不確定市場環境下的企業家投資、消費和對沖研究進展

杜宏俊，費為銀，沈明軒

(安徽工程大學 數理學院，安徽 蕪湖 241000)

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不確定市場環境下的企業家投資、消費和對沖研究進展

杜宏俊，費為銀*，沈明軒

(安徽工程大學 數理學院，安徽 蕪湖 241000)

企業家經常面臨著來自商業投資中的不可分散的特定風險．將標準的實物期權方法推廣到非完備的市場下，并且考慮企業家投資、消費/儲蓄和投資組合選擇等共同決策問題，允許代理人通過交易市場投資組合來部分對沖實物投資風險．在此背景下，首先介紹了金融市場上的最優投資組合和消費問題的研究現狀．接著介紹了企業家投資、消費和對沖問題的研究進展，并給出了投資過程中允許通過交易風險資產對沖項目風險的模型．最后對所要研究模型分別給出了在通脹環境、Knight不確定和跳擴散等方面的拓展框架.

實物期權；投資組合；HJB方程；通貨膨脹；非完備市場

1900年法國數學家Bachelier首次在《投機理論》中使用量化的布朗運動描述股票價格變化過程，這被認為是現代金融學的起源．不幸的是，在長達半個世紀的時間內這一工作一直沒有受到學者的關注．直到1952年，Markowitz[1]提出了著名的投資組合理論(均值方差模型)，引發了華爾街的第一次金融革命，拉開了現代金融理論——數理金融發展的序幕．

最優消費和最優投資組合問題一直是金融領域的研究熱點．回顧跨期投資組合的發展歷程，自Merton[2]利用動態規劃方法解決了在連續時間內最優消費和投資組合選擇問題，使得對投資組合問題的研究邁出了重要的一步．Merton[2]在這方面做出的突出貢獻為后來的學者研究跨期投資組合提供了借鑒．投資組合選擇問題所涉及到的一般都是金融市場投資，很少涉及到商業投資等實物投資領域，然而實物投資行為在現代經濟中已經扮演著越來越重要的角色．通常情況下，實物投資在現實實物投資項目中常常面臨著未來投資的不確定性、收益的不確定性以及信息的不對稱性．實物投資的3個典型特點：投資是部分或完全不可逆的、未來收益是不確定的、投資時間在某種程度上是靈活的．近30多年，大量文獻旨在研究這3個特點對實物投資的意義，這些文獻共同的視角就是將投資決策視為美式看漲期權，“美式”體現在行權時間選擇的靈活性上．然而，最早把期權思想引入到該領域的是Myers[3]，他首次提出了把投資機會看作成長期權(Growth Options)，把許多企業資產特別是成長性的投資機會看作是看漲期權．Bernanke[4]是對不可逆投資最早做出貢獻的，實物投資已經變成現代經濟金融的主力軍,因此對投資項目的價值評估自然而然地成為實物投資過程中的重要一環．

隨著技術的日益進步及競爭的日趨激烈，簡單地預測和分析預期現金流已不足以準確評估一個項目的價值及其潛在增長價值，從實物期權的角度對未來的投資機會進行評估，是一種更加有效的方法，并已經在現代公司關于資源配置的決策上取得了實質性的進步．為此，現在越來越多的研究致力于把實物期權方法用于不可逆的實物投資，關注的是企業家投資活動中的投資時間選擇，即管理者等到影響重大的不確定消失以及項目收益更加明確時做出投資決策，在這一過程中等待可能產生更大的價值．然而，在等待的過程中，一旦項目的收益并未達到預期，管理者可以選擇放棄這項投資，這樣就擁有了一種隱性的防范損失的保險機制，從而達到保險的效果．

隨著社會的不斷進步，金融市場快速發展，金融市場環境變得越來越復雜，不確定因素以及突發事件頻發，帶來的風險嚴重影響到了金融市場，這些不確定因素給人們的投資、消費和生活都帶來了不容忽視的影響，不確定因素逐漸引起了人們的廣泛關注，故而研究不確定市場環境下的投資、消費和對沖具有極其重要的意義．

標準的實物期權方法有著極其嚴苛的條件約束，但現實中的市場是不完備的，因而在實際的研究中往往需要把標準實物期權方法推廣到非完備市場環境下，得到非完備市場情形下相應的結論．

1 投資組合選擇和消費問題的研究回顧

由于市場環境的不確定性導致了資產配置的多樣化，資產如何進行組合才能使得投資者的利益最大化，如何在投資、消費之間分配資產使得投資者效用最大化，這一直都是金融界研究的重要課題．一些國外學者在Merton[2]研究的基礎上探討了動態投資組合決策.在動態投資組合決策研究中，Kim和Omberg[5]研究的是非短視行為，他們通過利用HARA效用函數得到了投資者在終端財富期望效用最大化下的最優資產組合選擇．

在Merton解決了連續時間內的最優消費和最優投資問題的基礎上，Duffie[6]等推廣到帶有隨機勞動收入的情形，通過使用“粘性解”技術以及HJB方程得到隨機控制問題的值函數，進而得出所要研究的最優投資消費．Wang[7-9]分別研究了在固定收入和隨機收入的假設下，收入對最優消費、儲蓄和投資決策的影響．但是對于隨機勞動收入和CRRA效用函數消費的閉式解還沒有人推導出來，Zeldes[10]使用的數值技術僅僅給出了一個近似解．

投資者投資和消費過程中往往面臨著種種限制約束，比如借貸約束、流動約束等．Munk[11]認為連續時間最優的消費和投資組合選擇的投資者有一個初始財富和不確定的收入流，且投資者不允許預支未來收入，最后證明由于不能預支未來收入，未來收入流隱含價值是遠遠低于完備市場情形下的．Ang[12]等提出了一種流動和非流動性資產的最優配置模型，流動性風險增加其狀態相關性，風險規避降低流動和非流動資產配置,還研究了流動性約束時間對資產配置的影響．約束不僅體現在資產流動性上，對消費也有約束.He和Pearson[13]在無限維情形下，利用鞅方法研究了在不完備市場的情況下帶有賣空限制的動態消費和投資組合問題．

國內也有很多學者在最優投資、資產配置方面進行了大量研究．王秋媛[14]等給出了不同條件下最優消費與投資組合的計算公式及相應最大消費效用期望值．李仲飛和汪壽陽[15]研究了摩擦市場中的最優消費-投資組合選擇問題．劉宏建[16]等在Knight不確定環境下考慮投資者遺產和保險，研究了在3種不同借款約束下的最優消費與投資問題，借助于倒向隨機微分方程(BSDE)理論求出了投資者最優消費和投資策略的顯式表達式．

上述研究雖然也有在最大效用框架下研究投資、消費問題，但是均未考慮在實物投資下企業家面臨的消費和投資組合選擇，并且給出其最優消費和投資組合的問題．

2 企業家投資、消費和對沖問題研究回顧

金融市場離不開實體經濟的繁榮，只有實現實體經濟的良性發展，金融市場才會蓬勃發展，因此對實物投資的研究不可或缺．許多學者研究了不確定市場下的投資和消費，所涉及到的投資一般是金融市場上的投資，對象是眾多的金融衍生品如股票、期權、基金和債券等，但是幾乎很少涉及到實物投資．現實中，大多數企業家進行實物投資，因而在對企業家的投資和消費問題進行研究的過程中，不僅要考慮金融市場上的投資，還要考慮實物投資．

在Bernanke[4]最早對不可逆投資所做研究的基礎上，對于完備市場情形Borison[17]給出了實物投資問題的一個很好的討論和總結，并且為不可逆投資的發展做出了極為突出的貢獻．雖然Borison[17]描述的實物投資方法看起來具有顯著的不同，但是這些方法的本質都是通過幫助公司管理者進行投資選擇，最終實現公司股東財富水平的最大化．

眾所周知，現實中的金融市場總是存在著大量的約束限制，因此實際金融市場往往是非完備的，最多可以部分復制．在研究中，不完備性體現的是投資者承擔市場風險而得到應有的風險回報，但是對于資產的特質風險并沒有得到額外補償．縱使完備市場對復制思想具有極其嚴格的要求，也不完全與現實環境無關．Kogan[18]提供了一個不可逆實物投資的一般均衡模型，投資的不可逆性是生產部門最主要的特征，限制著資本的積累，影響著公司的投資決策．其主要的貢獻是分析了均衡性以及不可逆投資的影響．

對實物投資研究越來越多的落腳點是在投資時間的選擇上，對投資量以及投資方式的研究均不是重點．Rhys[19]等通過引入首達時等方法為期權的最優執行時間選擇提供了有力的理論依據，彌補了前期的實物期權模型在最優執行期權時間選擇研究上的不足．Hugonnier和Morellec[20]是在非完備市場背景下關注管理人投資執行的問題以及控制挑戰對管理人行為的影響．管理者會權衡自身的行權時間，較早地執行期權減少其所暴露的特定風險，與之對應的是增加了控制挑戰成本的可能性．Henderson和Hobson[21]刻畫了風險厭惡者擁有一個不可分割資產，選擇何時賣出從而達到效用最大化需求．他們主要的貢獻是發現了與直覺相反的事實，對于一個風險厭惡者，其最優行為卻可能會增加博弈的風險．

基于靜態確定性等價思想提出的效用無差別定價方法，是由Hodges和Neuberger[22]1989年提出的，被認為是解決非完備市場環境下投資、消費的最有價值的方法，這一方法被后來的學者廣泛使用至今．Yang和Yang[23]、楊金強和楊招軍[24]都考慮了部分信息下基于消費效用無差別定價的實物期權問題，區別在于楊金強和楊招軍并沒有考慮用風險資產去對沖的情形．然而他們雖然研究了非完備市場下沒有對沖情形的實物投資，但也沒有研究消費/儲蓄決策以及消費/儲蓄決策對商業投資和投資組合選擇的影響．

在對非完備市場上的實物投資中研究對沖有著重要意義，因為市場的不完備性，企業家從事商業投資面臨不可分散的特定風險，通過交易市場投資組合對沖商業投資風險，系統風險通過標準CAPM方法得以補償，特定風險產生私人股本溢價，這就是學者把對沖引入商業投資研究中的原因．Henderson和Hobson[25]研究了如何處理一個不可交易資產，并把交易資產用作對沖風險的目的，他們的貢獻是首次在著名的Merton投資模型中引入了第二個不可交易資產，并且檢驗了次最優對沖策略對代理人愿意支付的期權價格的影響．真正完整考慮企業家投資、消費和對沖的是Miao和Wang[26]．他們同樣采用的是靜態確定性等價思想提出的效用無差別定價方法，考慮非完備市場下企業家面對一項不可逆的實物投資，對是否允許通過市場投資組合對沖商業投資風險建立了不同的模型，并考慮了最優消費的問題，也研究了不同投資回報形式對執行投資時間選擇的影響．Ewald和Yang[27]進一步假設實物投資項目價值服從均值回復的幾何布朗運動過程，使得對項目價值模型更有意義，最后利用最優控制理論，從理論上推導了期權的最優執行時間和最優值的解析表達式．

通過上述大量文獻的分析可知，在現實經濟環境下考慮企業家進行商業投資，并且考慮企業家的消費和用于對沖的市場投資組合選擇是具有現實意義的．商業投資行為的發生與否對消費和投資組合選擇有著重要的影響，進而消費和投資組合的選擇又影響著企業家的財富水平．在現實經濟生活中，恰恰需要發展一個理論刻畫特定風險在消費、投資和投資組合之間扮演的角色，正如Gentry和Hubbard[28]、Heaton和Lucas[29]等所做的工作．

在Miao和Wang[26]的研究基礎上，其他學者也取得了不錯的研究成果.Henderson[30]研究了企業家的風險厭惡和市場的非完備性對投資時間和期權價值的影響，允許用對沖來部分抵消投資回報的不確定性，他們發現風險厭惡和特定風險蠶食了期權價值，并且降低了投資臨界值，主要貢獻是找到一個參數域，在這個域內完備和非完備給出了不同的投資信號．相比于Miao和Wang[26]的研究，考慮企業家來自消費和投資的最大化指數效用服從的是算術布朗運動，由于算術布朗運動可取負這一弊端，他們在此基礎上改進使用的是幾何布朗運動，其中的模型更容易處理，并且可以導出適于靜態比較的近似解，更加接近典范完備化模型過程．

國內也有學者研究并取得了一系列成果．Chen和Yi[31]研究在有限期限下的非完備市場下企業家投資、消費和對沖問題．他們的主要貢獻是通過使用PDE技術把Miao和Wang在無限期限下得到的結果推廣到有限期限下，并進一步優化了結果，證明最優執行邊界是關于時間t遞增的，并且在[0,T]內連續．

3 企業家投資、消費和對沖模型拓展

3.1 通貨膨脹下的企業家投資、消費和對沖問題

目前我國資本市場還不夠完善，投資渠道單一，使得投資者在面臨通貨膨脹時選擇資產保值增值的比較少．同時，在國家持續不斷改革開放和轉變發展方式的大背景下，通貨膨脹對投資者投資風險資產(股票、期貨、基金等)的行為影響越來越大，因此在考慮投資的時候通脹因素不得不考慮進來．現如今，國內外越來越多的學者著手于對通脹的研究．針對消費籃子價格完全可觀察和部分可觀察的情形，Bensoussan[32]等分別給出了在通脹環境下的最優消費和投資策略．丁傳明和鄒捷中[33]研究了通貨膨脹影響下的最優投資消費模型，他們在對金融市場的假設中假定通貨膨脹或通貨緊縮同時存在投資和消費市場上，并且建立了通貨膨脹折扣率的隨機模型及最優消費投資模型，利用鞅方法和隨機分析理論進行求解．然而，Fei[34]研究的是在通脹條件下帶有Markovian機制轉換的最優消費和投資問題，假定通脹服從均值回復過程的最優消費和投資決策．Fei和Fei[35]研究了在通脹條件下帶有Markovian機制轉換的最優控制，并將其應用到投資組合決策中．費為銀[36]等研究了投資者在通脹環境下帶遞歸效用的最優消費和投資問題，根據假設的效用函數推導出最優消費和投資的精確解．費為銀[37]等在資產價格跳擴散環境下，研究了通脹因素對投資者資產配置的影響，并且通過數值模擬進行了量化．

根據對上述文獻的分析，在當前經濟發展背景下，在對投資的研究中把通脹考慮進來更加接近真實的現狀，這樣也會使得模型更加貼近實際情形．基于Bensoussan[32]等及費為銀[35-37]對通脹下的投資和消費的研究，將所要研究的模型中風險資產價格以及投資收益等在通脹下進行折現，得到真實環境中對應的資產價格和投資收益，再利用現代隨機微分方程理論建立相應的HJB方程，通過求解可得到在企業家投資下的最優消費和最優投資組合選擇．

3.2 Knight不確定下的企業家投資、消費、對沖問題

現實生活中有很多現象已經不能夠通過概率不確定給出合理的解釋了，而Knight不確定卻可以提供很好的理論支撐．Knight不確定是種沒有確定概率分布的不確定，其概率分布是未知的，其本質并非未知而是不可知．自1921年Knight首次提出Knight不確定后，引起國內外學者的廣泛關注，并且對Knight不確定下的最優消費和投資組合問題進行了深入的研究．Chen和Epstein[38]考慮了含糊的連續時間下跨期多先驗效用模型, 給出了風險溢價和含糊溢價對超額收益率的解釋．Fei[39]研究了帶預期和含糊情形下的最優消費和投資組合問題．在Knight不確定環境下，費為銀[40]等研究了投資者在通脹下的最優消費和投資決策，其中區別了含糊與含糊態度，研究使用的模型與Bensoussan[32]等的模型的主要區別是刻畫了α-maxmin期望效用(即α-MEU)，這樣不僅有助于在區別含糊和含糊態度的情況下解決帶有通脹的最優消費和投資組合問題．韓立巖和泮敏[41]創造性地使用了Knight不確定的視角處理了帶有隨機波動率的期權定價問題，將Knight不確定的思路引入到期權定價問題上，豐富了Knight不確定的應用．然而，上述文獻所研究的Knight不確定性均是指資產價格預期收益率，遺憾的是并沒有考慮資產的價格具有Knight不確定性．為此，在對沖基金管理者最優投資策略問題的研究中，費為銀[42]等考慮了風險資產價格具有Knight不確定性，并且得出在風險資產價格具有Knight不確定性下的基金管理者最優投資組合策略．

總之，對于投資和消費問題的研究，國內外的學者在Knight不確定下進行了深入的研究并已經取得了豐碩的研究成果．因此，在G-Brown運動環境下，對企業家投資、消費和對沖問題的研究中，可以考慮風險資產價格變化過程的波動率具有Knight不確定性，當然也可以同時考慮實物投資項目帶來的收益過程的波動率具有Knight不確定性.結合國內外學者在這個領域取得的成果，可以得出相應的企業家實物投資下的最優消費和最優投資組合策略，具有更強的現實經濟意義．

3.3 跳擴散下的企業家投資、消費、對沖問題

現實生活中各種突發事件頻發，使得資產價格出現大起大落或不連續的跳躍變化，很有可能出現阻礙金融市場健康發展的不利情況，因此跳擴散風險對投資者的投資決策有著重要影響，對跳擴散的研究也越來越重要．近年來，在投資和資產配置等方面的研究中，跳擴散不斷被引入模型中．

通過對期權和股價市場數據的研究，Eraker[43]發現了股票價格動態跳擴散的特征，并且建立了股票價格和股票價格波動率的非連續相關跳模型．Wu[44]重點研究了稀有事件風險，并且分析了跳對動態決策的影響，結果發現，跳風險使得投資者的投資決策更加地保守．費為銀[45]等在跳擴散環境下研究了匯率變動對外商直接投資的影響，并且通過數值模擬分析表明不管跳的幅度和大小都會使得市場動蕩更明顯，從而進一步加大風險資產違約的風險，因此減少風險資產的配置．李文漢[46]等在風險中性的假設下，考慮了股票價格服從跳擴散過程的隨機微分方程，并且得出了跳擴散影響下相應的歐式期權定價公式．費為銀[47]等對動態資產配置問題的研究也考慮了突發事件發生帶來的沖擊，同時通過數值模擬定量地模擬了突發事件帶來的量化影響.

通過上述的文獻分析研究不難發現，跳擴散在現實研究中扮演著重要的角色，因而把跳風險引入到投資的研究中，尤其對于風險厭惡的投資者，跳擴散下的投資研究更有意義．近年來全球經濟的不景氣，預防性儲蓄的需求日益高漲，投資者的風險厭惡程度隨之提高，跳風險所帶來的影響也隨之放大．在Miao和Wang[26]的研究模型中，由于突發事件的發生，模型中的商業投資機會發生重大變化，投資回報產生跳躍變化，對期權的執行時間產生影響，進而影響投資前后的最優消費和投資組合選擇.在已有的研究成果中，考慮在企業家的預期值函數最大化的目標下，通過動態規劃方法等導出最優投資組合選擇和消費，最后通過使用Matlab軟件模擬跳擴散的幅度和大小對最優投資消費產生影響．因而在企業家投資、消費和對沖問題的研究中把跳擴散因素考慮進來具有理論基礎和現實可行性．

3.4 考慮融資決策下投資、消費、對沖問題

在Miao和Wang[26]的研究中進行了很多嚴格的假設，在投資決策過程為了分析的方便采用了CARA效用函數，忽略了財富對投資決策的影響．進而，假設投資者在執行投資時，總有足夠的資金去執行投資，即使投資者自身財富不足以支付投資成本時，總可以從市場上無條件的以無風險利率借入資本，從而忽略了融資約束對投資的影響．然而，這并不符合實際情況，投資者個人財富對其投資行為極其重要．現實中，投資者往往因為資金問題錯過很好的投資機會，加上央行宏觀調控收緊銀根的時候，投資者很難從市場融得到資本．在這方面已經有很多學者做了大量研究．例如，Chen[48]等通過風險債務多元化收益，刻畫了最優資本結構，并且表明了這個不可分散風險對消費、投資組合、融資、投資、商業退出的影響．然而，費為銀[49]等進一步在對紅利和退休的最優消費與投資研究中引入了借貸約束這一條件，詳細地分析了借貸約束對投資者的最優投資消費的影響．

當前全球經濟整體不景氣，資金短缺嚴格制約著投資的發生，研究融資約束對研究投資消費具有很強的現實意義，所以在對Miao和Wang[26]模型的拓展中需要考慮融資約束因素對投資-消費的影響.當企業家在執行投資時持有的資金并不足以支付成本，此時融資成本很大程度上決定著投資時間，甚至因為資金不足，高額的融資成本使得企業家放棄項目投資．

4 小結

簡要回顧了現代投資理論的發展歷史以及實物投資的發展歷程．闡述了金融市場上投資組合選擇和最優消費問題的研究現狀，并且給出了國內外相關學者在這方面的研究成果．其次，考慮企業家投資、消費和對沖問題，總結了國內外學者在這方面的研究成果，著重闡述了風險厭惡的代理人在非完備市場下允許對沖的投資、消費問題的研究模型，并且給出了最優消費和投資組合問題的基本分析過程．最后，對所要研究的模型在幾種不同框架下進行了展望，給出了可行性分析，并進一步提出了改進的研究思路．

在Miao和Wang[26]的研究中，只考慮了投資者的預防性儲蓄動機以及風險厭惡程度等因素，而通過對上述文獻的研究和分析不難發現，現實生活中更多的因素，比如通脹、Knight不確定和跳擴散以及融資決策等因素都會不同程度地影響到企業家的投資決策．因此，可以在Miao和Wang[26]的研究基礎上做進一步的研究：第一，將通脹因素考慮到企業家的投資決策中，探討不同程度的通貨膨脹對風險投資和消費的影響；第二，可以研究跳擴散環境下跳的幅度和方向如何影響企業家在風險資產上的投資權重；第三，在Knight不確定環境下，通過引入G-布朗運動來對企業家的投資、消費和對沖進行研究．

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Research Advance on Entrepreneurs Investments Consumption and Hedging under Uncertain Market Environment

DU Hong-jun,FEI Wei-yin*，SHEN Ming-xuan

(College of Mathematics and Physics，Anhui Polytechnic University, Wuhu 241000, China)

Entrepreneurs often face undiversifiable idiosyncratic risks from their business investments.The standard real options approach is extended to an incomplete markets environment for analyzing the joint decisions of business investments,consumption/savings,and portfolio selection.And the agent can trade the market portfolio to partially hedge against investment risk.Under this context,the status quo of the study on the optimal portfolio and consumption problem was firstly introduced.And then the more detailed introduction was made about entrepreneurs' investment、consumption and hedge research progress,and a commercial investment model with a lump-sum investment payoff and partially hedge against investment risk was presented.Finally,the expansion of the framework of the model under inflation,Knightian uncertainty and jump diffusion environment was put forward.

real options;portfolio;HJB equation;inflation;incomplete markets

1672-2477(2016)05-0068-07

國家自然科學基金資助項目(71571001)

杜宏俊(1990-)，男，安徽六安人，碩士研究生．

費為銀(1963-)，男，安徽蕪湖人，教授，博士．

O211.63； F830.9

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