破解數量積之四寶

浙江省諸暨市浬浦中學(311824)

王蘇文●

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破解數量積之四寶

浙江省諸暨市浬浦中學(311824)

王蘇文●

平面向量既是代數的對象，又是幾何的對象，作為代數對象，可以進行運算；作為幾何對象，可以刻畫線、面等幾何對象.向量集數形于一身，是溝通代數與幾何的天然橋梁.數量積不但有簡單的代數運算，而且具有一定的幾何意義，因此破解數量積問題主要從數、形兩條主線展開.本文列舉兩條主線下的其中四寶，與大家一起商討.

一寶：坐標法

當遇到所求向量難以看清，但與已知向量存在某種關系，加之已知向量的夾角與長度確定時，可借助坐標系進行坐標處理.

A．13 B．15 C．19 D．21

解析 根據題意，建立以A為坐標原點的平面直角

因為t∈[0,1],所以f(t)遞減,

點評 通過建立坐標系，將向量數量積運算，轉化為坐標運算，最終轉化成函數問題.

二寶：基底法

當題中所有向量都與某兩個向量有關，可利用這兩個向量為基底，建立相關關系.

故4λ+2(λ2-λ-1)+4(1-λ)=3/2,解得λ=1/2.

點評 通過基底將所有向量轉化為兩個向量間的運算，實現統一性.

三寶：幾何意義

遇到一些與垂直有關的數量積運算，可借助數量積的幾何意義進行求解.

A.-8B.-1C.1D.8

分析 由于本題涉及到圓的問題，圓中的弦聯想到垂徑定理.

點評 充分利用數量積的幾何意義將數量積運算表現得淋漓盡致.

四寶：向量恒等式

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

分析 對于學生而言難度還是有的，很多學生認為此題是選擇題中最難的一題，很多有關本題的相關解法都已發表在各種雜志上，但總的來看，用上述恒等式來處理本題還是顯得更為巧妙.

點評 本題應用定點E與線段AB上的動點P的最小值為P0E，即垂線段最短，因此P0E⊥AB，結合E,P0為BC,BF的中點，故FC⊥AB，從中將恒等式在本題中表現得更加淋漓盡致.

G632

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1008-0333(2016)22-0018-02