從兩道含參不等式恒成立問題說開去

汪清珠

筆者目前任教高中數學，使用的教材是人教A版，其中必修5第三章的教學內容是不等式，這部分內容中對于學生而言較困難的知識點有含參不等式的求解及含參不等式恒成立的問題，而其中的含參不等式恒成立更是讓很多同學望而生畏的，以下從教學過程的習題中挑選兩道學生錯誤較多的題目進行分析：

解答題目2的時候，一部分學生認為跟題目l是一樣的，從而得出與題目l相同的解答，還有一部分學生意識到問題是不同的，但是把含參不等式恒成立問題看成是含參的不等式的求解問題而導致錯誤，實際上在對含參不等式的求解問題在解決不等式恒成立問題時，一種最重要的思想方法就是構造適當的函數，然后利用相關函數的圖象和性質解決問題，同時注意在一個含多個變量的數學問題中，需要確定合適的變量和參數，從而揭示函數關系，使問題更加清晰明了，一般來說，已知存在范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數，此類問題常因思維定勢，學生易把它看成關于的不等式討論，從而因計算繁瑣出錯或者中途夭折；若能轉換一下

含參不等式恒成立問題近來在各地高考試題中都會出現，含參不等式恒成立問題把不等式與函數、三角、數列等知識緊密地聯系在一起，它覆蓋的知識點多，綜合性強，解法靈活，才使學生難以做對，同時，在解決這類問題的過程中所涉及的“函數與方程”、“分類討論”、“化歸與轉化”、“數形結合”等重要的數學思想又可以促進學生提高綜合解題能力，因此這類問題的處理顯得非常重要，筆者從自己學生的答題情況進行反思，得出以下幾點思考：

（1）應重視數學通法的教學，在含參不等式恒成立問題的處理中，構造函數法、分離參數法及主參換位法均為數學通法，教學中應詳細地進行，讓學生在遇到此類問題時能有法可依，心中有數。

（2）應加強函數最值求解問題的教學，有些學生能夠把含參不等式恒成立問題通過構造函數或者分離參數轉化為函數最值的求解問題，但卻對此類問題束手無策，或者由于單調性的認識不到位導致最值求解錯誤，因此，在函數這部分知識的教學中，高一的教師應對初等函數特別是二次函數、對勾函數的最值問題加以強化。

（3）應加強基本不等式的應用教學，有些學生很喜歡應用基本不等式處理最值問題，但又經常忽略求解最值問題應時刻牢記的要訣“一正二定三相等”，特別是等號能否成立經常被拋之腦后，教學中應該多設置些忽略等號成立的條件而導致錯誤的題目，讓學生能夠對應用基本不等式的條件熟練掌握。

含參不等式的求解是近年來全國各地高考數學，競賽數學的考查熱點，而在含參不等式這類習題中考查不等式恒成立的有關試題非常普遍，這類問題既含參數又含變量，往往與函數、數列、方程、幾何有機結合起來，具有形式靈活、思維性強、不同知識點交匯等特點往往令很多同學望而生畏，筆者認為如果能在學生初學不等式恒成立問題時即加強落實，讓學生意識到自己的錯誤，相信學生后續學習更多數學知識比如導數之后，能夠更加從容地處理此類問題。