò)查找文獻(xiàn)、閱讀相關(guān)內(nèi)容，從而提升對(duì)內(nèi)容的理解。

2　主析取范式案例展現(xiàn)

下面將主析取范式教學(xué)中的案例內(nèi)容從導(dǎo)入案例、生活案例及高級(jí)應(yīng)用三個(gè)方面進(jìn)行分析。

2.1導(dǎo)入案例

具有n元命題公式具有無(wú)限個(gè)，遞歸定義可得到合法的合式公式，根據(jù)真值表的特點(diǎn)又知道所有的元命題公式的真值表具有22n個(gè)。這說(shuō)明了無(wú)限個(gè)公式按照是否等值可分為22n個(gè)類(lèi)，那如何將所有的公式進(jìn)行等值分類(lèi)，并選出一個(gè)規(guī)范的形式作為該類(lèi)的代表公式？主析取范式可用來(lái)解決確定等值分類(lèi)中規(guī)范代表公式的問(wèn)題。

這個(gè)導(dǎo)入案例以知識(shí)建構(gòu)的方式，提出將所有認(rèn)識(shí)的公式分類(lèi)找代表元問(wèn)題，在導(dǎo)入階段將上節(jié)的真值表、等值演算的知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)又引導(dǎo)出了課程講解內(nèi)容，起到了承上啟下的作用。

2.2生活案例

實(shí)際案例一：清明小長(zhǎng)假到來(lái)，一寢室的同學(xué)想結(jié)伴旅游，但是由于資金有限，僅能從可供選擇的三個(gè)旅游目的地A，B，C中選擇1-2個(gè)地方去旅游。由于時(shí)間及條件限制，目的地滿足的條件是：（1）若去A地，則也能去C地；（2）若去B地，則不能去C地；（3）若不去C地，則可以去A地或B地。問(wèn)該寢室的同學(xué)有幾種方案選擇？

解決思路：

首先進(jìn)行命題符號(hào)化：p為去A地，q為去B地，r為去C地。

將三個(gè)條件分別符號(hào)化，為（1）p→r；（2）q→┐r；（3）┐r→（p∨q）。這三個(gè)條件需同時(shí)滿足，因此三個(gè)條件用合取符號(hào)進(jìn)行連接得：（p→r）∧（q→┐r）∧（┐r→（p∨q））。

演算推理計(jì)算主析取范式：

故有3種旅行方案：去C地，不去A，B地；或者去B地，不去A，C地；或者去AC兩地，不去B地。

實(shí)際案例二：計(jì)算機(jī)中邏輯電路設(shè)計(jì)應(yīng)用。設(shè)計(jì)加法器，設(shè)有兩個(gè)n位的二進(jìn)制數(shù)a，b相加和為s，而a，b分別表示為：

其中s1是第i位上ai、bi與ci-1(ci-1是第i-1位向第i位的進(jìn)位)的和，顯然si完全由ai、bi與ci-1所確定，給定三者的八種取值，si就是確定的。所以我們將si與ai、bi與ci-1表示成真值表的形式。

表1　加法器真值表

根據(jù)真值表我們可求得由命題變?cè)猘i、bi與ci-1構(gòu)成的主析取范式，根據(jù)主析取范式，將否定對(duì)應(yīng)的取電路中的非門(mén)，合取對(duì)應(yīng)與門(mén)，析取對(duì)應(yīng)或門(mén)，即可設(shè)計(jì)加法器。

2.3高級(jí)應(yīng)用案例

粗糙集理論中的屬性約簡(jiǎn)的基本思想是刪除冗余的屬性，保留極小屬性集使之與所有屬性具有相同的分類(lèi)能力。給定下列信息系統(tǒng)，對(duì)象u1，u2，…，u5由五個(gè)屬性a，b，c，d，e所描述。實(shí)際上，屬性子集也可以描述對(duì)象并取得和原始系統(tǒng)一樣的分類(lèi)能力。

表2　一個(gè)信息系統(tǒng)

我們?cè)O(shè)discer（ui，ui）表示可以分辨ui，ui的屬性，這樣我們可得到一個(gè)5×5的矩陣，第i行第j列中的對(duì)象為discer（ui，ui）。對(duì)于表2中給定的信息系統(tǒng)，我們得到：

這樣，在矩陣DIS中，每個(gè)矩陣元素中的屬性之間具有析取關(guān)系，如discer（ui，ui）={a，c，d，e}表示屬性a或c或d或e可以分辨對(duì)象u1和u2。而矩陣中各個(gè)元素之間相對(duì)于區(qū)分能力的目標(biāo)來(lái)講是合取關(guān)系，因此我們可得到合取范式：

而簡(jiǎn)化系統(tǒng)的含義是保留的屬性不關(guān)心刪除屬性，因此進(jìn)一步將主析取范式簡(jiǎn)化可得不含否定的析取范式。這樣，整個(gè)信息系統(tǒng)可由a，b，c或者a，b，e所描述。

3　結(jié)束語(yǔ)

文章討論了信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)中存在的問(wèn)題及案例解決方案，同時(shí)以離散數(shù)學(xué)中主析取范式教學(xué)中分層次案例教學(xué)演示如何正確把握信息與計(jì)算科學(xué)的教學(xué)目標(biāo)，提高信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，以更好地滿足當(dāng)前時(shí)代應(yīng)用型人才的實(shí)際需求。

［1］胡彥榮，劉洪久.應(yīng)用型本科院校案例教學(xué)效果影響因素調(diào)查研究［J］.常熟理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，（6）:91-93.

［2］蔡慶華，江健生.大學(xué)計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)課程教學(xué)改革探討［J］.安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，17（1）:105-108.

［3］張國(guó)平.基于應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo)的管理案例教學(xué)方法探討［J］.常熟理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，（12）: 67-73.

［4］匡桂娟.主析取范式解析及其應(yīng)用［J］.中國(guó)校外教育，2008，（9）:67-67，82.

［5］張艷華，石少儉，曲志堅(jiān).校企合作形式下“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)改革［J］.山東理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，（2）:96-98.

（責(zé)任編輯趙巨濤）

Research of Case Teaching for Discrete Mathematics Course in Local Application-oriented Universities

Wang Bao-li,Duan Hui-qin
（Department of Applied Mathematics,Yuncheng University,Yuncheng Shanxi 044000）

In this paper,the importance of case teaching for Discrete Mathematics course is discussed to improve the learning initiative and specialized skills of university students.This study is also based on the social needs and special objective of personnel training.This paper investigates the problems that exist in the present teaching activities of Discrete Mathematics and also proposes case teaching,which helps the students to master the necessary tools and methods,and more important,provides references for improving the quality of the information talents.

application-oriented transformation；Discrete Mathematics；case teaching;information and calculation science

G642

A

1673-2014（2016）05-0066-03

運(yùn)城學(xué)院131領(lǐng)軍人才工程教學(xué)改革項(xiàng)目。

2016—06—12

王寶麗（1982—），女，山西夏縣人，講師，博士研究生，主要從事數(shù)據(jù)挖掘與管理決策研究。