阻尼振動和受迫振動系統的動力學研究

劉津升

(南京工程學院數理部 江蘇 南京 211167)

?

阻尼振動和受迫振動系統的動力學研究

劉津升

(南京工程學院數理部 江蘇 南京 211167)

首先對3種不同情況下的阻尼振動系統進行定量地分析研究，再利用指數方程推導受迫振動的運動方程，分析振子振幅、速度、初相位與驅動力角頻率間的關系.分析結果對實際教學和后續科研有一定幫助.

阻尼振動 受迫振動 共振

諧振動是指系統不受外力作用，只在保守內力作用下的物體的周期性往復運動.而現實中，物體的運動總是會受到阻力作用，振幅也會逐漸減小，直至停止.只在回復力和阻力作用下的振動被稱為阻尼振動.有時，為了獲得穩定的振動，需要對系統施加一周期性的外驅動力，形成受迫振動.振動在生產和科研領域有著重要的應用[1].而教學過程中，許多教材在介紹阻尼振動和受迫振動時，只是直接給出相關結果，并未進行深入地推導和分析.下面利用水平彈簧振子模型對阻尼振動和受迫振動進行定量分析研究.

1 阻尼振動

圖1所示為一水平彈簧振動系統，彈簧的勁度系數為κ，振子質量為m,阻力系數為γ.

圖1 水平彈簧振動系統

假設受到的阻尼力滿足f=-γv，則系統的動力學方程可寫為

(1)

式(1)為二階齊次微分方程，其特征方程為

(2)

特征方程根的判別式為

(3)

為了方便計算，令

ω0稱為振動系統的固有角頻率，δ稱為阻尼系數.設振動系統的初始條件滿足t=0時，x=A，v=0.很明顯對于特征方程式(2)的解有3種情況，下面分別進行展開討論.

(1)當Δ>0，即δ>ω0時，特征方程式(2)具有兩個不相等的實數根，即

微分方程式(1)的解為

(4)

式中，A1和A2為待定系數.代入初始條件有

(5)

圖2所示為δ>ω0時，不同阻尼系數下的振動曲線.當δ=0時，振子做周期性諧振動.隨著阻尼系數值的增大，振子從初始位置回到平衡位置所需的時間逐漸變長，此時振子做非周期性振動，這種情況稱之為過阻尼.

圖2 δ>ω0時，不同阻尼系數下的振動曲線

(2)當Δ<0,即δ<ω0時，特征方程的兩個共軛復數根為

微分方程的解為

(6)

利用歐拉公式

eiθ=cos θ+isin θ

e-iθ=cos θ-isin θ

式(6)可變換為

x=A1e-δtcos ωt+A2e-δtsin ωt

(7)

(8)

對式(8)再利用和差化積公式，有

(9)

其阻尼系數δ愈大，振動周期愈長，且振幅減小得愈快.而隨著阻尼系數δ的減小，系統也逐漸接近無阻尼條件下諧振動的情況.此時振子做準周期性振動，這種情況稱之為欠阻尼.當阻尼系數足夠小，即δ=0時，則上式可改寫為x=Acos(ωt+φ)，此時又回歸到簡諧運動形式.

圖3 δ<ω0不同阻尼系數下的阻尼振動曲線

(3)當Δ=0,即δ=ω0時，特征方程的兩個相等的實數根為

r1=r2=-δ

微分方程的解為

x=(A1+A2t)e-δt

(10)

式中，A1和A2為待定系數.代入初始條件，有

x=A(1+ω0t)e-ω0t

(11)

圖4所示為不同阻尼條件下的振動曲線，從圖可以看出，當δ=ω0時，振子經過一個較長的時間最終剛好回到平衡位置，這種情況稱為臨界阻尼.對于無阻尼振動來說，振子做周期性的往復振動.相對于過阻尼狀態，臨界阻尼狀態下振子回到平衡位置的時間最短.欠阻尼狀態時，振子做準周期性的運動，其振幅呈指數減小.臨界阻尼處于準周期性向非周期性過渡的臨界狀態.

圖4 不同阻尼系數下的振動曲線

對于阻尼振動，其任意時刻的機械能可寫為

(12)

機械能隨時間的變化率為

(13)

由于ma+κx=-γv，所以

(14)

式(14)中右式恒為負數，所以系統的機械能不斷減小，且減小量等于阻力對振子所做的功隨時間的變化率-γv2=fv，符合能量守恒定律.

2 受迫振動

為了維持穩定的振動，需對阻尼振動系統施加周期性的外驅動力，教材中一般使用余弦函數形式[2,3]，但利用指數形式可以更為方便地解釋和說明受迫振動的一些性質.設外在驅動力為F0e-iωdt(實際問題只取其實部)，則振動系統的動力學方程可寫為

(15)

式中ωd為驅動力的角頻率，根據方程的特征，其解的形式應為x=A′e-iωdt，代入式(15)中，利用歐拉公式，有

(16)

于是式(15)解為

(17)

其中φ′為受迫振動的初相，其值為

我們只討論式(17)的實部

x=Acos(ωdt+φ′)

(18)

式中，A為受迫振動的振幅，其值為

且是ωd的函數.受迫振動的振幅和初相隨驅動力角頻率的關系曲線如圖5所示.當振幅最大時，滿足

此時

隨著阻尼系數δ的減小，ωd趨近于彈簧系統的固有角頻率ω0，系統初相也趨近于諧振動的初相，其位移振幅也逐漸增大，這種情況稱之為位移共振.

圖5 位移共振時的受迫振動的振幅、相位與ωd間的關系

任意時刻，受迫振動系統的振子速度為

(19)

其中，vm為振子的最大速度，其值為

圖6 速度共振時的受迫振動的速度、相位與ωd間的關系

通過以上討論，我們對不同阻尼系數下的振動系統做了定量地分析研究，利用指數方程可以方便地推導和解釋受迫振動的相關問題.分析結果對教學和后續科研有一定幫助.

1 Shao Lei, Fang Caihong, Chen Huanjun, et al. Distinct plasmonic manifestation on gold nanorods induced by the spatial perturbation of small gold nanospheres. Nano Letters, 2012, 12(3):1 424～1 430

2 程守洙, 江之永. 普通物理學(下冊)(第6版). 北京：高等教育出版社, 2006

3 鄧鐵如, 孟大敏, 徐元英，等. 西爾斯當代大學物理. 北京：機械工業出版社, 2009

*南京工程學院科研啟動基金項目，項目編號：YKJ201538

劉津升(1984- ),男，博士，講師，主要研究方向為納米材料.

2016-07-17)