傾斜角互補的幾種表現形式

蘇藝偉●

福建省龍海第一中學新校區(363100)

?

傾斜角互補的幾種表現形式

蘇藝偉●

福建省龍海第一中學新校區(363100)

人教A版必修二第3.1.1節介紹了直線的傾斜角與斜率.在本節的學習中我們知道了一個知識點:若兩條直線傾斜角互補,且斜率都存在,則斜率之和為零.這是一個再平常不過的基礎知識,以至于沒能引起同學甚至教師足夠的重視.事實上,在重要的考試當中經常會涉及到這個知識點的運用,而題目往往不會直接給出“傾斜角互補”這么明顯的條件,而是變換另外的表現形式.這個時候就需要將其進行轉化,再利用該知識點來解決問題.本文著重探討了“傾斜角互補”的幾種常見表現形式,以期能夠對教學解題起到較好的指導作用.

一、入射光線和反射光線

設l1為入射光線,經過x軸反射后,l2為反射光線,此時兩直線傾斜角互補.

例1 光線沿直線x+2y-1=0射入,經過x軸反射,求反射光線所在的直線方程.

二、關于x軸對稱(x軸是角平分線)

如果兩條直線關于x軸對稱,顯然兩直線的傾斜角是互補的.如果x軸是某一個角的角平分線,那么這個角的兩邊所在直線必定關于x軸對稱,故傾斜角也是互補的.

例2 教材復習參考題B組第1題

與直線3x-4y+5=0關于x軸對稱的直線的方程為( ).

A.3x+4y-5=0 B.3x+4y+5=0

C.3x-4y+5=0 D. 3x-4y-5=0

例3 (2013年陜西高考理科第20題)

已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8.

(1)求動圓圓心的軌跡C的方程；

(2)已知點B(-1,0),設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P,Q,若x軸是∠PBQ的角平分線,證明直線l過定點.

解析 (1)易求得軌跡C的方程為y2=8x.

(2)如圖(3)所示,設直線l方程為y=kx+b,P(x1,kx1+b),Q(x2,kx2+b).

因為x軸是∠PBQ的角平分線,故直線PB,QB傾斜角互補,kPB+kPQ=0.

三、某兩個角相等(兩條線段相等)

如果題目條件為某兩個角相等,則往往隱含了相應的兩條直線傾斜角互補.有時候題目會以某個三角形中某兩條線段相等為條件,此時也可以轉化為相應的兩條直線傾斜角互補.

(2)假設存在N(x0,0)滿足題意.

當PQ⊥x軸時,由橢圓的對稱性可知,恒有∠PNM=∠QNM,即x0∈R.

當PQ與x軸不垂直時,設直線PQ方程為y=k(x-1),P(x1,k(x1-1)),Q(x2,k(x2-1)).

因為∠PNM=∠QNM,故直線PN,QN傾斜角互補,kPN+kQN=0.

綜上,在x軸上存在定點N(4,0),使得∠PNM=∠QNM.

解析 假設存在符合題意的點P(0,t),設M(x1,kx1+a),N(x2,kx2+a).

因為∠OPM=∠OPN,故直線PM,PN傾斜角互補,kPM+kPN=0.

要使當k變動時,總有∠OPM=∠PON,則t=-a.

因此存在符合題意的點P(0,-a).

解析 由OE=EF得直線AB,CD的傾斜角互補,斜率互為相反數.

設直線AB的方程為y=kx,直線CD的方程為y=-k(x-1).

顯然直線AC,BD也在上述二次曲線方程中.

設AC:A1x+B1y+C1=0,BD:A2x+B2y+C2=0.

由(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0,展開得

A1A2x2+B1B2y2+(A1B2+B1A2)xy+(A1C2+C1A2)x+(B1C2+C1B2)y+C2C1=0…(2)

比較(1),(2)兩式,xy項系數為0,故A1B2+B1A2=0.

因此直線AC,BD的斜率之和為定值0.

同一個知識點可以有不同的表現形式,在實際解題中我們要善于引導學生透過表現抓住問題的本質.這樣不僅能夠豐富解題經驗,還能形成良好的邏輯思維能力,提升思辨智慧.

G632

B

1008-0333(2016)28-0037-02