一道向量題的解法研究

云南省蒙自市蒙自一中(新校區)(661100)

蘇保明●

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一道向量題的解法研究

云南省蒙自市蒙自一中(新校區)(661100)

蘇保明●

平面向量是高考命題的重要內容之一，常以填空題或選擇題呈現.由于高考向量題內容新穎、解法眾多，導致同學們有時難以入手.為了幫助同學們更好掌握解題思路和方法，現舉一例剖析如下.

題目 已知a,b是單位向量，a·b=0.若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍是( ).

此題是一道具有很強的靈活性與挑戰性的名題，雖然題目的表達簡潔平淡，卻給人以輕車熟路之感.

方法一 利用公式x2+y2≥2xy

解法1 由題意可知，向量a、b是一對單位正交基底，所以建立平面直角坐標系xOy，并設a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y)，則c-a-b=(x-1,y-1).

因為x2+y2≥2xy，所以2(x2+y2)≥x2+2xy+y2=(x+y)2，

解法2 由解法1知，2(x+y)=x2+y2+1.

方法三：三角法

設x-1=cosα,y-1=sinα，其中α∈R，則x=1+cosα，y=1+sinα.

所以x2+y2=(1+cosα)2+(1+sinα)2

評注 由(x-1)2+(y-1)2=1聯想到公式sin2α+cos2α=1，故設x-1=cosα，y-1=sinα.本題通過構造三角函數，把較為復雜的代數問題轉化為簡單的三角問題，從而利用三角函數的有界性求出|c|的取值范圍.

方法四 向量法

解法4 由解法1知2(x+y)=x2+y2+1.

設m=(x,y),n=(1,1)，則由m·n≤|m||n|得

方法五：柯西不等式法

解法5 由解法1知2(x+y)=x2+y2+1，

根據柯西不等式，得

方法六：構造圓

如圖1，因為圓(x-1)2+(y-1)2=1與圓x2+y2=R2有公共點，

方法七 利用EX2≥(EX)2

解法8 由解法1知2(x+y)=x2+y2+1，

構造離散型隨機變量X的分布列：

XxyP1212

評注 用此法解決問題的關鍵就是正確構造離散型隨機變量的分布列，能使EX2≥(EX)2中出現所需要的式子x2+y2和x+y之間的關系.故此法帶有很強的靈活性和技巧性，必須熟練掌握才能運用自如.

方法八：極坐標法

由極坐標，得x2+y2=ρ2,x=ρcosθ，y=ρsinθ(ρ>0)，則

(ρcosθ-1)2+(ρsinθ-1)2=1

化簡，得2ρ(sinθ+cosθ)=ρ2+1.

評注 利用平面直角坐標(x,y)與極坐標(ρ,θ)之間的相互轉化公式x2+y2=ρ2、x=ρcosθ、y=ρsinθ(ρ>0,θ∈R)，可把原問題轉化為極坐標問題進行求解，這樣使解題思路直觀明朗，容易掌握.

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1008-0333(2016)22-0025-02