三角函數(shù)問題中的數(shù)學思想

劉彧彤

摘 要：三角函數(shù)在中學課本中內容相對獨立，是研究幾何現(xiàn)象和周期性現(xiàn)象的基礎數(shù)學工具，同時三角函數(shù)又是6類基本的初等函數(shù)之一。三角函數(shù)因此同時具有了幾何和代數(shù)的背景，其研究方法也具備同樣的特性，三角恒等式揭示了各三角函數(shù)間的內在聯(lián)系，同時又是掌握三角函數(shù)的關鍵和難點所在。

關鍵詞：三角函數(shù)；幾何；周期性；初等函數(shù)；三角變換

中圖分類號：g623文獻標志碼：A文章編號：2095-9214（2016）11-0077-01

三角函數(shù)是對角的度量，研究三角函數(shù)可以從三角函數(shù)的定義直接出發(fā)，但是如果洞悉了三角函數(shù)背后的幾何，代數(shù)，函數(shù)，或者不等式等背景，三角函數(shù)又蘊含著普遍的嚴格的數(shù)學美感。以下從幾個方面來觀察三角函數(shù)問題。

一、三角函數(shù)的周期性性質

單位圓直觀的表達了基本三角函數(shù)的周期特性，周期性是對函數(shù)變化過程的歸納法描述，有助于在研究函數(shù)性質時見微知著，對函數(shù)做出精確的量化推導。

如，用sinx推導以下函數(shù)的周期性：

sinωx；sinx；sin2x

解決這類周期性問題的方法，一是利用基本性質，二是作圖。

由于ωx∽x，于是sinωx的周期是sinx的坐標軸變換；而sinx是對sinx的值域變換，不影響其周期，影響的是值域；對于sin2x，我們可以預見到2π必定是其周期，問題的關鍵是其是否有更短的周期；通過對特殊值點（0，π/2，π，3π/2，2π）作圖，易知，2次方函數(shù)周期是π，3次方函數(shù)周期是2π，對于n次方函數(shù)，只需運用函數(shù)性質進行降冪即可判斷。

二、三角函數(shù)的幾何背景

我們從直角三角形中這種特殊情形出發(fā)，可以得到三角函數(shù)的相互轉化關系，由此推導到在一般三角形中，這些關系仍然適用，從作圖的觀點看，三角函數(shù)聯(lián)系了迪卡爾坐標，單位圓，三角形等幾何形狀，幾何性質是研究三角函數(shù)的基本出發(fā)點。

如，證明arcsinx+arcosx=π/2

可以想見，命題人想表達的是兩個角度之間的幾何意義，于是在單位圓內，可以通過作圖來描述這兩個角度，通過平面幾何或者解析幾何的方法來解決。

在直角三角形中，這個關系明確表達了初直角外另外兩銳角的關系；于是α+β=π2。

三、三角函數(shù)的代數(shù)背景

正弦定理以及余弦定理揭示了三角形中邊與角的量化關系，將三角形的角度函數(shù)表達成三邊的數(shù)量，可以將三角函數(shù)完全轉化為代數(shù)問題，在代數(shù)的領域解決證明與計算。

如，在ΔABC中，若9a2+9b2=19c2，試求cotCcotA+cotB；

在著手解決這個問題之前，我們觀察到題設僅僅給出了邊的數(shù)量關系，而要尋求的關系是三角函數(shù)，兩者之間的聯(lián)系是正弦定理和余弦定理，轉化的方向就是表達成關于角的正余弦比例關系；于是有：

cotCcotA+cotB=cosCsinCcosAsinA+cosBsinB=sinAsinBsin2CcosC

=abc2a2+b2-c22ab

上式隱含的是三邊的比例關系，帶入題設條件可求得5/9。

四、三角函數(shù)的函數(shù)背景

三角函數(shù)中的萬能函數(shù)，以及正余弦等函數(shù)之間的轉化，可以將因變量的數(shù)量減少，通過代換，三角函數(shù)也可以是純粹的條件限制下的函數(shù)問題，適用函數(shù)的各種分析方法。

如，f（x）=sin4x-sinxcosx+cos4x的值域

觀察這個問題后，首先要把冪降下來，然后尋求將三角函數(shù)轉化為單個變量：f（x）=1-12sin2x-12sin22x

從上式的形式來看，關鍵問題已經(jīng)解決了，只要把sin2x當作自變量，該函數(shù)可以在一元二次函數(shù)的范疇解決。

五、三角函數(shù)的不等式背景

基本的三角函數(shù)大部分屬于有界函數(shù)，其取值在某閉合區(qū)間內，通過放縮等不等式技巧，可以對三角函數(shù)進行值域估計，不等式證明等。

如，證明：

六、三角函數(shù)綜合問題

找出所有滿足14≤sinπn≤13的正整數(shù)解；此題的背景是sinx在某≤π2區(qū)間內的單調性；引入函數(shù)sinx，則x∈（0，π6）時，函數(shù)通過放縮，有如下關系：3πx

于是我們觀察左右界有：sinπ13<π13<14；sinπ9>3ππ9>13；

于是我們知道，10，11，12是滿足不等式關系的正整數(shù)。

（作者單位：郫縣一中）

參考文獻：

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