基于交匯的合情推理試題賞析

福建省泉州五中(362000)

楊蒼洲●

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基于交匯的合情推理試題賞析

福建省泉州五中(362000)

楊蒼洲●

合情推理有“歸納”和“類比”兩種推理模式，這種推理是建立在觀察、實驗的基礎上，通過“類比”來產生“聯想”，或者通過“歸納”來進行“猜想”，是一種“發現未知”的思維形式.合情推理作為一種推理方法，它可以與高中數學“六大知識模塊——函數導數、數列、三角函數、立體幾何、解析幾何、不等式”等知識進行交匯考查，其試題設計精彩紛呈，往往是一份試卷的亮點所在.

一、以“不等式”為背景

當n≥2時，有 ____.

二、以“幾何”為背景

三、以“導數積分”為背景

例題3 (2013年高考福建卷)當x∈R,|x|<1時，有如下表達式：

兩邊同時積分得：

請根據以上材料所蘊含的數學思想方法，計算：

四、以“圓錐曲線”為背景

五、以“數列”為背景

例題5 某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮，現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同)，設第n個圖形包含f(n)個小正方形.

(Ⅰ)求出f(5)；

(Ⅱ)利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f(n+1)與f(n)的關系式，并根據你得到的關系式求f(n)的表達式.

江陰市對水利現代化建設認識充分，始終認為“水利現代化是一項實實在在的民生工程，水利現代化是治水理念現代化、技術現代化和管理現代化三者的融合，必須從單純的水系和水利工程管理延伸到流域內社會水行為、水意識的管理，建設與管理并重，要突出建設重點，規劃引領，典型示范”。近年，江陰市緊緊圍繞“水安全、水環境、水資源、水景觀、水經濟、水文化”六位一體的大水利理念，全面完成了境內18614條“家河”的整治，提升流域水質；以萬頃良田建設為契機，建成了一大批高標準農田水利設施；深入推進“河長制”管理，實現了全市河道水清、岸綠、景美；嘗試“不開發區”建設，開展水生態修復，打造不開發區濕地旅游保護區等。

解析 (Ⅰ)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, ∴f(5)=25+4×4=41.

(Ⅱ)∵f(2)-f(1)=4=4×1，f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,由上式規律得出f(n+1)-f(n)=4n.

∴f(2)-f(1)=4×1,f(3)-f(2)=4×2,

f(4)-f(3)=4×3,

…，

∴f(n-1)-f(n-2)=4(n-2),

f(n)-f(n-1)=4(n-1) ，

∴f(n)-f(1)=4[1+2+…+(n-2)+(n-1)]=2(n-1)·n,

∴f(n)=2 .

四、以“三角函數”為背景

例題6 某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數：

(1)sin213°+cos217°-sin13°cos17°；

(2)sin215°+cos215°-sin15°cos15°；

(3)sin218°+cos212°-sin18°cos12°;

(4)sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;

(5)sin2(-25)°+cos255°-sin(-25)°cos55°.

(Ⅰ)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數；

(Ⅱ)根據(Ⅰ)的計算結果，將該同學的發現推廣為三角恒等式，并證明你的結論.

解析 (Ⅰ)選擇(2)式，計算如下：

G

B