淺談對數學習困因及教學建議

王歷權　黨忠良

1.現象

對數及對數函數是高中數學中的重要知識，也是學生學習障礙很大的一塊內容，本部分要求學生能理解對數的概念，并能夠說明對數與指數的關系，要掌握對數式與指數式的相互轉化和對數的運算性質，并能理解推導這些法則的依據和過程，要能較熟練地運用對數運算性質解決實踐問題，加強數學應用意識的訓練，提高解決應用問題的能力，

然而實際教學發現，學生掌握對數運算和對數函數的情況并不理想，一種常見現象是下面這些類型的題目不斷訓練、評講、糾錯、再練習，學生還是會出錯甚至無法下手，個中原因值得深思，

首先，學生沒有真正理解對數運算的含義，全新的對數運算符號log是學生理解對數的一大障礙，教學中甚至發現一段時間后還有學生認為log。x中符號log。與x是相乘的關系，數學的符號語言是對數學對象、數學運算、數學關系和推理過程等作出表述的一種語言，是數學思維的外顯形式，體現了數學思維的特征，同時也簡化了數學思維過程，對數運算符號精練準確地表達了對數運算的兩大要素，高度濃縮的對數運算符號是學生學習數學的第一個攔路虎。

其次，對數運算法則容易混淆，學生未理解運算法則本質而死記公式，導致出錯率高居不下，以下是常見的錯誤：

最后，灌輸式教學剝奪了學生自主學習的權利，學生被動接受，沒有在發現探索的過程中理解對數及對數運算，《普通高中數學新課程標準（實驗2011）》（以下簡稱《課標》）要求理解對數的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數；通過閱讀材料，了解對數的發現歷史以及對簡化運算的作用，通過具體實例，直觀了解對數函數模型所刻畫的數量關系，初步理解對數函數的概念，體會對數函數是一類重要的函數模型；能借助計算器或計算機畫出具體對數函數的圖像，探索并了解對數函數的單調性與特殊點，知道指數函數y=a^x與對數函數y=logx互為反函數（a>0，a≠1）。

既如此，對數概念的教學應放在數學課堂的重要位置，教學中要創設問題情境，突出概念構建，讓學生置身于發現對數概念的的過程中，以促進真正理解對數的概念和本質。

3教學建議

除針對易錯問題辨誤教學、特別強調真數必正、充分理解對數運算符號等方面狠下功夫外，筆者建議教學中還應從以下方面入手提升教學效率。

3.1對數發展史激發學習興趣

16、17世紀之交，隨著天文、航海、工程、貿易以及軍事的發展，改進數字計算方法成了當務之急，蘇格蘭數學家納皮爾（J，Napier，1550-1617）正是在研究天文學的過程中，為了簡化其中的計算而發明了對數，對數的發明是數學史上的重大事件，天文學界更是以近乎狂喜的心情迎接這一發明，恩格斯曾經把對數的發明和解析幾何的創始、微積分的建立稱為17世紀數學的三大成就，

數學科學具有悠久歷史，新課標要求在各個部分滲透數學史教學，以促使學生了解數學的本質和發展脈絡，加深對數學概念、方法和思想的理解和認識，促使學生養成獨立思考、積極探索的習慣，培養創造性思維和激發學習數學的興趣和激情，

數學的三種形態密不可分，其中數歷史形態的數學與教育形態的數學關系最為緊密，對中小學數學教師來講，基于HPM（數學史與數學教育整合）的數學教育取向的數學史更具有實踐性，一般來講，數學史融入數學教學有顯性的和隱性的兩種基本形式，顯性多指借用數學史料提高課堂趣味性，激發學生學習的激情；隱性融入是指根據歷史對數學內容進行加工、裁剪、組織，用于學生學習或探究，

對數部分教學中，可以介紹適當對數發展歷史或選擇合適課題供學生探究，借助歷史問題讓學生充分領略和感受對數對簡化運算的極大意義，同時通過了解前人為數學的發展所付出的心血，激勵學生刻苦鉆研，勇攀高峰。

3.2指數是對數的認知起點

歷史上，對數的出現早于指數，但是學生學習對數需要以指數及指數運算作為認知的起點，教材中對數的概念是這樣描述的：

如果a^b=N（a>0且a≠1），那么b叫作以a為底，數N的對數，記作6=log。N

因此指對互化是促進學生理解對數的唯一有效途徑，教學中應根據指數式和對數式之間的關系，引導學生通過指數冪的運算性質推導得出對數的運算性質，以加深對公式的理解和記憶，再利用指數式與對數式的關系完成證明，教學中教師應給足時間學生思考，以問題引導教學是學生真理解對數運算法則的保證，以下是某青年教師的教學片斷，值得學習。

師：說的很好，以上三個等式即為要跟大家介紹的對數運算法則，

課堂實踐表明，在預設的情景下學生完全可以從已有知識結構出發，在最近發展區內自主發現與構建，教師的任務則是提供教學素材、組織教學內容，我們要始終堅持這樣一個觀點：以尊重的態度，欣賞的眼光，學生是一定能在課堂上綻放出精彩的，

3.3螺旋上升，學以致用是關鍵

筆者在2015級高三下學期的一次模擬試題中選用了題目2，發現正確率很低，這表明在海量對數計算訓練下，高三學生亦不能牢固掌握對數相應地運算公式，值得反思，教學中，不少老師給學生總結出兩條有關對數問題的處理策略“一是底數不統一時先統一底數，二是對數求值時盡量將所有真數分解為質數”，不可謂不精練，也不可謂不適用，但大量學生依舊無奈，見對數問題就心虛。

筆者認為可以從以下兩個方面入手，幫助學生擺脫困境。

首先，對數學習要循序漸進，螺旋上升，眾所周知，初中介紹二次函數初步，學生進入高中后再深入學習二次函數相應的知識就容易多了，甚至很輕松，由此筆者認為對數教學內容的安排應在初高中通盤考慮，甚至可以在初中介紹整數冪的指數運算后增加相應的章節介紹對數的概念和運算法則初步，以確保學生消化吸收并理解對數的含義和本質，進入高中，將指數冪的運算由整數推廣到實數后，再系統學習對數、對數運算法則和對數函數。

另外，現行《課標》中，函數概念與基本初等函數部分總共安排約32課時，這其中包含了函數概念與性質、指數及指數函數、對數及對數函數、冪函數、函數與方程、函數模型及應用等部分，一線教師都深知這是肯定不夠的，要想讓學生深刻理解對數概念和運算法則，需要較長時間才能辦到，因此，適當拉長學習時間跨度是肯定有助于學生理解和掌握對數的。

其次，對數學習（包括其它任何知識）要學以致用，《課標》指出，數學是研究空間形式和數量關系的科學，是刻畫自然規律和社會規律的科學語言和有效工具，數學科學是自然科學、技術科學等科學的基礎，并在經濟科學、社會科學、人文科學的發展中發揮越來越大的作用，

然而不幸的是，在高考指揮棒的影響下，大部分數學知識的應用被弱化甚至被無情地拋棄，導致學生認為學習數學的目的就是為了考試，對數是實用性很強的數學知識，來源于對現實世界的探索，也廣泛應用于天文、考古等，對數教學中，教師應重視對數學知識的應用，利用碳14測定年代、鈾核裂變等問題引出對數概念，選用學生喜聞樂見的興趣材料，使學生在學習過程中感受到數學就在我們的周圍，讓學生在運用知識解決問題的過程中靜心思考，促進理解。