關(guān)于“貝特朗悖論”的思考

石青玉

中圖分類號：G634文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：2095-9214（2016）11-0051-01

1899年，法國學(xué)者貝特朗（Joseph Bertrand）提出來一個有多種相悖解法的問題：在圓內(nèi)任取一條弦，求弦的長度超過圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率。百多年來，爭論不斷，主要的有如下三種解法：

解法一：由于對稱性，在圓周上任取一點A，以此為端點做一等邊三角形ΔABC，從A點發(fā)出的無數(shù)條弦，顯然只有那些落在ΔABC內(nèi)的弦才滿足條件，其對應(yīng)的弧長BC為整個圓周的1/3，則所求概率為1/3（見圖1）。

解法二：由于對稱性，可預(yù)先指定弦的方向。作垂直于此方向的直徑AB，只有交直徑于1/4（E點）與3/4（F點）間的弦，其長才大于內(nèi)接正三角形邊長。EF等于AB的一半，故所求概率為1/2（見圖2）。

解法三：以圓半徑的一半為半徑做一小圓，當(dāng)弦的中點D在小圓內(nèi)時，弦長大于，此時所求概率為小圓面積與大圓面積之比即1/4（見圖3）。

同一個問題，有三種解法，通行的意見認(rèn)為這三種解法是由于取弦時采用不同的等可能性假定造成的，第一種解法假定弦的端點在圓周上均勻分布，第二種解法假定弦的中點在直徑上均勻分布，第三種解法假定弦的中點在圓內(nèi)均勻分布。這三種假定構(gòu)成了三種不同的隨機試驗，所以，對于各自的隨機事件而言，三種解法都是正確的。還有其他的一些意見，各自支持三種解法的一種。

但是，通過使用遍歷法取弦，筆者產(chǎn)生了不同的看法，在此提出，希望能起到拋磚引玉的作用。

考慮原題，“在圓內(nèi)任取一條弦”，如何任取才能讓每條弦都等可能的被取到呢？換個角度想，這種等可能取弦法一定能夠遍歷圓內(nèi)所有的弦同樣的次數(shù)。

我們先看解法一的取弦法，在圓周上任取一點A作為弦的端點，另一端點從A點開始（不含A點）逆時針旋轉(zhuǎn)遍歷圓周一圈，然后A點逆時針移動一點，B點再移動一圈，如此重復(fù)，等A點也移動一圈時，圓內(nèi)所有弦都遍歷到了2次（由于對稱性），可見，解法一的取弦法是等可能性的取弦法。

再看解法二的取弦法，任取一條直徑，從直徑一端到另一端，遍歷做垂直于此直徑的弦，然后，直徑逆時針移動一點，再遍歷此直徑做垂直的弦，等直徑移動一圈，圓內(nèi)所有弦也都遍歷2次（由于對稱性），所有，解法二的取弦法也算是等可能性的取弦法。

最后看看解法三的取弦法，在圓內(nèi)任取一點D，做過此點的弦，然后再移動D點，遍歷圓內(nèi)所有點，重復(fù)做過此點的弦，就會發(fā)現(xiàn)，當(dāng)D點不是圓心時，過D點的弦只有一條，而當(dāng)D點遍歷到圓心時，過該點的弦有無數(shù)條，因此，解法三的取弦法不能算作等可能性的取弦法，解法三應(yīng)該從正確的解法中去除。

我們再來看看解法一和解法二，想象一下，兩個人分別用解法一和解法二的取弦法遍歷同一個圓，分別構(gòu)造了圓內(nèi)所有弦的兩個樣本空間，不妨命之為空間一和空間二。不難想象，對于空間一的每一條弦，都有空間二的一條弦相對應(yīng)，而對于空間二的每一條弦，也都有空間一的一條弦相對應(yīng)，也就是說，空間一和空間二的元素一一對應(yīng)，即兩個樣本空間是等價的。

綜上所述，筆者認(rèn)為，解法一和解法二都是符合題意中等可能性的，也是等價的，都是正確的，而解法三是錯誤的。至于為什么樣本空間等價的解法一和解法二會有不同的概率值，筆者大膽的提出一個猜測：對于具有無窮事件組成的樣本空間而言，概率值不是固有的屬性，是和取樣法高度相關(guān)的。不知對否，還希望各位專家提出寶貴意見。

（作者單位：山東省實驗中學(xué)）

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