關于實冪等矩陣性質的一些探討

韓凱凱

（長治學院數學系，山西長治046011）

關于實冪等矩陣性質的一些探討

韓凱凱

（長治學院數學系，山西長治046011）

實矩陣從幾何角度理解，可以看作歐氏空間到歐氏空間的線性變換。文章主要利用實矩陣的幾何意義，給出了實冪等矩陣一些性質的不同證明，并給出了實對稱冪等矩陣的一種刻畫。

實冪等矩陣；特征值；特征子空間

1　引言

從幾何角度理解，實矩陣可看作歐氏空間到歐氏空間的線性變換。文章主要利用實矩陣的幾何意義，區別于[2]中的證明方法，給出了實冪等矩陣性質的不同證明。并給出了實對稱冪等矩陣的一種刻畫。

為了方便，文章在實數域R中討論，記Mn（R）為實數域R上的全體n階矩陣組成的集合，記：

2　預備知識

定義1設A∈Mn（R），若A=A2，則稱A為實冪等矩陣。若A=A＇=A2，則稱A為實對稱冪等矩陣。

引理1設A=（α1，α2，…αn）∈Mn（R），αi是A的第i列組成的列向量（i=1，2，…，n），則：

（1）Ran（A）=L（α1，α2，…αn）；（Ran（A）表示A的值域）；

（2）rank（A）=dimRan（A）；

（4）Ran（A）的一組基的原象與Ker（A）的一組基構成Rn的一組基，并且rank（A）+dimKer（A）=n。

證明參看[1]。

引理2【1】對于任意一個n級實對稱矩陣A，都存在一個n級正交矩陣T，使T＇AT=T-1AT成對角形。

證明參看[1]。

引理3【2】設A∈Mn（R），則A為冪等矩陣（實對稱冪等矩陣）當且僅當En-A為冪等矩陣（實對稱冪等矩陣）。

證明由定義直接可得。

3　主要定理

定理1【2】設A為n級實冪等矩陣，則：

（1）A可對角化，并且A的特征值皆為0或1；

（2）A的特征值1的重數=rank（A），A的特征值0的重數=n-rank（A）；

（3）A的屬于1的特征子空間為L（α1，α2，…αn），其中A=（α1，α2，…αn）；A的屬于0的特征子空間為Ker（A）；

（4）rank（A）=tr（A）；

（5）rank（A）+rank（En-A）=n；反之，若滿足rank（A）+rank（En-A）=n，則A為實冪等矩陣。

證明：

（1）設A=（α1，α2，…αn），因為A2=A，故Aαi=αi（i=1，2，…，n）。設rank（A）=r，不妨設α1，α2，…αr線性無關，設βr+1，…，βn為Ker（A）的一組基。由引理1（4）知，α1，α2，…αr，βr+1，…，βn為Rn的一組基，且A在該組基下的矩陣為對角矩陣，對角線元素只有0和1，故A可對角化，并且A的特征值皆為0或1。

（2）因為A可對角化，且對角線元素只有0和1，故1的重數=rank（A），0的重數=n-rank（A）。

（3）因為αi（i=1，2，…n）均屬于A的特征子空間V1，故L（α1，α2，…αn）哿V1。由（2）知，dimL（α1，α2，…αn）=dimV1，于是V1=L（α1，α2，…αn）。顯然，A的屬于0的特征子空間為Ker（A）。

（4）由（1）知，A可對角化，且對角線元素均為0和1，于是rank（A）=tr（A）。

（5）若A為n級實冪等矩陣，rank（A）=rank（En-A）=tr（En-A）=tr（A+En-A）=tr（En）=n。

若A滿足rank（A）=rank（En-A）=n，由引理1知，rank（A）+dimKer（A）=n，故rank（En-A）=dimKer（A）=Ker（A）。下證：Ran（En-A）=Ker（A）。坌ξ∈Ker（A），因為Aξ=0，故（En-A）ξ=ξ-Aξ=ξ，于是ξ∈Ran（En-A），Ker（A）哿Ran（En-A）。

因為dimRan（En-A）=rank（En-A）=dimKer（A），于是Ran（En-A）=Ker（A）。

因為Ran（En-A）=Ker（A），坌x∈Rn，（En-A）x∈Ker（A），于是A（En-A）x=0，Ax=A2x，故A2=A。

推論1設A為n級實冪等矩陣，則：

（1）En-A的特征值皆為0或1，且1的重數=n-rank（A），0的重數=rank（A）；

（2）En-A的屬于1的特征子空間為Ker（A）；En-A的屬于0的特征子空間為Ran（A）=L（α1，α2，…αn），其中A=（α1，α2，…αn）。

證明：（1）A為n級實冪等矩陣，由引理3知，En-A為實冪等矩陣。由定理1知，En-A的特征值皆為0或1，1的重數為rank（En-A）=tr（En-A）=tr（En）-tr（A）=n-rank（A）。于是0的重數為rank（A）。

（2）顯然可證：En-A的屬于1的特征子空間即為A的屬于0的特征子空間。En-A的屬于0的特征子空間即為A的屬于1的特征子空間。

推論2設A為n級實對稱冪等矩陣，則：

（1）存在正交矩陣T使得T-1AT=diag{1，1…，1，0，…0}；

（2）A的屬于1的特征子空間L（α1，α2，…αn）與A的屬于0的特征子空間Ker（A）互為正交補，于是Rn=L（α1，α2，…αn）⊕Ker（A）。（⊕正交和符號）；

（3）A是半正定矩陣。

證明：

（1）由引理2和定理1可證；

（2）由于A=A＇，由引理1可證；

（3）由（1）知，存在正交矩陣T使得T＇AT= T-1AT=diag{1，1…，1，0，…0}。故A是半正定矩陣。

下面給出實對稱冪等矩陣的一種刻畫。

定理2【2】設X是數域R上n×k矩陣，rank（X）=k，令B=X（X＇X）-1X＇，則：

（1）B是n級實對稱冪等矩陣；

（2）rank（B）=k；

（3）B有特征值1（重數為k）和0（重數為n-k）；

（4）B的屬于特征值1的特征子空間為l1Xe1+…lkXek=L（Xe1，…，Xek），ej表示第j個分量為1、其余分量為0的單位列向量，lj∈R（j=1，2，…，n）。B的屬于特征值0的特征子空間為L（Xe1，…，Xek）⊥。

證明：（1）

B2=X（X＇X）-1X＇X（X＇X）-1X＇=X（X＇X）-1X＇=B，故B是實對稱冪等矩陣。

（2）rank（B）=Tr（B）=Tr（X（X＇X）-1X＇）=Tr（X＇X（X＇X）-1）=Tr（Ek）=k。

（3）由定理1可證。

（4）

因為rank（X）=k，則Xe1，…，Xek線性無關，故Xe1，…，Xek是B的屬于特征值1的特征向量。因為B可對角化，B的屬于特征值1的特征子空間的維數等于特征值1的重數=k，故B的屬于特征值1的特征子空間為L（Xe1，…，Xek）⊥。

由推論2（2）知，B的屬于特征值0的特征子空間為L（Xe1，…，Xek）⊥。

定理3設B是n級實對稱冪等矩陣，rank（B）=k，B的屬于特征值1的特征子空間為L（β1，β2，…βk），記X=（β1，β2，…βk），則B=X（X＇X）-1X＇。

證明：令C=X（X＇X）-1X＇，由定理2知，C是n級實對稱冪等矩陣，rank（C）=k，C的屬于特征值1的特征子空間為L（β1，β2，…βk），C的屬于特征值0的特征子空間為L（β1，…βk）⊥。由推論2知，B的屬于特征值0的特征子空間為L（β1，…βk）⊥。于是坌ξ∈Rn，設ξ=ξ1+ξ2（ξ1∈L（β1，…βk）⊥，ξ2∈L（β1，…βk）⊥）（正交和），Bξ=B（ξ1+ξ2）=ξ1=C（ξ1+ξ2）=Cξ，于是B=C。

［1］丘維聲.高等代數.［M］北京：高等教育出版社，1996.

［2］邱森，朱林生.高等代數探究性課題精編[M].武漢：武漢大學出版社，2012，100-109.

（責任編輯趙巨濤）

Research on Some Properties of Real Idempotent Matrices

Han Kai-kai
（Maths Department of Changzhi University,Changzhi Shanxi 046011）

From the view of geometry,real matrices may be seen as linear transformations on Euclidean spaces.According to the geometric meaning,we give different proofs for some properties of real idempotent matrices,and give a description of the real symmetrical idempotent matrices.

real idempotent matrices;eigenvalue;eigen-subspace

O151.2

A

1673-2014（2016）05-0001-03

2016—06—21

韓凱凱（1986—），男，河北邢臺人，碩士，助教，主要從事泛函分析研究。