如何應(yīng)用雙曲線定義解題

河北省武邑縣職教中心(053400)

劉永智●

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如何應(yīng)用雙曲線定義解題

河北省武邑縣職教中心(053400)

劉永智●

雙曲線是高中教學(xué)的重要內(nèi)容，也歷來(lái)是高考的重點(diǎn)和高頻考點(diǎn)之一.本文特別針對(duì)雙曲線定義的應(yīng)用進(jìn)行了研究，比較全面、系統(tǒng)地給出了該圓錐曲線的常見(jiàn)題型，能幫助學(xué)生全面地學(xué)習(xí)該類(lèi)圓錐曲線，對(duì)平時(shí)的教學(xué)也有很好的指導(dǎo)作用.

焦半徑；數(shù)形結(jié)合思想；轉(zhuǎn)化思想；長(zhǎng)度；最值；斜率；面積；軌跡方程

雙曲線是平面解析幾何中的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，它會(huì)以靈活多變的考查形式出現(xiàn)在我們面前.高考試題中有關(guān)這種曲線的題目主要考查它的定義. 解決此類(lèi)問(wèn)題的標(biāo)志是看題目中是否出現(xiàn)“焦半徑”(也即雙曲線上的一點(diǎn)P與其焦點(diǎn)F所組成的一條重要線段)，此信息就向我們暗示了要使用“定義法”來(lái)解決.

要想有效地處理題目中所涉及的多種元素之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，還需要我們會(huì)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想來(lái)輔助解答.

要想利用定義解決問(wèn)題，我們一定還要充分利用平面幾何的有關(guān)知識(shí)來(lái)輔助證明和解答.應(yīng)用比較多的，如等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)、三角形中位線定理、線段垂直平分線的性質(zhì)定理、角平分線的性質(zhì)定理、圓的定義、圓的切線的性質(zhì)等知識(shí).

一、求有關(guān)線段的長(zhǎng)度

A.bB.aC.ebD.ea

分析 首先根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)及等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)將|PF2|轉(zhuǎn)化為|PC|再根據(jù)三角形中位線定理和雙曲線定義，問(wèn)題即可解決.

二、求線段差的長(zhǎng)度

A.b-a=|MO|-|MT|

B.b-a>|MO|-|MT|

C.b-a<|MO|+|MT| D.b-a=|MO|+|MT|

分析 首先根據(jù)三角形中位線定理和雙曲線定義將|MO|、|MT|都用|PF1|表示，再根據(jù)雙曲線中a,b,c之間的關(guān)系表示|TF1|.

三、求線段和的最值

分析 首先根據(jù)雙曲線的定義，將|PF1|+|PA|的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|PA|+|PF2|最小值問(wèn)題，再利用動(dòng)點(diǎn)三角形中的三邊關(guān)系，也即當(dāng)A、F2、P三點(diǎn)共線時(shí)，求得|PA|+|PF2|的最小值，從而問(wèn)題得解.

四、求雙曲線的離心率

分析 首先設(shè)|AF1|=m，根據(jù)雙曲線定義，將△ABF1中的各條線段用m表示，獲得m與a的關(guān)系，再在△ABF1中由勾股定理獲得a與c的關(guān)系，根據(jù)離心率公式問(wèn)題即可解決.

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五、求焦點(diǎn)三角形的面積

分析 首先設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，用余弦定理求得m與n之間的關(guān)系，再根據(jù)雙曲線定義用配方法求得mn的值，代入三角形面積公式問(wèn)題即可解決.

六、判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡的類(lèi)型

例6 已知點(diǎn)M(-3,0)，N(3,0)，B(1,0)，動(dòng)圓C與直線MN切于點(diǎn)B，過(guò)M、N與圓C相切的兩直線相交

于點(diǎn)P，則P點(diǎn)的軌跡為( ).

A. 圓的一部分 B. 橢圓的一部分

C. 雙曲線的一部分 D. 拋物線的一部分

分析 首先根據(jù)圓的切線長(zhǎng)定理得到|PM|-|PN|為定值，再根據(jù)雙曲線的定義判斷動(dòng)點(diǎn)P的軌跡類(lèi)型.

解析 設(shè)直線PM、PN與動(dòng)圓C的切點(diǎn)分別為D、E，則|PD|=|PE|.同理可得|MD|=|MB|，|NB|=|NE|. 又因?yàn)閨PM|-|PN|=(|PD|+|MD|)-(|PE|+|NE|)=|MB|-|NB|=2<6=|MN|，所以由雙曲線的定義可知，點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線(右支且不包括與x軸的交點(diǎn)).故選C.

七、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

例7 點(diǎn)P是圓C：(x+2)2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)F(2,0)，線段PF的垂直平分線與直線CP的交點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q的軌跡方程為_(kāi)___.

分析 首先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)將|QF|轉(zhuǎn)化為|QP|，再根據(jù)雙曲線的定義求得動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程.

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