優化直線與圓運算的若干策略

浙江省春暉中學(312353)

孟方明●

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優化直線與圓運算的若干策略

浙江省春暉中學(312353)

孟方明●

直線與圓問題看起來似乎沒有圓錐曲線高大上，但是，不少學生在解答這類問題時也常常陷入繁雜的運算而不能自拔，究其原因還是解法處理不當．因此，探求優化直線與圓運算的策略，有利于提高學生解決此類問題的運算能力，對處理圓錐曲線等更復雜的解幾問題也有所啟示，不可小覷．

策略一：借助幾何直觀

例1 已知圓C：(x-5)2+y2=16以及點P(2,1)，直線l過點P且與圓C相交于點A,B，求|AB|的最小值．

(1)若直線l不存在斜率，d=3.

思路2 要使|AB|最小，則應使C到直線l的距離為d最大，如圖1，當直線l與線段PC垂直時，l記為l1，此時d=|CP|．任取不同于l1的一條直線l，記為l2，作CQ⊥l2于Q，此時d=|CQ|.由于△CPQ是直角三角形，則|CQ|<|CP|，

策略二：挖掘隱含條件

例2 已知直線l:y=kx+1，圓C:(x-1)2+(y+1)2=12，證明l與C總有兩個交點．

思路2 研究直線l:y=kx+1的方程，注意到l經過定點(0,1)，而(0-1)2+(1+1)2<12，所以點(0,1)在圓C內，從而顯然有l與C相交．

評注 思路1從宏觀層面擇優選擇“形”的方法，利用分析法證明不等式d

策略三：回歸基本定義

例3 過點P(0,3)作圓x2+y2+4x-2y+4=0的切線，切點分別為A,B，求直線AB方程．

思路2 注意到AP⊥AC，BP⊥BC，則A,B落在以CP為直徑的圓(記為圓D)上，如圖3所示，從而AB是已知圓C與圓D的公共弦所在直線，因此，求直線AB方程只要將兩圓方程相減即可。易求得圓D方程是(x+2)x+(y-1)(y-3)=0，于是直線AB方程是x2+y2+4x-2y+4-[(x+2)x+(y-1)(y-3)]=0，化簡即2x+2y+1=0．

評注 思路1首先由圖形的對稱性得到AB斜率，再將目標聚焦于Rt△PAC，根據射影定理解出點E坐標，避免了求切點的復雜過程.但憑心而論，射影定理方法要求學生儲備較強的平幾知識，有一定難度；而思路2著眼于直線與圓的基本知識，平易近人的知識，卻是立竿見影的效果．由此可見，樸素的知識運用得當，就是一種合理的方法．

G632

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1008-0333(2016)22-0016-01