級聯單模光纖中初始啁啾對高階孤子脈沖壓縮的影響

徐永釗， 張 耿， 葉 海， 劉敏霞

(東莞理工學院 電子工程學院， 廣東 東莞 523808)

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級聯單模光纖中初始啁啾對高階孤子脈沖壓縮的影響

徐永釗， 張 耿， 葉 海， 劉敏霞*

(東莞理工學院 電子工程學院， 廣東 東莞 523808)

采用兩段級聯單模光纖對高階孤子脈沖進行壓縮。兩段光纖具有不同的反常色散值，當高階孤子脈沖在第一段光纖中獲得最大程度壓縮時，通過轉換色散值不同的光纖，使壓縮脈沖繼續以高階孤子的形式在第二段光纖中再次被壓縮。每段光纖的長度都進行了優化，使得脈沖在每段光纖中都獲得最大程度的壓縮。基于非線性薛定諤方程，數值研究了初始啁啾對高階孤子脈沖壓縮的影響。研究結果表明，初始啁啾對高階孤子脈沖的壓縮有重要影響。與無初始啁啾時的情形相比，正的初始啁啾能增強每段光纖中脈沖的壓縮效果，降低壓縮脈沖的基座能量，而負初始啁啾的影響則相反。隨著初始啁啾參量Cp的增大，脈沖在每段光纖中的壓縮因子均增加，而基座能量、最優光纖長度均減小。

非線性光學； 光脈沖壓縮； 光孤子； 啁啾

1 引 言

超短光脈沖在高速光通信、超快光子學、非線性物理以及生物醫學等眾多領域有重要的應用，脈沖壓縮技術的研究一直受到人們廣泛的關注[1-7]。利用光纖壓縮光脈沖是獲得超短光脈沖的主要手段之一，常用的方案有兩種：絕熱孤子壓縮和高階孤子壓縮[8]。絕熱孤子壓縮技術通常使用色散漸減光纖作為壓縮光纖，可以獲得基座能量很低的壓縮脈沖[9]，但是這種壓縮方法需要較長的光纖長度。另外，由于色散漸減光纖色散漸減率的限制，脈沖最大壓縮因子的典型值限制在20左右[10]。而利用高階孤子壓縮技術可以獲得很高的脈沖壓縮因子，但壓縮過程中有很多能量轉移到基座中，導致壓縮脈沖具有寬且高的基座[11]。為了避免這兩種壓縮技術的顯著缺點，Li等[12-13]提出了一種基于級聯單模光纖的高階孤子脈沖壓縮技術。他們的方案采用兩段或三段具有不同色散的單模光纖級聯在一起，對高階孤子脈沖進行壓縮。每段光纖的長度都進行了優化，以使脈沖在每段光纖內都獲得最大程度的壓縮。研究結果顯示，每段光纖的最優長度都小于半個孤子周期，脈沖經過兩個或三個階段的級聯壓縮，可以獲得很高程度的壓縮，且基座相對較小。例如，兩個階段的三階孤子壓縮可以獲得70.8的壓縮因子，基座能量僅為44.8%；三個階段的三階孤子壓縮則可以獲得高達599.7的壓縮因子，而基座能量也僅為58.8%。基于級聯單模光纖的高階孤子脈沖壓縮技術優于常規的絕熱孤子壓縮和高階孤子壓縮技術，但是，Li等的研究僅考慮了對無啁啾高階孤子脈沖壓縮的情形。據我們所知，脈沖的初始啁啾對級聯高階孤子脈沖壓縮的影響目前還沒有這方面的研究報道。眾所周知，實際的激光器輸出的脈沖經常具有啁啾，作為脈沖的一個重要參量，研究啁啾對脈沖壓縮效應的影響具有現實意義。

本文通過數值求解非線性薛定諤方程，研究了初始啁啾對級聯單模光纖中高階孤子脈沖壓縮的影響。結果發現，初始啁啾對級聯單模光纖中高階孤子脈沖的壓縮有重要影響。

2 理論模型

光脈沖在單模光纖中的傳輸采用非線性薛定諤方程描述，表示如下[14]：

(1)

其中A為光場振幅，z為傳輸距離，α為光纖損耗系數，τ為以群速度為移動參考系的時間參量，βm為在中心頻率ω0處m階色散系數，γ為光纖的非線性系數。方程左邊第二項為損耗，第三項為色散效應；方程右邊第一項為自相位調制(SPM)，后面兩項為高階非線性效應項，分別為自變陡和脈沖內拉曼散射。

假設初始脈沖為雙曲正割脈沖，脈沖的光場表達為：

(2)

其中，P0是脈沖的峰值功率；T0為脈沖1/e強度處的半寬度，對于雙曲正割脈沖，T0與脈沖的半高全寬(TFWHM)的關系為TFWHM≈1.763T0；Cp為脈沖的初始線性啁啾參量。

本文研究高階孤子脈沖在單模光纖中的壓縮，脈沖的孤子階數N定義為：

(3)

其中LD和LNL分別為色散長度和非線性長度。對于高階孤子脈沖，N>1。高階孤子脈沖在光纖中傳輸時，其波形會發生周期性的演化，孤子周期為：

(4)

基于級聯光纖的高階孤子脈沖壓縮技術的原理是當高階孤子在一段光纖中獲得最大程度的壓縮時，立刻輸入到下一段光纖，通過轉換光纖的色散，使輸入脈沖在接下來的光纖中重新作為高階孤子繼續被壓縮。在級聯壓縮的過程中，每段光纖都選取最優的光纖長度和適當的色散值，使脈沖作為高階孤子在每個階段都達到最大程度的壓縮。經過兩段或三段級聯光纖，即通過兩個或三個階段的級聯壓縮，脈沖最終可以獲得很高的壓縮因子。為了衡量脈沖壓縮后的質量，引入壓縮因子FC和基座能量(%)兩個參量進行描述，其中壓縮因子FC定義為初始脈沖的寬度與壓縮后脈沖的寬度之比：

(5)

壓縮脈沖的基座能量定義為：

(6)

其中，Etotal是壓縮脈沖的總能量，Esech是理想雙曲正割脈沖的能量，該雙曲正割脈沖具有與壓縮脈沖相同的寬度(TFWHM)和峰值強度。認為壓縮脈沖有基座，雙曲正割脈沖無基座，則兩者能量之差相對于壓縮脈沖的總能量即為壓縮脈沖的基座能量，代表基座能量所占壓縮脈沖總能量的百分比。

3 結果與討論

本文考慮基于兩段級聯光纖的高階孤子壓縮的情形。設第一段光纖初始輸入脈沖的孤子階數為N1，當脈沖在第一段光纖中壓縮到最大程度時從光纖中輸出，并輸入到第二段光纖中。設第二段光纖輸入脈沖的孤子階數為N2。假設N1=N2=N，且兩段光纖的非線性系數相同(γ=2.5 W/km)，其他參量的取值分別為：初始脈沖的寬度TFWHM=30 ps，第一段光纖的二階色散系數β21=-20 ps2/km(反常色散)。在數值計算中，忽略光纖衰減的影響。另外，為便于與文獻[12]的結果進行比較，我們參考其做法，忽略了高階色散和高階非線性效應的影響。實際上，對于T0>5 ps的脈沖，高階色散和高階非線性效應對脈沖傳輸的影響很小。

圖1 無初始啁啾的三階孤子(N=3)脈沖的峰值功率在一個孤子周期內的演化圖。(a)第一段光纖中一個孤子周期z01內的演化圖；(b)第二段光纖中一個孤子周期z02內的演化圖。

Fig.1 Peak power evolution of the third order soliton (N=3) pulse within one soliton period. (a) Peak power evolution in the first fiber within one soliton periodz01. (b) Peak power evolution in the second fiber within one soliton periodz02.

首先考慮無初始啁啾的三階孤子(N=3)脈沖在光纖中壓縮的情形。圖1(a)所示為第一段光纖內，脈沖的峰值功率在一個孤子周期z01內的演化圖。圖中虛線所標記的位置為脈沖峰值功率達到最大值時的相對位置L1/z01，在該位置脈沖獲得最大程度的壓縮，相應的光纖長度L1為第一段光纖的最優長度。脈沖在L1處輸出后，隨即作為第二段光纖的輸入脈沖。若第二段光纖的二階色散系數β22取值為-1.769 ps2/km時，可使得輸入脈沖的孤子階數仍然為N=3。圖1(b)所示為第二段光纖內，脈沖的峰值功率在一個孤子周期z02內的演化圖。可以看到，在一個孤子周期內，脈沖的峰值功率在兩段光纖中演化的情形極為相似，而且L1/z01≈L2/z02。與圖1(a)類似，脈沖在相對位置L2/z02處獲得最大程度的壓縮，第二段

光纖的最優長度為L2。表1給出了無初始啁啾的三階孤子壓縮時的光纖設計。脈沖經過第一段光纖的壓縮，獲得的壓縮因子為8.4，基座能量為26.0%(基座能量所占脈沖總能量的百分比)；經過第二段光纖的壓縮，最終獲得的壓縮因子為70.8，基座能量為44.8%。

表1 無初始啁啾(Cp=0)的三階孤子(N=3)脈沖壓縮時的光纖設計

Tab.1 Fiber design in pulse compression forN=3 andCp=0

β2i/(ps2·km-1)Li/kmLi/Z0i第一段光纖-205.3910.237第二段光纖-1.7690.8650.235

接下來，我們改變脈沖的初始啁啾參量Cp，研究初始啁啾對三階孤子脈沖壓縮的影響。圖2(a)和(b)分別給出了脈沖經過第一段光纖和第二段光纖壓縮后，壓縮因子和基座能量隨初始啁啾參量Cp的變化曲線。由圖可見，隨著啁啾參量Cp的增大，壓縮因子單調增加，而基座能量則單調減小。在兩段光纖中，壓縮因子和基座能量隨初始啁啾參量Cp的變化規律相同。與無初始啁啾(Cp=0)時的情形相比，可以發現，正初始啁啾(Cp>0)可以增強脈沖的壓縮效果，減小壓縮脈沖的基座能量。當正啁啾較大時，這種效果非常顯著。例如，與Cp=0時的結果相比，當Cp=4時，脈沖經過第一段光纖的壓縮，壓縮因子由8.4增加到12.0，而基座能量由26.0%減少到僅9.0%；經過第二段光纖的壓縮，壓縮因子由70.8增加到102.0，而基座能量則由44.8%減少到31.8%。相反，負初始啁啾(Cp<0)會使脈沖的壓縮效果減弱，基座能量增加。負初始啁啾值越大(負初始啁啾參量的絕對值Cp越大)，脈沖壓縮的質量越差。

為比較壓縮的效果，圖3(a)和(b)分別給出了三階孤子在第一段和第二段光纖中，當Cp=0和Cp=4時，脈沖壓縮程度最大時的波形。通過圖3中脈沖波形的對比，可以清晰地看出正初始啁啾對脈沖壓縮效果的改善。

圖2 初始啁啾對壓縮因子和基座能量的影響。(a)脈沖在第一段光纖的壓縮因子和基座能量隨初始啁啾參量Cp的變化曲線；(b)脈沖在第二段光纖的壓縮因子和基座能量隨初始啁啾參量Cp的變化曲線。

Fig.2 Effect of initial chirp on compression factor and pedestal energy. (a) Calculated compression factor and pedestal energy as a function ofCpin the first fiber. (b) Calculated compression factor and pedestal energy as a function ofCpin the second fiber.

圖3 當Cp=0和Cp=4時，三階孤子脈沖在第一段和第二段光纖中壓縮程度最大時的波形。(a)脈沖在第一段光纖中壓縮程度最大時的波形；(b)脈沖在第二段光纖中壓縮程度最大時的波形。

Fig.3 Pulse shapes where compression is maximized in both the first and second fibers of the third-order soliton whenCp=0 andCp=4. (a) Pulse shapes where compression is maximized in the first fiber. (b) Pulse shapes where compression is maximized in the second fiber.

圖4 第二段光纖的色散值與第一段光纖的色散值的比值β22/β21隨初始啁啾參量Cp的變化曲線

Fig.4β22/β21as a function ofCp

圖5 第一段光纖(a)和第二段光纖(b)的最優光纖長度和最優光纖長度與孤子周期的比值隨初始啁啾參量Cp的變化曲線

Fig.5 Optimal length and the ratio of optimal length to soliton period of the first fiber (a) and the second fiber (b) as a function ofCp

為便于比較，圖5中同時也給出了兩段光纖的最優長度與孤子周期的比值Li/z0i(i=1,2)隨初始啁啾參量Cp的變化曲線。在第一段光纖中，L1/z01和L1隨啁啾參量Cp的變化趨勢相同；但在第二段光纖中，L2/z02基本保持不變，與初始啁啾參量Cp無關。L2/z02僅與輸入第二段光纖的孤子階數N有關。

保持初始脈沖的孤子階數不變，我們計算了不同寬度脈沖的壓縮效果。結果表明，在不考慮損耗、高階色散和高階非線性效應的情況下，當初始啁啾相同時，對于不同寬度的初始脈沖，其壓縮因子、基座能量的占比以及兩段光纖最優長度與孤子周期的比值Li/z0i均保持不變。

表2 初始啁啾參量Cp=0和Cp=4時，不同孤子階數的脈沖在兩段級聯光纖中的壓縮因子和基座能量

我們同時也研究了其他階數的高階孤子脈沖壓縮的情形。結果發現，初始啁啾對不同階數的高階孤子的影響有相同的規律。表2給出了初始啁啾參量Cp=0和Cp=4時，不同孤子階數的脈沖在兩段級聯光纖中的壓縮因子和基座能量的對比，其中初始啁啾參量Cp=0時的結果即文獻[12]的計算結果。表2的結果顯示，與無初始啁啾時的情形相比，當Cp=4時，不同N值的壓縮因子都有顯著的提高，而基座能量都明顯降低。另外，N值越小，初始啁啾的影響越顯著。例如，當Cp=4時，對于二階孤子(N=2)，與無初始啁啾時的情況相比，經過第一級壓縮后，壓縮因子增大了一倍，而基座能量減少67%；經過第二級壓縮后，壓縮因子也接近增大一倍，而基座能量減少48%。隨著孤子階數的增加，壓縮因子的增幅減小，基座能量下降的幅度也減小。

表3給出了Cp=4時，不同N值的高階孤子的兩段級聯光纖的設計參數。結果顯示，在相同初始啁啾的情況下，隨著N的增加，兩段光纖色散值的比值β22/β21減小。另外，隨N值的增加，L1/z01和L2/z02同時減小。這表明脈沖的孤子階數越高，在一個孤子周期內發生最大程度壓縮的相對距離越短。例如，當N=2時，第一段光纖和第二段光纖分別在L1=0.146z01處和L2=0.475z02處發生最大程度的壓縮；當N=5時，第一段光纖和第二段光纖分別在L1=0.0735z01處和L2=0.109z02處發生最大程度的壓縮。當Cp=4時，對于不同的N值，兩段光纖的最優長度L1和L2均小于半個孤子周期。

表3 Cp=4時，兩段級聯光纖的設計

4 結 論

本文數值研究了初始啁啾對兩段級聯單模光纖中高階孤子脈沖壓縮的影響。研究結果表明，與無初始啁啾時的情形相比，正的初始啁啾能增強每段光纖中脈沖的壓縮效果，降低壓縮脈沖的基座能量，而負初始啁啾的影響則相反。隨著初始啁啾參量Cp的增大，脈沖在每段光纖中的壓縮因子均增加，而基座能量均減小。當正初始啁啾較大時，與無初始啁啾的情形相比，脈沖壓縮的質量可以獲得十分顯著的改善。另外，隨著初始啁啾參量Cp的增大，兩段光纖的最優長度以及第一段光纖的最優長度與孤子周期的比值L1/z01均減小，而第二段光纖的最優長度與孤子周期的比值L2/z02則保持不變，與初始啁啾無關。對于不同階數的高階孤子，初始啁啾對脈沖壓縮的影響也不同。當脈沖具有相同正初始啁啾時，隨著孤子階數的增加，與無初始啁啾的情形相比，壓縮因子的增幅減小，基座能量下降的幅度也減小。

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徐永釗(1972-)，男，廣東廣州人，博士，副教授，2007年于北京郵電大學獲得博士學位，主要從事光纖通信技術、非線性光纖光學的研究。

E-mail： yongzhaoxu@126.com劉敏霞(1979-)，女，河北石家莊人，博士，副教授，2007年于北京大學獲得博士學位，主要從事光電材料、非線性光學的研究。

E-mail： liumxdgut@qq.com

Effect of Initial Frequency Chirp on Pulse Compression of Higher-order Solitons in Cascaded Single-mode Fibers

XU Yong-zhao， ZHANG Geng， YE Hai， LIU Min-xia*

(SchoolofElectronicEngineering,DongguanUniversityofTechnology,Dongguan523808,China)

We consider the pulse compression of higher-order solitons in two cascaded single-mode fibers. The two single-mode fibers have different anomalous dispersion value. When the higher-order soliton pulse achieves maximal compression in the first fiber, by switching the fiber with different dispersion, the pulse is compressed again as a new higher-order soliton in the second fiber. Each fiber length is optimized in order to achieve maximal compression inside each fiber segment. Based on the generalized nonlinear Schr?dinger equation, we numerically study the effect of initial frequency chirp on pulse compression of higher-order solitons. Our numerical results show that initial frequency chirp has significant influence on higher-order solitons pulse compression. In comparison with the case of without initial chirp, a positive chirp can enhance the pulse compression and can reduce the pedestal energy in each fiber segment, while a negative chirp does the opposite. In each fiber segment, as the chirp parameterCpincreases, the compression factor increases, while pedestal energy and optimal fiber length decrease.

nonlinear optics; optical pulse compression； optical solitons； chirp

1000-7032(2016)11-1360-07

2016-05-07；

2016-06-20

國家自然科學基金(61501118)； 廣東省自然科學基金(2014A030310262)資助項目

TN929．11

A

10.3788/fgxb20163711.1360

*CorrespondingAuthor,E-mail:liumxdgut@qq.com