采用自適應(yīng)遺傳算法的機(jī)床公差分配研究

劉鵬,洪軍,劉志剛,郭俊康,周強(qiáng)

(西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,710049,西安)

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采用自適應(yīng)遺傳算法的機(jī)床公差分配研究

劉鵬,洪軍,劉志剛,郭俊康,周強(qiáng)

(西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,710049,西安)

針對(duì)當(dāng)前機(jī)床幾何精度建模忽視裝配過程中的調(diào)整量,以及機(jī)床公差分配時(shí)缺乏科學(xué)可行的方法問題,利用狀態(tài)空間模型描述機(jī)床實(shí)際裝配過程,考慮裝配過程中的調(diào)整控制量,建立了更加準(zhǔn)確的機(jī)床裝配精度模型,并引入種群多樣性指標(biāo),構(gòu)建了用于機(jī)床公差分配的自適應(yīng)遺傳算法。以TGK46100精密臥式坐標(biāo)鏜床為研究對(duì)象,建立了裝配精度要求與基礎(chǔ)大件角度誤差之間的映射關(guān)系,以零件加工總成本最小為目標(biāo)函數(shù),采用構(gòu)建的自適應(yīng)遺傳算法,完成了該機(jī)床基礎(chǔ)大件角度公差的分配。結(jié)果表明:與不考慮裝配調(diào)整量的偏差累積方法相比,該方法放寬了零件加工精度,最大放寬幅度達(dá)到了36.4%,平均放寬幅度為12.0%,從而在滿足最終裝配精度要求的前提下,降低了零件加工制造成本,為機(jī)床公差分配提供了更加準(zhǔn)確的精度建模方法和可行合適的公差分配方法。

公差分配;狀態(tài)空間模型;自適應(yīng)遺傳算法

機(jī)床公差分配主要研究在一定裝配精度約束下,同時(shí)保證一定的裝配率,合理地分配各組成零件的公差,使得機(jī)床組成零件的加工成本達(dá)到最低[1]。進(jìn)行機(jī)床公差分配首先需要建立機(jī)床精度模型,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)機(jī)床精度建模進(jìn)行了廣泛而深入的研究。Hocken用矩陣變換法建立了三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的誤差模型[2]。Kiridena等用D-H法建立了TTTRR、RTTTR、RRTTT形式的五坐標(biāo)機(jī)床的空間幾何誤差模型,研究了定位誤差與體積誤差之間的映射關(guān)系[3]。Rahman等基于齊次坐標(biāo)矩陣建立了多軸數(shù)控機(jī)床的準(zhǔn)靜態(tài)誤差綜合空間誤差模型[4]。國(guó)防科技大學(xué)李圣怡等基于變分法與多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué),建立了多軸機(jī)床的通用精度模型,以三軸、五軸機(jī)床為例給出了理想運(yùn)動(dòng)模型、有誤差運(yùn)動(dòng)模型和空間誤差模型等的具體表達(dá)式[5-8]。2011年,Liu等詳細(xì)討論了數(shù)控機(jī)床各項(xiàng)幾何誤差特征之間的關(guān)系[9]。Zhu等于2012年基于多體系統(tǒng)模型,提出了一種面向數(shù)控機(jī)床幾何誤差辨識(shí)與補(bǔ)償?shù)木C合建模方法[10]。2014年,Tian等借鑒機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)中旋量理論提出了一種機(jī)床幾何誤差的構(gòu)建方法[11]。2015年,Fu等基于運(yùn)動(dòng)微分矢量,提出了一種五軸機(jī)床的幾何誤差建模、辨識(shí)與補(bǔ)償方法[12]。Zhong等基于多體系統(tǒng)理論和齊次坐標(biāo)變換,對(duì)一種大型五軸加工中心的幾何誤差建模、變形及補(bǔ)償方法進(jìn)行了研究[13]。但是,這些精度模型不符合機(jī)床實(shí)際裝配過程,忽略了裝配過程中的修配刮研等調(diào)整量和裝配過程中測(cè)量誤差等因素[14]。

具體實(shí)現(xiàn)機(jī)床精度分配問題是一多元非線性函數(shù)在約束條件下求極值問題。在理論上往往把多元非線性極值問題歸結(jié)為多元非線性方程組的求根問題,然后采用迭代法求解。但是,傳統(tǒng)的求解算法,如牛頓迭代、最速下降法,需要將問題線性化,或者求解偏導(dǎo)數(shù)等,在某種程度上復(fù)雜化了問題,并增加了結(jié)果的不準(zhǔn)確性,甚至在許多時(shí)候無(wú)法得到問題的最優(yōu)解[15]。

因此,本文利用狀態(tài)空間方法[14]對(duì)機(jī)床實(shí)際裝配過程進(jìn)行描述,使用最優(yōu)控制方法獲取機(jī)床裝配過程中最優(yōu)調(diào)整量,進(jìn)而獲得機(jī)床裝配精度指標(biāo)與組成零件誤差之間的函數(shù)關(guān)系;然后,構(gòu)建了基于浮點(diǎn)數(shù)編碼的自適應(yīng)遺傳算法,實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)床公差的最優(yōu)分配;最后,使用該技術(shù)方案,對(duì)TGK46100精密坐標(biāo)鏜床進(jìn)行了基礎(chǔ)大件角度公差的分配。

1 機(jī)床裝配精度與零件誤差關(guān)系建立

1.1 機(jī)床裝配過程的狀態(tài)空間模型

在機(jī)床實(shí)際裝配過程中,關(guān)注的是當(dāng)前裝配體的誤差狀態(tài)。該誤差狀態(tài)受到零件誤差、調(diào)整刮研等影響,同時(shí)為了了解當(dāng)前裝配體的誤差狀態(tài),會(huì)進(jìn)行測(cè)量操作,而在測(cè)量時(shí)也會(huì)引入測(cè)量誤差。機(jī)床裝配過程中的誤差狀態(tài)變化如圖1所示。

圖1 機(jī)床裝配過程中誤差狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況

裝配過程的狀態(tài)空間方程[16]為

X(k+1)=A(k)X(k)+B(k)u(k)+F(k)ω(k)

y(k)=C(k)X(k)+ν(k)

(1)

式中:X(k)為第k-1步裝配后的裝配體誤差狀態(tài);X(k+1)為第k步裝配完成后的裝配體誤差狀態(tài);u(k)為在第k步裝配時(shí),刮研、修配等調(diào)整量;ω(k)為第k步裝配引入的零件誤差;v(k)為測(cè)量時(shí)的噪聲;A(k)為裝配體特征矩陣;B(k)將u(k)從第k個(gè)零件的局部坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到基礎(chǔ)坐標(biāo)系;C(k)為輸出矩陣,與所關(guān)心的特定特征面相關(guān);F(k)將第k步裝配時(shí)引入的零件誤差從第k個(gè)零件的局部坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到基礎(chǔ)坐標(biāo)系。

1.2 機(jī)床裝配精度成本函數(shù)

機(jī)床裝配的目的之一是要在滿足最終裝配精度要求條件下,花費(fèi)盡可能少的經(jīng)濟(jì)代價(jià)。結(jié)合裝配過程中的測(cè)量、調(diào)整等,可以采用裝配精度成本函數(shù)來(lái)表達(dá),即

uT(k)R(k)u(k)]

(2)

式中:S表示最終裝配精度對(duì)應(yīng)的成本系數(shù)矩陣;yT(N)Sy(N)表示該裝配精度需要的經(jīng)濟(jì)成本;Q(k)表示第k步裝配時(shí)的裝配精度對(duì)應(yīng)的成本系數(shù)矩陣;yT(k)Q(k)y(k)表示第k步裝配時(shí),為了達(dá)到該精度需要的成本,權(quán)重矩陣R(k)為調(diào)整單位零件誤差的成本系數(shù)矩陣;uT(k)R(k)u(k)為調(diào)整零件誤差的成本,S、Q(k)與誤差狀態(tài)相關(guān)。

1.3 機(jī)床裝配最優(yōu)調(diào)整序列

根據(jù)式(1),可以將裝配過程中的最優(yōu)調(diào)整序列u(k)問題轉(zhuǎn)化為離散隨機(jī)線性系統(tǒng)最優(yōu)輸出問題?？梢酝ㄟ^以下方法得到裝配過程中第k步最佳調(diào)整量,即最優(yōu)的裝配調(diào)整序列為

(3)

K(k)=[R(k)+BT(k)P(k+1)B(k)]-1·

BT(k)P(k+1)A(k)

(4)

P(k)=Q(k)+AT(k)P(k+1)·

[I+B(k)R-1(k)BT(k)P(k+1)]-1A(k)

(5)

且有S=P(N)=Q(N),所以只要指定成本系數(shù)矩陣R、S、Q,就可以獲得一組最優(yōu)裝配調(diào)整序列。

1.4 機(jī)床裝配精度與零件誤差關(guān)系建立

根據(jù)1.2、1.3節(jié)的方法,機(jī)床裝配體誤差的狀態(tài)空間方程可以改寫為

Xi(k)=A(k)X(k)+F(k)ω(k)

X(k+1)=[I-B(k)T(k)K(k)]Xi(k)

(6)

式中:T(k)是調(diào)整特征選擇矩陣,非對(duì)角線元素均為0,通過給定對(duì)角元素為1表示對(duì)應(yīng)幾何特征在第k步可以進(jìn)行調(diào)整,為0則表示對(duì)應(yīng)特征不能被調(diào)整;隨機(jī)變量Xi(k)的概率密度函數(shù)由ρ(k)=E[X(k)]以及D(k)=D(X(k))確定,D(k)表示機(jī)床裝配精度的公差帶,即誤差狀態(tài)的變化范圍。

利用式(6),可獲得公差帶的表達(dá)式為

Di(k)=AT(k)D(k)A(k)+F(k)V(k)FT(k)

D(k+1)=[I-B(k)T(k)K(k)]·

Di(k)[I-B(k)T(k)K(k)]T

(7)

式中:V(k)表示零件誤差ω(k)的協(xié)方差,ω(k)被定義為均值為0,且互不相關(guān)的零件誤差向量

E[ω(k)]=0

(8)

初始的D(0)=0。

通過上述方法,便完成了機(jī)床裝配精度指標(biāo)與零件公差之間的函數(shù)關(guān)系建立。

2 自適應(yīng)遺傳算法構(gòu)建

機(jī)床裝配精度與零件公差的函數(shù)關(guān)系在忽略高階項(xiàng)之后,形式變?yōu)?/p>

(9)

式中:m為每個(gè)零件考慮的精度項(xiàng)目個(gè)數(shù);kij為第i個(gè)零件的第j項(xiàng)誤差值系數(shù);tij為第i個(gè)零件的第j項(xiàng)誤差值,在本文所構(gòu)造的自適應(yīng)遺傳算法中,tij為第i條染色體上第j個(gè)基因。

在實(shí)際加工制造中,零件角度公差越小,那么加工成本越高。本文通過調(diào)研昆明機(jī)床廠,發(fā)現(xiàn)該廠零件公差與加工成本在一定范圍內(nèi)近似為一反比例函數(shù)。這種公差成本函數(shù)是文獻(xiàn)[1]中負(fù)冪成本函數(shù)的特殊情況。以機(jī)床裝配體零件加工總成本W(wǎng)為目標(biāo)函數(shù),在上述情況下可以表示為

(10)

式中:n表示機(jī)床裝配體零件個(gè)數(shù);Cij為反比例函數(shù)系數(shù),根據(jù)機(jī)床廠零件加工制造能力確定。

此時(shí)機(jī)床公差最優(yōu)化分配問題轉(zhuǎn)化為了一多元非線性尋優(yōu)問題,傳統(tǒng)的拉格朗日乘子法、變尺度搜索等方法已經(jīng)不再適用。這里采用一種基于浮點(diǎn)數(shù)編碼的自適應(yīng)遺傳算法來(lái)獲得一組tij,既能滿足機(jī)床裝配精度要求,又能使得零件加工總成本最小。

2.1 初始零件誤差種群產(chǎn)生方法

結(jié)合零件實(shí)際加工過程,組成機(jī)床的各個(gè)零件的可加工精度范圍是不一致的,即遺傳算法中染色體上各個(gè)基因片段的初值范圍應(yīng)該根據(jù)實(shí)際情況確定。每個(gè)基因的產(chǎn)生通過方程實(shí)現(xiàn),即

(11)

式中:bt,ij、bl,ij分別為第i條染色體第j個(gè)基因取值的上下限;r表示一隨機(jī)數(shù);c為一常數(shù)。

2.2 優(yōu)選零件誤差操作

機(jī)床公差分配問題受到裝配精度要求Pi的約束,故首先需要將該問題轉(zhuǎn)換為無(wú)約束問題。本文采用外點(diǎn)法實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換。對(duì)于本文所述問題,外點(diǎn)法可定義為

(12)

式中:μ為懲罰系數(shù);h(ti)為懲罰函數(shù);ti為第i條染色體所有基因片段(ti1,ti2,…,tim)構(gòu)成的向量,即第i個(gè)零件所有誤差構(gòu)成的零件誤差向量。在公差分配過程中,h(ti)定義為

(13)

式中:δi為利用tij(j=1,2,…,m)計(jì)算得到的Ps與裝配體要求的精度項(xiàng)目的差值;ci為一給定的常數(shù)。

(14)

式中:fl為第l個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值;M是種群中個(gè)體的數(shù)目。

將這些概率映射到輪盤上,然后通過產(chǎn)生一隨機(jī)數(shù),即可實(shí)現(xiàn)選擇操作。

2.3 零件誤差染色體的交叉運(yùn)算

假設(shè)用于交叉的兩個(gè)基因?yàn)閠a、tb,它們分別位于兩條不同的零件誤差染色體上,交叉運(yùn)算之后變?yōu)樾碌幕?/p>

(15)

式中:α∈(0,1)為一常數(shù),可以通過隨機(jī)方法產(chǎn)生。

2.4 零件誤差染色體的變異方案

采用非一致性變異方法,即在演化初期,變異范圍相對(duì)較大,而隨著演化的推進(jìn),變異范圍越來(lái)越小。設(shè)某染色體上基因?yàn)閠i=(ti1ti2,…,tik,…,tim),m為每條染色體上基因的個(gè)數(shù),此時(shí)基因tik會(huì)發(fā)生變異,變異的規(guī)則為

(16)

Δ(ξ,y)=y[1-rξb]

(17)

2.5 自適應(yīng)的交叉概率及變異概率

采用王成棟等提出的使用種群多樣性的指標(biāo)ξ[17]來(lái)動(dòng)態(tài)調(diào)整交叉概率和變異概率,即當(dāng)種群進(jìn)化的多樣性程度下降時(shí),交叉概率和變異概率適當(dāng)增大,以增加新個(gè)體的產(chǎn)生概率,克服早熟問題。自適應(yīng)交叉與變異概率具體計(jì)算公式為

(18)

(19)

本文實(shí)現(xiàn)機(jī)床公差最優(yōu)化分配的詳細(xì)技術(shù)路線如圖2所示。

圖2 機(jī)床公差最優(yōu)化分配技術(shù)路線

3 機(jī)床公差分配實(shí)例

本文以昆明機(jī)床廠生產(chǎn)的TGK46100精密臥式坐標(biāo)鏜床為例,對(duì)該機(jī)床完成基礎(chǔ)大件角度公差的分配。該坐標(biāo)鏜床主要由床身、立柱、滑鞍,主軸箱、托板、工作臺(tái)等6大基礎(chǔ)部件構(gòu)成,如圖3a所示,機(jī)床的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)如圖3b所示,主要裝配精度指標(biāo)如表1所示。

表1 TGK46100主要裝配精度指標(biāo)

(a)TGK46100精密臥式坐標(biāo)鏜床簡(jiǎn)圖

0～6:裝配特征面;A:床身;B:立柱;C:滑鞍;D:主軸箱;E:托板;F:工作臺(tái)(b)TGK46100簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖圖3 TGK46100精密臥式坐標(biāo)鏜床

假設(shè)該坐標(biāo)鏜床的裝配順序?yàn)?將床身A安裝到地面上;將立柱B裝到床身A上;將滑鞍C裝到立柱B上;將主軸箱D裝到滑鞍C上;將托板E裝到床身A上;將工作臺(tái)F裝到托板E上。

裝配完成之后,角度偏差可以表達(dá)為

(20)

式中:δi(N)(i=1,2,3,4,5,6)代表的是特征面1～6的偏差狀態(tài);ΔθA～F代表了零件A～F的零件誤差。

(21)

式中:k表示裝配過程中的第k步。

在裝配第1步的時(shí)候,調(diào)整特征矩陣為

定義權(quán)重矩陣R來(lái)表征消耗的經(jīng)濟(jì)成本系數(shù)。注意到,該系數(shù)矩陣的取值與機(jī)床廠調(diào)整單位零件誤差的難易程度密切相關(guān)。本文例子中所有R矩陣的取值是根據(jù)昆明機(jī)床廠實(shí)際調(diào)研分析所得。因?yàn)榇藭r(shí)只有床身已經(jīng)進(jìn)入到裝配,所以給未進(jìn)入裝配的零件分配一個(gè)較大的成本系數(shù),取為500,所以

在第2步裝配的時(shí)候,立柱裝到床身上,所以調(diào)整矩陣和權(quán)重矩陣為

在第3步裝配的時(shí)候,將滑鞍裝到立柱上,調(diào)整起來(lái)相對(duì)困難,所以調(diào)整矩陣和權(quán)重矩陣為

在第4步裝配的時(shí)候,主軸箱裝到滑鞍上,此時(shí)調(diào)整矩陣和權(quán)重矩陣為

在第5步裝配時(shí),將托板裝到床身上,調(diào)整起來(lái)相對(duì)困難,所以調(diào)整矩陣和權(quán)重矩陣為

第6步裝配的時(shí)候,將工作臺(tái)裝到托板上,此時(shí)的調(diào)整矩陣和權(quán)重矩陣為

假設(shè)在裝配過程中,不關(guān)心誤差狀態(tài)的變化,那么觀測(cè)矩陣為零矩陣,根據(jù)該臥式坐標(biāo)鏜床的精度指標(biāo)要求(見表1),裝配完成后的觀測(cè)矩陣為

Q1～Q6為零矩陣,Q7為機(jī)床裝配精度成本系數(shù)矩陣,與機(jī)床廠的裝配能力密切相關(guān)。通過調(diào)研昆明機(jī)床廠得到對(duì)角陣

Q7=diag([0.3,0.3,0.3,0.20,0.20,0.20,0.20,0.32,0.32,0.20,0.20])

在此基礎(chǔ)上,設(shè)床身的角度誤差為t1,立柱的角度誤差為t2,滑鞍的角度誤差為t3,主軸箱的角度誤差為t4,托板的角度誤差為t5,工作臺(tái)的角度誤差為t6。這六大基礎(chǔ)部件的角度誤差由3項(xiàng)組成,即

將這些數(shù)據(jù)引入到式(7)進(jìn)行迭代,其中式(7)中矩陣A為單位矩陣,矩陣B與矩陣F相等,均為式(20)中的系數(shù)矩陣。忽略高階項(xiàng),得到該精密臥式坐標(biāo)鏜床裝配精度指標(biāo)與零件公差項(xiàng)目之間的函數(shù)映射關(guān)系為

(22)

建立零件加工總成本函數(shù),其中m=3,n=6,代表TGK46100的6個(gè)基礎(chǔ)部件,且每個(gè)基礎(chǔ)部件有3項(xiàng)角度公差。設(shè)置遺傳算法的基本參數(shù)如表2所示。

表2 自適應(yīng)遺傳算法參數(shù)取值

采用Matlab編寫求解代碼,實(shí)現(xiàn)該公差分配方案,自適應(yīng)遺傳算法的收斂情況如圖4所示。

可以發(fā)現(xiàn),本文所構(gòu)建的自適應(yīng)算法收斂性良好,得到的分配結(jié)果如表3所示,利用該結(jié)果,根據(jù)式(22)計(jì)算得到的裝配精度指標(biāo)均滿足表1所列的裝配精度要求。表3中第4列是采用李圣怡等提出的基于變分法與多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)的機(jī)床精度建模方法[8],構(gòu)建了TGK46100偏差傳遞精度模型,然后利用本文提出的自適應(yīng)遺傳算法進(jìn)行計(jì)算,采用相同算法參數(shù)得到了分配結(jié)果。從表3中可以發(fā)現(xiàn),不考慮裝配調(diào)整量的偏差累積方法對(duì)零件加工精度提出的要求高,制造難度加大,而本文方法則放寬了零件精度要求,最大放寬幅度達(dá)到了36.4%,平均放寬幅度為12.0%,在同樣滿足裝配精度要求的前提下,大大降低了零件制造成本。

4 結(jié) 論

本文建立了機(jī)床裝配精度的狀態(tài)空間模型,考慮了實(shí)際裝配過程中多種影響裝配精度的因素,與傳統(tǒng)偏差累積傳遞模型相比,更加符合機(jī)床裝配實(shí)際;在引入種群多樣性指標(biāo)的基礎(chǔ)上,構(gòu)建了用于機(jī)床公差分配的自適應(yīng)遺傳算法,且算法收斂速度快,為多元非線性函數(shù)在約束條件下尋優(yōu)提供了一種可行快捷的思路;通過精密機(jī)床公差分配實(shí)例,驗(yàn)證了狀態(tài)空間法構(gòu)建的精度模型的正確性以及自適應(yīng)遺傳算法的有效性,分配結(jié)果與依靠多體系統(tǒng)偏差累積方法得到的結(jié)果相比,零件精度要求得到放寬,最大放寬幅度達(dá)到了36.4%,平均放寬幅度為12.0%,在滿足裝配精度要求的前提下,實(shí)現(xiàn)了降低制造成本的目標(biāo)。

表3 TGK46100基礎(chǔ)大件公差分配結(jié)果

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(編輯 趙煒 杜秀杰)

Research on the Tolerance Allocation of Machine Tools Based on Adaptive Genetic Algorithm

LIU Peng,HONG Jun,LIU Zhigang,GUO Junkang,ZHOU Qiang

(State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

The current modeling methods of machine tool’s geometric precision often ignore the effects of adjustment, lacking of scientific and feasible approaches to allocate the tolerance of machine tools. This paper adopts the state space model to describe the actual assemble process of a machine tool, and the adjustments in the assemble process are considered. Thus a more accurate model is set up. By introducing the index of the species diversity, an adaptive genetic algorithm for tolerance allocation is built up. The method was applied in the tolerance distribution of the angular tolerance in TGK46100. Firstly, the relationship of assembly accuracy requirements and angle error of large parts is constructed. Then taking the total cost of parts machining as the objective function and using the adaptive genetic algorithm, the optimal angle tolerance is obtained. The results show that, compared with the deviation accumulation method without considering the assembly adjustment, the machining accuracy of parts is relaxed and the maximum relaxation rate reaches 12%, with an average of 36.4%. Hence the parts manufacturing cost is reduced when the final assembly accuracy requirements are met. This research provides an accurate modeling method for machine tools’ tolerance distribution.

tolerance allocation; state space model; adaptive genetic algorithm

2015-06-19。 作者簡(jiǎn)介:劉鵬(1992—),男,碩士生;洪軍(通信作者),男,教授,博士生導(dǎo)師。

時(shí)間:2015-11-04

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20151104.2222.004.html

10.7652/xjtuxb201601018

TH161

A

0253-987X(2016)01-0115-09