基于幾何畫板輔助生成的概念教學

莊炯林

計算機輔助教學給學校教育帶來了一場深刻的變革，從國外引進的教育軟件《幾何畫板》，以其學習入門容易和操作簡單的優點及強大的圖形和圖象功能、方便的動畫功能深受國內廣大一線教師喜歡，逐步成為制作中學數學課件的主要創作平臺之一。

在高中的內容分布上，“函數”是中學數學中最基本、最重要的概念，它的概念和思維方法滲透在高中數學的各個部分；同時，函數是以運動變化的觀點對現實世界數量關系的一種刻劃，這又決定了它是對學生進行素質教育的重要材料.函數問題的解決常用數形結合方法，因此畫圖成了必不可少的教學環節.在有關函數的傳統教學中多以教師手工繪圖，但手工繪圖有不精確、速度慢且為靜態的弊端；應用幾何畫板快速直觀的顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提高課堂效率，進而起到事倍功半的效果.本文從《任意角三角函數的定義》教學為例，闡釋運用幾何畫板進行輔助教學的方法與作用。

1.以動態激活靜態，避免輔助概念應用的突兀性

三角函數是“刻畫周期性現象的數學模型”.初中階段講授的三角函數是靜態的，主要討論直角三角形的邊角關系，通過邊的比值反映角的大小，而不是從函數的角度來認識，為了尋找變量問的相互依存關系，再聯想到任意角是終邊做周而復始的圓周運動，其基礎是幾何圖形中的圓。

片段1

在探究用終邊上點的坐標來表示任意角三角函數式，不可避免去探究坐標與任意角三角函數的等式關系.在直角坐標系畫一個任意角（第一象限角），先取該角為銳角，這樣就可以利用初中所學概念得到數量（角度）與數量（邊的比值）的變化關系，可在終邊上任取一點P（xp，，yP）且過P做x軸的垂線

2.以直觀點破抽象，揭示新授概念生成的抽象性

數學概念往往比較抽象，學生思維處在具體形象思維為主的階段.認識一個事物、理解一個數學概念，若能從事物的具體形象入手，就可以將抽象轉化為直觀.任意角的三角函數是研究一個實數集到另一個實數集的對應關系，即角的弧度數構成的集合到角的終邊與單位圓交點的坐標或其比值構成的集合的對應關系.如何從抽象的概括中直觀點破是教學的難點。

片段2

當終邊在第一象限（為銳角）時，可用終邊與單位圓交點的坐標及其比值來表示三角函數.若終邊在其他象限呢？發現直角三角形不見了，用邊的比值無法定義三角函數，但不管終邊在哪一象限，其終邊上的點（與單位圓的交點）仍然存在.如圖2，拖動終邊在直角坐標系中的位置，當a是銳角時，此定義與初中定義相同（指出對邊，鄰邊，斜邊所在）；當α不是銳角時，也能夠找出三角函數（幾何畫板中現實三角函數的值與坐標的關系），因此可得，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點P（x，y），從而就必然能夠最終算出三角函數值.綜上分析可得任意角的三角函數定義.

3以自然過渡機械，突破初高中概念形成的差異性

根據高中函數的定義，函數是研究數量與數量之間的變化關系，而對于抽象函數最基本的要求應該是單位一致的，在教材的開始，就引入“根據初中學過的三角函數定義，可以得到三角函數關系.”初中對于三角函數的定義域（角度）和值域（長度）的單位不統一，通過前節課弧度制的學習就解決這個問題，所以高中階段研究任意角的三角函數就勢在必行.為了深入理解初高中對三角函數形成的差異，可從學生已有認知出發，在學生的最近發展區域尋找知識的成長點，利用幾何畫板演示，合理進行對比教學。

4.以演繹揭示過程，強化典例剖析的重要性

數學概念教學的主要目的是讓學生在理解概念的基礎上，運用知識解決數學問題，提高數學能力，全面提高學生素質.所以在練習設計上一定要精、針對性強，便于提高學生的能力.除此之外，若能將解題過程演示給學生，定能得到不一般的效果。

綜上，利用幾何畫板輔助生成的數學概念更能體現其直觀性，比傳統教學的直接理解更有說服力.概念教學是數學教學的基礎，也是核心，而教學過程又是曲折的過程，不可能一步到位，需要教師站在學生“學”的角度，以多媒體對概念的自然呈現，讓學生更快、更直接、更生動、更感興趣地接收意義深廣的數學定義，以便讓學生在生動的課堂中探究，直觀中形成概念，順理成章地理解概念，并及時讓概念成為學生內在知識，加以應用于現實生活中。