關于一道“基本不等式問題”的解法討論

新疆巴州庫爾勒市石化路華山中學(841000)

馬宏云●

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關于一道“基本不等式問題”的解法討論

新疆巴州庫爾勒市石化路華山中學(841000)

馬宏云●

本文通過對一道“基本不等式問題”解法的探究展現高中數學解題方法的多元性，注重解題通法，拓寬解題思路.

基本不等式；解法；基本不等式法；消元法；換元法

例 已知a,b為實數，且a2-ab+b2=1，求a+b的最大值.

方法一 基本不等式法

點評 此法關注了須知的形式，巧妙地對已知進行了配湊.

方法二 二次使用基本不等式法

點評 在解題中，一般我們不會使用兩次基本不等式，因為取等條件若不同，直接會錯解，但是此題中由于“加號”兩邊的項系數均為1，所以兩個基本不等式的取等條件一致，皆為a=b時取“等號”，因此，解法有效.這需要我們在解題中冷靜分析，靈活處理.

方法三 消元法

點評 消元法也即函數法，它指將兩個有關系的變元的其中一個用另外一個表示出來，來達到將兩個變元求最值問題轉化為一個變元求最值問題，于是上升到函數問題，考慮到該題有根式，所以想到了三角換元，該題用求導的方法亦可解出.

方法四 消元法(配湊消元)

∴(a+b)2=a2+b2+2ab=a2+b2+2(a2+b2-1)=3(a2+b2)-2≤4,

∴-2≤a+b≤2.

點評 此法是將a2+b2整體作為解題的橋梁和紐帶，在已知中將ab借助重要不等式消去，再將欲求平方，再次消去ab，來達到解題的目的，這種整體代換的思想在一般解決數學問題中也比較常用.

方法五 換元法(整體代換)

設a+b=t，則b=t-a，于是原式即為a2-a(t-a)+(t-a)2=1，也即3a2-3at+t2-1=0.

∵a∈R，∴方程有解，∴Δ≥0,

∴即9t2-12(t2-1)≥0,∴-2≤t≤2.

點評 此法意為求什么就先設什么，在解題時用的比較多，比如在求函數解析式、求函數的值域、圓錐曲線問題、求復數等多個領域都會使用到，先設出欲求為t，將其看成已知，再借助其它已知構造方程或不等式，最終解決問題.另外，學習三角函數時我們求過sinθ+cosθ+sinθcosθ這個式子的最值，也是利用了換元法，設sinθ+cosθ=t，用t將sinθcosθ表示出來，從而突破了該題.

方法六 換元法(三角換元)

點評 該法難點是對已知進行配湊以便更好地剝離兩個字母達到簡單換元的目的，不宜普遍學習使用.

下面的幾道題都可采取以上六種方法之一進行求解，屬一類問題：

1.(2010重慶理7)已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值是____.

2.(2011浙江文16)若實數x,y滿足x2+y2+xy=1，則x+y的最大值是____.

3.(2012浙江文9)若正數x,y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是____.

4.(2015全國高一數學聯賽)已知x,y為實數，且滿足2x2+3xy+2y2=1，求x+y+xy的最小值.

總之，基本不等式中的題目解題具有相當大的靈活性，我們只有吃透解法，挖掘形式，注重思維的遷移、發散和聯想，大膽嘗試，巧妙轉化，才可以輕松解決，也才可以使自己在數學的道路上越走越遠.

G632

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1008-0333(2016)22-0041-01