卷積積分的快速分段和定限方法

海 濤

(安徽工程大學 電氣工程學院，安徽 蕪湖 241000)

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卷積積分的快速分段和定限方法

海 濤

(安徽工程大學 電氣工程學院，安徽 蕪湖 241000)

卷積積分在積分變換、控制理論、信號與系統以及電路分析等學科中應用廣泛，是一個重要的數學工具．雖然卷積積分的計算方法較多，但要準確計算出卷積積分并非易事，正確地分段和定限是計算卷積積分的兩大難點．從卷積積分的定義出發，經嚴密的數學推導獲得一種卷積積分的快速分段和定限方法．在此基礎上，進一步繪制出卷積積分的快速分段和定限圖，使得卷積積分的分段和定限更加直觀易行．實例表明，應用快速分段和定限法能夠快速準確地求解卷積積分．

卷積積分；解析法；分段；定限

隨著計算機技術的飛速發展以及信號與系統理論研究的深入，卷積方法的應用日益廣泛[1]．卷積方法包括卷積積分和卷積和，研究僅討論卷積積分．卷積積分的計算方法論述較多[1-7]，這些計算方法可以歸納為解析法、圖解法、利用卷積積分的性質法及變換域法．目前，利用卷積積分的性質法和變換域法兩種方法的研究比較充分，而解析法和圖解法兩種方法在確定積分限的問題上討論不夠全面[3]．目前，積分限的確定主要借助于圖解法[1-3,7]，雖然用圖解法確定積分限稍微簡單一些，但其計算過程繁瑣且易出錯[7]．鑒于此，從卷積積分的定義式出發，應用數學分析方法推導出一種簡單易懂的卷積積分分段和定限方法，并繪制卷積積分分段和定限圖，使得計算更加快速準確．

1 卷積積分的定義

卷積積分源于連續時間信號的分解，它利用系統的單位沖激響應求解系統對任意輸入信號的零狀態響應．假設系統的輸入信號和系統的單位沖激響應分別為f(t)和h(t)，則系統的零狀態響應y(t)可以定義為：

(1)

此積分被稱為卷積積分，卷積積分中含τ和t兩個變量．在積分的計算過程中，τ是積分變量，t是參變量；卷積積分后的結果為t的函數．

2 卷積積分的分段和定限

為了獲得卷積積分的分段時限和每段的積分限，假設f(t)的定義域為t∈[t11,t12]，h(t)的定義域為t∈[t21,t22]，則由式(1)可知：

(2)

(3)

由式(2)、式(3)可得y(t)的定義域為：

(4)

由式(4)可得：

結論1 f(t)和h(t)卷積結果y(t)的定義域上、下限分別是兩個被積函數f(t)和h(t)的定義域上、下限之和．

這里僅獲得了y(t)的定義域，即y(t)的非零區間．為了獲得y(t)的時域分段，下面將對式(2)、式(3)和式(4)做進一步處理．

由式(3)可得:

(5)

由式(2)、式(5)可得:

(6)

其中，

(7)

(8)

由式(7)可將式(4)改寫為:

(9)

由式(8)可將式(4)改寫為:

(10)

由式(9)、式(10)可得:

t∈[t11+t21,min(t11+t22,t12+t21)]∪(min(t11+t22,t12+t22),max(t11+t22,t12+t21))∪[max(t11+t22,t12+t21),t12+t22],

(11)

圖1 卷積積分快速分段圖

式(11)實際上把y(t)的定義域分成了3段，可以表示成圖1的形式，卷積積分快速分段圖如圖1所示．由圖1可得y(t)的定義域的分段結論(結論2)．

結論2 兩個被積函數f(t)和h(t)的定義域上、下限交叉分別相加，將獲得的兩個和以及y(t)的定義域上限和下限按大小順序排列在時間軸上，從而獲得卷積結果y(t)的分段時限．

由圖1可知，若t22=t12=∞,則min(t11+t22，t12+t21)=max(t11+t22,t12+t21)=∞，t12+t22=∞，此時圖1退化為兩段(-∞,t11+t21)∪[t11+t21,∞);若t11+t22=t12+t21,(min(t11+t22，t12+t21),max(t11+t22,t12+t21))=Φ,則該段消失．

在獲得y(t)的定義域分段結果的基礎上，利用式(4)、式(7)和式(8)可以快速確定每段卷積積分的上下限，如圖2所示．由圖2可知，只要已知f(t)和h(t)的定義域，卷積積分快速分段與定限就可輕而易舉地獲得．這樣，利用解析法求解卷積積分的兩大難點就迎刃而解了．

圖2 卷積積分快速分段與定限圖

3 應用實例

利用卷積積分快速分段與定限圖可以快速準確地確定卷積結果的分段時限和每段的積分上下限，從而簡化卷積積分的計算．

圖3 例1的被積函數

例1 已知兩個時限函數f(t)和h(t)如圖3所示，求y(t)=f(t)*h(t)．

解：由圖3可知，t11=4，t12=5，t21=1，t22=3.由于t11+t22>t12+t21，根據圖2b畫出卷積積分快速分段定限圖如圖4所示．

圖4 例1的快速分段定限圖

由圖4和式(1)可得

例2 已知f(t)=u(t)，h(t)=e-tu(t),求y(t)=f(t)*h(t)．

解：依題意知，t11=0，t12=∞，t21=0，t22=∞.因t11+t21=0,t12+t21=t11+t22=t12+t22=∞，圖2a或圖2b退化為兩段(-∞,t11+t21)∪[t11+t21，∞)；因此，例2的卷積積分快速分段定限圖如圖5所示．

圖5 例2的快速分段定限圖

由圖5和式(1)可得

由以上兩例可以看出，卷積積分快速分段與定限圖極大地簡化了卷積積分的計算過程．

4 結論

針對卷積積分分段和定限的兩個計算難點，從卷積積分的定義出發，經嚴格的數學推導，獲得了卷積積分分段和定限的快速方法，實例表明該方法簡單易行．

[1] 鄭君里,應啟珩,楊為理.信號與系統：第三版[M].北京:高等教育出版社,2011.

[2] 溫衛,任克強.卷積積分與卷積和解法分析[J].江西理工大學學報，2006，27(1):27-29.

[3] 黃裕建.卷積積分上下限的確定與計算方法[J].河南教育學院學報：自然科學版,2006,15(4):14-16.

[4] 王曉平.卷積積分的基本計算方法[J].常州工學院學報，2002，16(4):54-57.

[5] 張愛清,葉新榮.卷積積分的計算方法探討[J].科技信息，2013(11):51-52.

[6] 楊永生,趙梅.從時域和頻域兩種角度探討卷積積分[J].科技信息，2010(11):165-168.

[7] 唐建鋒,楊輝,羅湘南.信號與系統中卷積計算方法探討[J].科技信息，2012(4):16.

A Fast Segmentation and Definite Bounds Method of Convolution Integral

HAI Tao

(College of Electrical Engineering，Anhui Polytechnic University,Wuhu 241000,China)

Convolution integral is an important mathematical tool widely used in many subjects such as integral transform, control theory,signal and system,and the circuit analysis.Although there are many convolution integral calculation methods,it is still hard to accurately calculate convolution integral.Two difficulties lies in:how to correctly determine the time segmentations of the convolution results and the integral upper and lower bounds in each segmentation called for short segmentation and definite bounds.Starting from the definition of convolution integral,a convolution integral fast segmentation and definite bounds method is proposed by strict mathematical deduction.On this basis,a convolution integral of fast segmentation and definite bounds figure is drawn,which makes the segmentation and definite bounds more intuitive and easy.Some examples show that the fast segmentation and definite bounds method can rapidly and accurately solve the convolution integral.

convolution integral;analytic method;segmentation;definite bounds

1672-2477(2016)05-0085-03

安徽工程大學教研基金資助項目(2015ZYZHGG02，2015JCJXZZ03)

海 濤(1975-)，男，安徽蕪湖人，副教授，博士．

0172;TN91

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