內置式永磁電機齒槽轉矩的解析計算

李桂丹,王佐民,李 斌

(天津大學,天津 300072)

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內置式永磁電機齒槽轉矩的解析計算

李桂丹,王佐民,李 斌

(天津大學,天津 300072)

利用定子側邊力法分析了內置式永磁電機齒槽轉矩。在基于等效磁網絡法的基礎上求解出內置式永磁電機的氣隙磁密，進而將其等效為表貼式結構。在此基礎上，建立了等效電機單槽模型，獲得了齒槽轉矩各階諧波分量，進而根據槽空間相位關系合成了電機總的齒槽轉矩，提高了計算效率。計算結果與有限元法所得出的結果進行了比較，驗證了本方法的正確性。

齒槽轉矩;內置式永磁電機;單槽模型;側邊力;合成

0 引 言

永磁電機以其高功率密度、高效率等優點，得到了國內外學者的廣泛關注。相比表貼式結構，內置式永磁電機永磁磁極埋于轉子內部，可以克服高轉速下對永磁體的離心力作用；弱磁能力強，能夠在較寬的調速范圍內運行；磁阻轉矩分量增大了電機的輸出轉矩。基于這些優勢，內置式永磁電機在驅動設備中，特別是新能源電動汽車中應用廣泛。

永磁電機定子齒壁與永磁體間存在齒槽轉矩，齒槽轉矩會在電機運動時導致轉矩波動，從而產生噪聲、振動。針對表貼式永磁電機，國內外學者利用能量法，側邊力法等[1-3]分析了電機齒槽轉矩。研究表明能量法模型受槽漏磁和永磁體間漏磁影響較大，側邊力法可以更準確的求解出齒槽轉矩[4]。相比表貼式結構，內置式永磁電機有效氣隙小，齒槽轉矩的影響更大[5]。文獻[6-8]采用有限元法分別研究了永磁體不對稱、定子鐵心形狀、永磁體分段對內置式永磁電機齒槽轉矩的影響。但有限元法耗時較長，尤其在電機優化設計階段，這個問題更為突出。解析法以數學模型的形式直觀體現電機參數與齒槽轉矩的聯系，具有更明確地物理意義，并且可以與多種優化算法結合達到優化電機參數的目的。文獻[9]在能量法基礎上，推導了齒槽轉矩解析模型，結合梯度下降法對內置式永磁電機參數進行優化，削弱了齒槽轉矩；文獻[10]采用能量法和傅里葉分解法結合研究了槽口寬度對內置式永磁電機齒槽轉矩的影響；文獻[11]利用等效虛擬磁極，將側邊力法應用于多層U型內置式永磁電機齒槽轉矩解析計算，但在齒槽轉矩求解時，每一個步長需要累加全部齒產生的齒槽轉矩，計算量較大。

本文對一型內置式永磁電機齒槽轉矩的解析計算進行了研究，在忽略齒槽效應的情況下采用等效磁路法求解了電機徑向磁密，建立了等效電機單槽模型，利用側邊力法對單槽內置式永磁電機齒槽轉矩進行求解，獲得了各階諧波分量，進而根據槽空間相位關系合成了電機總的齒槽轉矩，給出了各階諧波變化規律，提高了計算效率。通過有限元仿真驗證了該方法的正確性。

1 內置式永磁電機齒槽轉矩摸型

本模型選取了單層“一”型永磁體結構的內置式永磁電機作為研究對象。圖1中分別為一臺4極6槽和4極12槽的內置式永磁電機，表1給出了電機的參數。

圖1 內置式永磁電機模型

參數數值參數數值極數NP4槽數QS6/12永磁體剩磁Br/T1．05定子半徑rs/mm25轉子半徑rr/mm12鐵心軸向長度lcore/mm50氣隙長度δ/mm0．7極弧系數αp0．73槽開口系數αS0．17/0．2

圖2是用有限元軟件仿真得到的磁場分布圖。在電機設計的初級階段，為了解析計算的快速與簡捷性，假設電機定子是連續平滑的，即忽略電機定子的齒槽效應。

(a)磁力線分布(b)磁密分布

圖2 1/4內置式永磁電機的磁場分布

圖2(a)給出了電機磁力線分布，圖2(b)為電機磁密分布圖。可以看出，一個磁極的一半磁力線與另一半相鄰磁極形成閉合磁路，永磁體頂端接近轉子邊緣橋處，出現了明顯的磁路飽和問題，在電機其他部位飽和不顯著。因此在計算氣隙磁密時，需要計及轉子邊緣橋部位飽和的影響。

圖3是1/4電機集中參數等效磁路圖。圖中，φg是一個磁極下內置式永磁體單獨激勵時的氣隙磁通，φr是一個磁極激勵產生的磁通；Rg，Rmo分別是一個磁極下氣隙磁阻、永磁體磁阻；Rml，Rmb分別是永磁體端部漏磁磁阻、轉子邊緣橋漏磁磁阻；Rr，Rs分別是轉子軛磁阻，定子軛磁阻。轉子軛與定子軛在一般情況下不會出現飽和，所以Rr，Rs與Rg相比較的話可以忽略不計。

圖3 集中參數等效磁路

由于轉子邊緣橋出現磁路飽和問題，Rmb不是線性，可表示:

(1)

其中：Amb=lb，l為鐵心長度，b為邊緣橋寬度。

通過該磁阻的漏磁磁通:

(2)

為避免迭代運算，根據該定子鐵心材料的B-H曲線，可直接給定飽和工作點的磁通密度[12]。本文選取Bmb=1.7T，進而由圖3可以得到氣隙磁通量φg，進而得到氣隙磁密Bg。

另外，從圖2(a)中還可看出，內置式永磁電機的氣隙磁密接近于徑向，此時可以將其等效為一個虛擬永磁體厚度為0，相對磁導率為1的表貼式永磁電機[11]。因此，可直接應用表貼式永磁電機齒槽轉矩的解析算法來進行求解。

選取計算側邊力方法，圖4給出了理想氣隙磁力線分布，其中，hm為等效永磁體的厚度；μr為永磁體的相對磁導率。為了簡化齒槽轉矩的計算，作如下假設[1]:槽型簡化為矩形；磁場分布由永磁體和相對磁導率乘積決定的；磁力線在氣隙處為直線，在槽中面對齒壁處的磁力線路徑是四分之一圓;定子鐵心相對磁導率無窮大。

圖4 理想化的磁力線分布圖

側邊力作用在定子齒上，進而產生齒槽轉矩。假設定子齒壁處磁密等于槽開口處磁密，那么，內置式永磁電機的齒槽轉矩就可以通過下式計算[1]：

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：Br1，Br2分別為磁力線垂直于齒壁處的磁密值；λ，λr分別為磁導率與相對磁導率。其他參數如圖5所示。

圖5 側邊力

2 齒槽轉矩的合成

在直接計算內置式永磁電機齒槽轉矩時，在每一個分析步長，需要將全部齒槽產生的齒槽轉矩疊加，從而得到總的電機齒槽轉矩。為提高分析效率，建立單槽電機模型，如圖6所示，分別為4極6槽與4極12槽的單槽內置式永磁電機，其中電機齒槽尺寸與圖1中電機一致。

圖6 單槽電機模型

以圖6為基礎，利用式(3)計算出單槽電機的齒槽轉矩Tsc(α)，可以表示為傅里葉級數：

(7)

式中:Tscn為Tsc的n次諧波的幅值。根據疊加原理[13]將單槽齒槽轉矩合成為由全部齒槽產生的電機的整體齒槽轉矩，傅里葉級數表示：

(8)

根據式(8)，分別給出4極6槽與4極12槽內置式永磁電機的全槽齒槽轉矩:

(9)

(10)

由式(7)、式(9)、式(10)可以得到，單槽電機的各次諧波不是全部參與全槽電機的齒槽轉矩合成，只有3n次諧波，這是由全槽電機的槽極數決定的。

3 齒槽轉矩解析結果與有限元仿真

圖7、圖8分別為4極6槽與4極12槽內置式永磁電機的徑向氣隙磁密。

圖7中，在忽略齒槽時，通過等效磁路法與有限元法求得的氣隙磁密誤差小于4%，求解結果較為準確；但由于實際電機模型中存在的齒槽效應，4極6槽電機氣隙磁密在經過齒槽時小于忽略齒槽時的計算數值，也就導致了解析法齒槽轉矩在齒槽開口處要大于有限元仿真結果，如圖9所示。圖8中考慮齒槽與忽略齒槽時的有限元求解的氣隙磁密對比發現，雖然在經過齒槽時磁密值出現波動，但兩者氣隙磁密均值誤差小于3.7%，電機齒槽轉矩解析法與有限元所得結果吻合度較高。

圖7 4極6槽內置式永磁電機徑向氣隙磁密

圖8 4極6槽內置式永磁電機徑向氣隙磁密

圖9、圖10分別為為4極6槽、4極12槽電機齒槽轉矩。

圖9 4極6槽永磁電機齒槽轉矩

圖10 4極12槽永磁電機齒槽轉矩

可以看出，圖9、圖10中解析算法求得的齒槽轉矩與有限元法在求解結果基本吻合。存在的誤差主要是由在近似計算時假設定子鐵心無窮大導致的。同時，在計算齒槽轉矩時，對磁力線分布進行了理想化假設，而實際情況中，氣隙磁密不完全是沿徑向分布的，這也是導致計算誤差的原因之一。

圖11、圖12圖分別為6槽、12槽的單槽電機齒槽轉矩。得到單槽電機齒槽轉矩后，可以根據式(9)、式(10)合成全槽電機齒槽轉矩，這與式(3)所得到的解析結果一致，但計算效率提高。

圖11 6槽單槽電機齒槽轉矩

圖12 12槽單槽電機齒槽轉矩

為了對比單槽與多槽電機齒槽轉矩間的聯系，分別對6槽電機與12槽電機的單槽與全槽電機齒槽轉矩進行了傅里葉分解。對比圖13與圖14的各次諧波可以得出，當由單槽電機的齒槽轉矩解析合成全槽電機的齒槽轉矩時，單槽電機齒槽轉矩的各次諧波不會全部參與多槽電機的齒槽轉矩合成；由于4極6槽與4極12槽電機的槽極數的最小公倍數都為24，所以全槽轉矩諧波中只有單槽電機轉矩的3^n次諧波。內置式永磁電機的槽極數共同決定了齒槽轉矩解析合成算式各項系數，即算式中出現的各次諧波的幅值大小與各次諧波次數。

圖13 6槽電機單槽與六槽齒槽轉矩諧波次數

圖14 12槽電機單槽與十二槽齒槽轉矩諧波次數

其中，4極6槽內置式永磁電機齒槽轉矩的各次諧波幅值為其單槽電機的3n次諧波的6倍；4極12槽內置式永磁電機齒槽轉矩的各次諧波幅值為其單槽電機的3n次諧波的12倍；并且由各次諧波變化趨勢可以看出，有限元仿真所得結果與解析法所得結果變化趨勢一致，驗證了解析法的正確性。

圖15、圖16為選取電機不同槽開口系數時的齒槽轉矩峰值。

圖15 4極6槽齒槽轉矩峰值

圖16 4極12槽齒槽轉矩峰值

通過有限元與解析法的對比發現，當槽開口系數大于0.22時，兩者的計算誤差明顯增大；當槽開口系數小于0.22時，解析法計算結果與有限元更接近，這與表貼式電機分析結論一致[4]。目前工業用電機為了避免齒槽效應，多選用半閉口槽，即槽開口系數要小于0.22。所以，該解析算法適用于求解電機的齒槽轉矩。

4 結 語

采用了一種以計算定子側邊力為基礎的內置式永磁電機齒槽轉矩的解析算法，采用等效磁路法與等效變換計算得到的齒槽轉矩具有較高的準確性。同時，解析法求得單槽電機齒槽轉矩時，可以用合成法合成相應多槽電機的齒槽轉矩，提高計算效率；單槽電機齒槽轉矩的各次諧波不會全部參與多槽電機的齒槽轉矩合成；全槽內置式永磁電機的槽極數共同決定了齒槽轉矩解析合成算式各項系數，即算式中出現的各次諧波的幅值大小與各次諧波次數。在此基礎上，討論了槽開口系數對齒槽轉矩的影響。通過有限元仿真驗證了該解析法的正確性。

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Analytical Calculation of Cogging Torque for Interior Permanent Magnet Machine

LI Gui-dan,WANG Zuo-min,LI Bin

(Tianjin University,Tianjin 300072,China)

The cogging torque of interior permanent magnet machine (IPM) is analyzed using the lateral force method. The magnet flux density of air gap is calculated based on the equivalent magnet circuit (MEC), then the IPM can be transformed into an equivalent surface permanent magnet machine (SPM) model. To improve the computational efficiency, a single slot machine model is built. Based on this, the cogging torque is calculated and the harmonic components are obtained. According to space phase relationship of stator slots, the total cogging torque of the equivalent SPM, i.e. the original IPM, can be synthesized. Finally, the finite element analysis is used to validate the proposed method.

cogging torque; interior permanent magnet machine (IPM); single slot model; lateral force; synthesis

2016-03-28

TM351

A

1004-7018(2016)10-0026-04

李桂丹(1975-)，女，副教授，研究方向為電機設計及控制。